專題241圖形的旋轉(zhuǎn)（舉一反三）（滬科版）

專題24.1圖形的旋轉(zhuǎn)【十大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】 1【題型2判斷一個圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】 3【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點】 5【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明】 8【題型5利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】 15【題型6判斷旋轉(zhuǎn)對稱圖形】 21【題型7作圖旋轉(zhuǎn)變換】 23【題型8求饒某點旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)】 30【題型9旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究】 35【題型10旋轉(zhuǎn)中的最值問題】 38【知識點1旋轉(zhuǎn)的定義】在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素?！绢}型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】【例1】（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期中）下列現(xiàn)象：①地下水位逐年下降，②傳送帶的移動，③方向盤的轉(zhuǎn)動，④水龍頭的轉(zhuǎn)動；其中屬于旋轉(zhuǎn)的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的概念解答即可．【詳解】解：①地下水位逐年下降，不是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；②傳送帶的移動，不是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；③方向盤的轉(zhuǎn)動，是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；④水龍頭的轉(zhuǎn)動，是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某一個定點轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)．【變式11】（2023春·江蘇·九年級期中）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“9”，將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“689”整體旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是【答案】689【分析】直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合“689”的特點得出答案．【詳解】解：將數(shù)字“689”整體旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是：689．故答案為：689．【點睛】此題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，能夠想象出旋轉(zhuǎn)后的圖形是解題關(guān)鍵．【變式12】（2021春·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）“玉兔”在月球表面行走的動力主要來自太陽光能，要使接收太陽光能最多，就要使光線垂直照射在太陽光板上．現(xiàn)在太陽光如圖照射，那么太陽光板繞支點A逆時針最小旋轉(zhuǎn)（

）可以使得接收光能最多．A．46° B．44° C．36° D．54°【答案】B【分析】根據(jù)垂直的定義和旋轉(zhuǎn)方向，計算可得．【詳解】解：由題意可得：若要太陽光板于太陽光垂直，則需要繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°（180°134°）=44°，故選：B．【點睛】本題考查了實際生活中的垂直的定義，旋轉(zhuǎn)的定義，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)分為順時針和逆時針．【變式13】（2020秋·九年級課時練習(xí)）摩天輪上以等間隔的方式設(shè)置36個車廂，車廂依順時針方向分別編號為1號到36號，且摩天輪運行時以逆時針方向等速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一圈花費30分鐘，若圖2表示21號車廂運行到最高點的情形，則此時經(jīng)過多少分鐘后，3號車廂才會運行到最高點？（

）A．14分鐘 B．20分鐘 C．15分鐘 D．452【答案】C【分析】先求出從21號旋轉(zhuǎn)到3號旋轉(zhuǎn)的角度占圓大小比例，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)一圈花費30分鐘解答即可．【詳解】解：36-21+336所以經(jīng)過20分鐘后，3號車廂才會運行到最高點．故選C．【點睛】本題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，理清題意，得出從21號旋轉(zhuǎn)到3號旋轉(zhuǎn)的角度占圓大小比例是解答本題的關(guān)鍵．【知識點2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】（1）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點：（1）圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置?！绢}型2判斷一個圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】【例2】（2020春·山西晉城·九年級統(tǒng)考期末）如果齒輪A以逆時針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪E旋轉(zhuǎn)的方向（）A．順時針 B．逆時針C．順時針或逆時針 D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)圖示進行分析解答即可．【詳解】齒輪A以逆時針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪B以順時針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪C以逆時針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪D以順時針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪E以逆時針方向旋轉(zhuǎn)，故選B．【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)問題，關(guān)鍵是根據(jù)圖示進行解答．【變式21】（2022秋·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，圖2是由圖1經(jīng)過平移得到的，圖2還可以看作是由圖1經(jīng)過怎樣的變換得到的？現(xiàn)給出兩種變換方式：①2次旋轉(zhuǎn)；②2次軸對稱．下面說法正確的是（

