重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第二階段性學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)（5月）數(shù)學(xué)試題

20232024學(xué)年（下）第二階段性學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)高一數(shù)學(xué)試題（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，，若是的真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合是集合的真子集，求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由于，，且是的真子集，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.2.已知不等式的解集是，則實(shí)數(shù)a等于（）A. B. C.5 D.10【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式解集可得，即可求實(shí)數(shù)a.【詳解】由題設(shè)，有，可得.故選：A.3.把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位就得到了一個(gè)奇函數(shù)的圖象,則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用三角恒等變換得到，求出平移后的函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)性質(zhì)列出方程，求出，確定的最小值.【詳解】利用三角恒等變換得到，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到的函數(shù)為∵將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到了一個(gè)奇函數(shù)的圖象∴，即∵∴當(dāng)時(shí)，取得最小值為故選：C4.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，故選：C．5.已知，，則（）A. B. C.1 D.2或6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正切公式求得，再利用，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，又，所?故選:A.6.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】令，得出，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】令，得出，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).因此，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解，一般轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.7.已知定義在上的偶函數(shù)滿足：①對(duì)任意的，且，都有成立；②.則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件①可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合條件②并對(duì)進(jìn)行分類討論即可解出不等式.【詳解】由對(duì)任意的，且，都有成立可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又是定義在上的偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，且；由不等式可知，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)在上單調(diào)遞減可得；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)在上單調(diào)遞增可得；綜上可知，不等式解集為.故選：A8.已知函數(shù)，，，下列四個(gè)結(jié)論：①②③④直線是圖象的一條對(duì)稱軸其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A.①② B.①③ C.②④ D.③④【答案】B【解析】【分析】由已知條件知關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于中心對(duì)稱，可得求、，寫出解析式并判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由題設(shè)，知：關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于中心對(duì)稱，∴，，即，，∴，又，即，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，則，∴，而，故不是圖象的一條對(duì)稱軸.故選：B.點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）有關(guān)于中心對(duì)稱.（2）有關(guān)于軸對(duì)稱.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分.9.若a、b、，，，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，【詳解】對(duì)于A，，則，故A正確，對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由，，故，故D正確，故選：AD10.集合A，B與對(duì)應(yīng)關(guān)系f如圖所示，則是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A：集合A中任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的，是函數(shù)，選項(xiàng)B：集合A中存在元素3在集合B中沒有對(duì)應(yīng)的，不是函數(shù)，選項(xiàng)C：集合A中任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的，是函數(shù)，選項(xiàng)D：集合A中存在元素5在集合B中有2個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不是函數(shù).故選：AC.11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)，有.當(dāng)時(shí)，.則下列說法正確的是（）A.B.的最大值為C.D.為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)關(guān)于直線對(duì)稱得到關(guān)于直線對(duì)稱，即，結(jié)合，推導(dǎo)出，A正確；B選項(xiàng)，由得到B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由函數(shù)周期求出，先計(jì)算出，再結(jié)合求出答案；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可推出函數(shù)為偶函數(shù).【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故關(guān)于直線對(duì)稱，故，即，又，所以，則，兩式相減得，，即，故A正確；B選項(xiàng)，時(shí)，，故，故的最大值不是，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，又，故，因?yàn)闀r(shí)，，所以，故，故C正確；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，則，又的定義域?yàn)椋礊榕己瘮?shù)，故D正確..故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如果函數(shù)圖象如圖所示，那么此函數(shù)的減區(qū)間為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可得出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.【詳解】解：由函數(shù)的圖象得此函數(shù)的減區(qū)間為：，故答案為：.13.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，5），OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OQ，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_______．