2025屆山東省微山縣第二中學高二上數(shù)學期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆山東省微山縣第二中學高二上數(shù)學期末教學質(zhì)量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某企業(yè)甲車間有200人，乙車間有300人，現(xiàn)用分層抽樣的方法在這兩個車間中抽取25人進行技能考核，則從甲車間抽取的人數(shù)應為（）A.5 B.10C.8 D.92．設等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.60 B.80C.90 D.1003．函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或4．經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.5．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、大寒、雨水的日影長的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長的和為18.3尺，則冬至的日影長為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺6．120°的二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知，，，則CD的長為()A. B.C. D.7．已知是虛數(shù)單位，若，則復數(shù)z的虛部為（）A.3 B.－3iC.-3 D.3i8．如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（）A. B.C. D.9．已知拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為，則拋物線的方程是（）A. B.C. D.10．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.11．某地區(qū)高中分三類，A類學校共有學生2000人，B類學校共有學生3000人，C類學校共有學生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學校中的學生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.12．“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．基礎建設對社會經(jīng)濟效益產(chǎn)生巨大的作用．某市投入億元進行基礎建設，年后產(chǎn)生億元社會經(jīng)濟效益．若該市投資基礎建設4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的2倍，則再過______年．該項投資產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍14．某班名學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖，估計該班本次測試平均分為______15．雙曲線的一條漸近線的一個方向向量為，則______（寫出一個即可）16．設拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，圓心在直線上（1）求圓的標準方程；（2）求直線被圓截得的弦的長18．（12分）已知橢圓的右頂點為，上頂點為.離心率為，.（1）求橢圓的標準方程；（2）若，是橢圓上異于長軸端點的兩點（斜率不為0），已知直線，且，垂足為，垂足為，若，且的面積是面積的5倍，求面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不相等的零點，證明：20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值21．（12分）在平面直角坐標系內(nèi)，橢圓E：過點，離心率為（1）求E的方程；（2）設直線（k∈R）與橢圓E交于A，B兩點，在y軸上是否存在定點M，使得對任意實數(shù)k，直線AM，BM的斜率乘積為定值？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由22．（10分）已知定圓，過的一條動直線與圓相交于、兩點，（1）當與定直線垂直時，求出與的交點的坐標，并證明過圓心；（2）當時，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)分層抽樣的定義即可求解.【詳解】從甲車間抽取的人數(shù)為人故選：B2、D【解析】由題設條件求出，從而可求.【詳解】設公差為，因為，，故，解得，故，故選：D.3、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知條件可得恒成立，可得為上的減函數(shù)，再由，從而將不等式轉(zhuǎn)換為，根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以為上的增函數(shù)又因為，所以原不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得.所以原不等式的解集為，故選：A.4、A【解析】根據(jù)點斜式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為，即.故選：A5、C【解析】設等差數(shù)列，用基本量代換列方程組，即可求解.【詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，記為數(shù)列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長為16.1尺.故選：C6、B【解析】由，把展開整理求解【詳解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故選：B7、C【解析】由復數(shù)的除法運算可得答案.【詳解】由題得，所以復數(shù)z的虛部為－3.故選：C.8、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運算推導即可.【詳解】.故選：B.9、B【解析】由拋物線知識得出準線方程，再由點到焦點的距離等于其到準線的距離求出，從而得出方程.【詳解】由題意知，則準線為，點到焦點的距離等于其到準線的距離，即，∴，則故選：B.10、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷AB選項；構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷CD選項.【詳解】對于AB選項，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為、且，則，即，A錯B對；對于CD選項，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上不單調(diào)，無法確定與的大小關(guān)系，故CD都錯.故選：B.11、D【解析】利用抽樣的性質(zhì)求解【詳解】所有學生數(shù)為，所以所求概率為.故選：D12、A【解析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由,得,即或所以,反之,則不然所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選:A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】由4年后產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的2倍，代入已知函數(shù)式求得參數(shù)，再求得社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍時的時間，即為所求結(jié)論【詳解】由條件得，∴，即．