）A．①②都不可行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)和軸對稱的概念判斷即可．【詳解】如圖，圖1繞點A旋轉(zhuǎn)180°得到右邊倒著的圖1，然后把此圖繞點B旋轉(zhuǎn)180°得到圖2；如圖，把圖1沿著直線AB對稱得到右邊的圖1，然后把此圖沿直線CD對稱得到圖2故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)和軸對稱變換，掌握旋轉(zhuǎn)和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2022秋·上海浦東新·九年級校聯(lián)考期末）圖2是由圖1經(jīng)過某一種圖形的運動得到的，這種圖形的運動是（

）A．平移 B．翻折 C．旋轉(zhuǎn) D．以上三種都不對【答案】C【詳解】解：根據(jù)圖形可知，這種圖形的運動是旋轉(zhuǎn)而得到的，故選：C．【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟記圖形的旋轉(zhuǎn)的定義（把一個平面圖形繞平面內(nèi)某一點轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)）是解題關(guān)鍵．【變式23】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，下列的圖案是由什么基本圖案經(jīng)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的，把它畫出來？【答案】見解析【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；以上基本圖案繞著對稱軸旋轉(zhuǎn)一周得到．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)正確作圖是解本題的關(guān)鍵．【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點】【例3】（2023春·福建漳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在7×5方格紙中，格點三角形甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到格點三角形乙，則其旋轉(zhuǎn)中心是（

）

A．點M B．點N C．點P D．點Q【答案】A【分析】先確定點A與點E為對應(yīng)點，點B和點F為對應(yīng)點，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得旋轉(zhuǎn)中心在AE的垂直平分線上，也在BF的垂直平分線上，所以作AE的垂直平分線和BF的垂直平分線，它們的交點即為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：∵甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到乙，∴點A與點E為對應(yīng)點，點B和點F為對應(yīng)點，∴旋轉(zhuǎn)中心在AE的垂直平分線上，也在BF的垂直平分線上，作AE的垂直平分線和BF的垂直平分線，它們的交點為M點，如圖，

即旋轉(zhuǎn)中心為M點．故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．【變式31】（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，ΔABC和ΔADC都是等邊三角形.（1）ΔABC沿著______所在的直線翻折能與ΔADC重合；（2）如果ΔABC旋轉(zhuǎn)后能與ΔADC重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點是______；（3）請說出2中一種旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)______.【答案】（1）AC；（2）.點A、點C或者線段AC的中點；（3）60°【分析】(1)因為ΔABC和ΔADC有公共邊AC，翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可；（2）將△ABC旋轉(zhuǎn)后與ΔADC重合，可以以點A、點C或AC的中點為旋轉(zhuǎn)中心；（3）以點A、點C為旋轉(zhuǎn)中心時都旋轉(zhuǎn)60°，以AC中點旋轉(zhuǎn)時旋轉(zhuǎn)180°.【詳解】(1)∵ΔABC和ΔADC都是等邊三角形，∴ΔABC和ΔADC是全等三角形，∴△ABC沿著AC所在的直線翻折能與△ADC重合.故填A(yù)C;(2)將△ABC旋轉(zhuǎn)后與ΔADC重合，則可以以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°或以點C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60°，或以AC的中點為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°即可；（3）以點A、點C為旋轉(zhuǎn)中心時都旋轉(zhuǎn)60°，以AC中點旋轉(zhuǎn)時旋轉(zhuǎn)180°.【點睛】此題考查平移的對稱軸確定的方法、旋轉(zhuǎn)中心確定的方法，依照平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來確定即可.【變式32】（2022秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后能與正方形CDEF重合，那么點A，B，C，D中，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的有個．【答案】2．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類討論確定旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：把正方形ABCD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°能與正方形CDEF重合，則旋轉(zhuǎn)中心為點D；把正方形ABCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°能與正方形CDEF重合，則旋轉(zhuǎn)中心為點C；綜上，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的有2個．故答案為：2．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．【變式33】（2023春·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期末）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點A、B都在格點上．線段AB繞著某一定點順時針旋轉(zhuǎn)一個角度α0°<α<180°后，得到線段A'B'（點A'、B'分別是

【答案】90°【分析】首根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)中心為點O，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AA',BB'∴點O為旋轉(zhuǎn)中心，∴∠AOA'

故答案為：90°．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角度的確定，畫出圖形能快速解決問題．【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明】【例4】（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，點D為△