【答案】【解析】【分析】求出的表達(dá)式，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到OQ，結(jié)合兩角和的正弦、余弦公式可以求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).【詳解】，其中，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，，由意可知：，，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示，考查了兩角和的正弦公式、余弦公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.14.若正數(shù)，滿足，，則=________【答案】【解析】【分析】對(duì)兩式取對(duì)數(shù)，根據(jù)變化后兩式的共同特點(diǎn)構(gòu)造新函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即①因?yàn)?，所以，則，即②觀察①②兩式，構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以③由①、③，得：，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若，求在上的最小值，并判斷方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)．【答案】（1）答案見解析（2），有1個(gè)實(shí)數(shù)根【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)考察單調(diào)性即可；（2）分類討論的范圍，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得的解析式，構(gòu)造函數(shù)，分段考察函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可求解.【小問1詳解】若，則．當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減．綜上，在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增．【小問2詳解】由得，若，則當(dāng)時(shí)，．若，則當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．若，則當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，所以．綜上，．令函數(shù)，，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，，所以在上有1個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，又，所以在上沒有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，又，所以在上沒有零點(diǎn)．綜上，方程只有1個(gè)實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．16.已知實(shí)數(shù)，滿足.（1）求證：；（2）求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）將兩邊平方后利用基本不等式證明；（2）將變形后將條件代入，然后利用基本不等式求最值.【小問1詳解】由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以；【小問2詳解】由已知，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即一個(gè)為，一個(gè)為時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值.17.醫(yī)生將一瓶含量的A藥在內(nèi)勻速注射到患者的血液中稱為A藥的一次注射．在注射期間，患者血液中A藥的注入量與注射用時(shí)的關(guān)系是，當(dāng)時(shí)，血液中的A藥注入量達(dá)到，此后，注入血液中的A藥以每小時(shí)的速度減少．（1）求k的值；（2）患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時(shí)間可以維持多少h？（精確到0.1）（3）患者首次注射后，血液中A藥含量減少到時(shí)，立即進(jìn)行第二次注射，首次注射的A藥剩余量繼續(xù)以每小時(shí)的速度減少，已知注射期間能保持患者血液中的A藥含量不低于，那么，經(jīng)過兩次注射，患者血液中A藥的含量不低于的時(shí)間是否可以維持？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）；（2）；（3）可以.【解析】【分析】（1）把，代入計(jì)算即得.（2）根據(jù)給定條件，列出不等式，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即得.（3）求出A藥含量為時(shí)時(shí)間關(guān)系，再列出第二次注射完成后患者血液中A藥的含量隨注射時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，列出不等式求解即得.【小問1詳解】依題意，，解得，所以k的值為.【小問2詳解】血液中的A藥含量達(dá)到后，經(jīng)過x小時(shí)患者血液中A藥含量為．由，得，兩邊取對(duì)數(shù)得：，解得，所以患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時(shí)間可以維持.【小問3詳解】設(shè)第一次注射開始后經(jīng)過患者血液中A藥的含量為，即，記第二次注射完成后患者血液中A藥的含量為，其中為第一次注射開始后經(jīng)過的時(shí)間，則，由，得，即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，解得，又，所以經(jīng)過兩次注射后，患者血液中A藥的含量不低于的時(shí)間可以維持．18.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2），將的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù).若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，求解可得不等式的解集；（2）求得，因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，可得，由，令，可得，分類討論可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，解得：，所以，所以不等式的解集?【小問2詳解】由題意可得，因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)閷?duì)任意的，都有成立，所以，，因?yàn)?，所以，設(shè)，可設(shè)，則的圖象為開口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，故；當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，若總有成立，故.19.若非空集合A與B，存在對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使A中的每一個(gè)元素a，B中總有唯一的元素b與它對(duì)應(yīng)，則稱這種對(duì)應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B．設(shè)集合，（，），且．設(shè)有序四元數(shù)集合且，．對(duì)于給定的集合B，定義映射f：P→Q，記為，按映射f，若（），則；若（），則．記．（1）若，，寫出Y，并求；（2）若，，求所有的總和；（3）對(duì)于給定的，記，求所有的總和（用含m的式子表示）．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意中的新定義，直接計(jì)算即可求解；（2）對(duì)1，，5是否屬于B進(jìn)行分類討論，求出對(duì)應(yīng)所有Y中的總個(gè)數(shù)，進(jìn)而求解；（3）由題意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.【小問1詳解】由題意知，，所以．【小問2詳解】對(duì)1，，5是否屬于B進(jìn)行討論：①含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；不含1的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；所以所有Y中2的總個(gè)數(shù)和1的總個(gè)數(shù)均為10；②含5的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；不含5的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，；所以所有Y中6的總個(gè)數(shù)和5的總個(gè)數(shù)均為10；②含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，；不含的B的個(gè)數(shù)為，此時(shí)在映射f下，，