設投資年后，產(chǎn)生的社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍，則有，解得，所以再過年，該項投資產(chǎn)生社會經(jīng)濟效益是投資額的8倍故答案為：814、【解析】將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，該班本次測試平均分為.故答案為：.15、(答案不唯一)【解析】寫出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合方向向量的定義求即可.【詳解】由題設，雙曲線的漸近線方程為，又是一條漸近線的一個方向向量，所以或或或，所以或.故答案為：(答案不唯一)16、【解析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據(jù)拋物線的定義可知,故的縱坐標為,橫坐標為.不妨設,故直線的方程為,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線的幾何性質(zhì)和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據(jù)題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標,然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標,進而求得直線的方程,聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得點的坐標.最后求得面積比.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）由圓的一般式方程求出圓心代入直線即可求出得值，即可求解；（2）先計算圓心到直線的距離，利用即可求弦長.【詳解】（1）由圓，可得所以圓心為，半徑又圓心在直線上，即，解得所以圓的一般方程為，故圓的標準方程為（2）由（1）知，圓心，半徑圓心到直線的距離則直線被圓截得的弦的長為所以，直線被圓截得弦的長為【點睛】方法點睛：圓的弦長的求法（1）幾何法，設圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)法，設直線與圓相交于，，聯(lián)立直線與圓的方程，消去得到一個關(guān)于的一元二次方程，從而可求出，，根據(jù)弦長公式，即可得出結(jié)果.18、（1）（2）面積的最大值為【解析】（1）由離心率為，，得，解得，，，進而可得答案（2）設直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達定理可得，，由弦長公式可得，點到直線的距離，則，，由的面積是面積的5倍，解得，再計算的最大值，即可【小問1詳解】解：因為離心率為，，所以，解得，，，所以【小問2詳解】解：設直線的方程為，，，，，聯(lián)立，得，所以，，所以，點到直線的距離，所以，，因為的面積是面積的5倍，所以所以或，又因為，是橢圓上異于長軸端點的兩點，所以，所以，令，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，（當時，取等號），所以面積的最大值為．19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4)；（2）證明見解析.【解析】（1）求的導函數(shù)，結(jié)合定義域及導數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間；（2）法一：討論、時的零點情況，即可得，構(gòu)造，利用導數(shù)研究在(0,2a)恒成立，結(jié)合單調(diào)性證明不等式；法二：設，由零點可得，進而應用分析法將結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明，綜合換元法、導數(shù)證明結(jié)論即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為(0,+∞)，當a=2時，，則令得，x>4；令得，0<x<4；所以,單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,4).【小問2詳解】法一：當a≤0時，>0在(0,+∞)上恒成立，故函數(shù)不可能有兩個不相等的零點，當a>0時，函數(shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2a)上單調(diào)遞減，因為函數(shù)有兩個不相等的零點，則，不妨設，設，（0<x<2a），則，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上單調(diào)遞減，即>=0，所以，即，又，故，因為，所以，因為函數(shù)在(2a,+∞)上單調(diào)遞增，所以，即法二：不妨設，由題意得，，得，即，要證，只需證，即證：，即，令，，則，所以在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞減，故<=0，即恒成立因此，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，法一：應用極值點偏移方法構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化為在(0,2a)恒成立，法二：根據(jù)零點可得，再由分析法將問題化為證明，構(gòu)造函數(shù)，綜合運用換元法、導數(shù)證明結(jié)論.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質(zhì)證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因為四邊形中，可得，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因為平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因為平面PAB，所以，因為，，所以平面PBD因為平面PBD，所以，即是直角三角形【小問2詳解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中點O，連接PO，因為，所以，因為平面，平面底面，平面底面，所以底面,以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，可得，，，設平面的一個法向量為，則，令，可得，，所以，因為是平面的一個法向量，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為21、（1）（2）存在，或者【解析】（1）由離心率和橢圓經(jīng)過的點列出方程組，求出，得到橢圓方程；（2）假設存在，設出直線，聯(lián)立橢圓，利用韋達定理得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合斜率乘積為定值得到關(guān)于的方程，求出答案.【小問1詳解】由題可得，，①由，得，即，則，②將②代入①，解得，，故E的方程為【小問2詳解】設存在點滿足條件記，由消去y，得．顯然，判別式＞0，所以，，于是＝＝＝上式為定值，當且僅當，解得或此時，或所以，存在定點或者滿足條件22、（1），證明見解析；（2）或.【解析】（1）根據(jù)題意可設直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程，可求得的值，再將直線、的方程聯(lián)立，可得出這兩條直線的交點的坐標，將圓心的坐標代入直線的方程可證