(1)把△ACD逆時針旋轉(zhuǎn)得到了△CBE如圖1，旋轉(zhuǎn)中心是點______，旋轉(zhuǎn)角是(2)在（1）的條件下，延長AD交BE于F，求證：AF⊥(3)在圖1中，若∠CAD=30°，把△ACD繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ECB，如圖【答案】(1)C，90°(2)證明見解析(3)30°或210°【分析】（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的概念回答即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CAD=∠CBE，對頂角∠（3）結(jié)合圖形，由平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：在圖1中，點C是三角形ACD的旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角為90°；故答案為：C，90°（2）證明：由△ACD逆時針旋轉(zhuǎn)得到了△CBE在△CAM中，∠在△FMB中，∠而∠∴∠MFB即AF（3）解：如圖，依題意得∠CED當(dāng)點D在△ABC∵DE∴∠ACE當(dāng)點D'在△∵D∴∠AC∴△D'CE'繞點綜上所述，當(dāng)△ACD旋轉(zhuǎn)角是30°或210°時，DE故答案為：30°或210°

【點睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及性質(zhì)，垂直定義，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，正確理解相關(guān)的概念及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式41】（2023秋·山西陽泉·九年級?？计谀┌褍蓚€全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合，現(xiàn)將三角板EFG繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°<α<90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角形的重疊部分（如圖

(1)BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系?(2)四邊形CHGK的面積有何變化?請證明你的發(fā)現(xiàn)．【答案】(1)BH(2)四邊形CHGK的面積在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化，始終為4，證明見解析【分析】（1）先由ASA證出△CGK≌△BGH（2）四邊形CHGK的面積不變，面積為4．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：BH=理由：∵點O是等腰直角三角板ABC斜邊中點，∴∠B=∠GCK由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知∠BGH∴△BGH∴BH（2）四邊形CHGK的面積不變，面積為4．理由：∵△BGH∴S∴S【點睛】此題是幾何變換的綜合題，主要考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變．【變式42】（2023秋·山西晉城·九年級統(tǒng)考期末）綜合與探究在△ABC中，AB=AC，∠(1)操作與證明；如圖①，點D為邊BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角度α至AE位置，連接DE，CE．求證：BD=(2)探究與發(fā)現(xiàn)：如圖②，若α=90°，點D變?yōu)锽C延長線上一動點，連接AD將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角度α至AE位置，連接DE，CE．可以發(fā)現(xiàn)：線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是___________(3)判斷與思考；判斷（2）中線段BD和CE的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)BD(3)BD⊥【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AE，∠DAE（2）同第（1）小題的方法，證明△BAD（3）由（2）可得△BAD≌△CAE【詳解】（1）證明：∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角度α至AE位置，∠CAB∴AD=AE，∴∠CAB∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴BD=（2）解：∵α=90°由旋轉(zhuǎn)可知：AD=AE，∴∠CAB∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴BD=故答案為：BD=（3）BD⊥∵∠CAB=α∴∠B由（2）可得：△BAD∴∠ACE∴∠BCE∴BD⊥【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．掌握三角形全等的證明是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2022秋·上海靜安·九年級上海市民辦揚波中學(xué)?？计谥校┮阎篟t△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC

(1)當(dāng)C轉(zhuǎn)到AB邊上點C'位置時，A轉(zhuǎn)到A'，（如圖1所示）直線CC'和AA'相交于點D，試判斷線段(2)將Rt△ABC繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1【答案】(1)AD=(2)仍然成立，理由見詳解【分析】（1）易證△BCC'和△BAA'都是等邊三角形，從而可以求出∠AC（2）過點A作AE∥A'C'，交CD的延長線于點E，由“ASA”可證△【詳解】（1）AD=A'∵Rt△∴BC=BC∵∠A∴△BCC'和∴∠BAA∵∠A∴∠DC∵∠AC∴∠ADC∴∠DA∴∠DAC'=∠DC∴AD=DC∴AD（2）仍然成立：AD=如圖2：過點A作AE∥A'C'，交CD的延長線于點E

由旋轉(zhuǎn)可得，AC=A'∴∠4=∠5，∵∠ACB∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°，∴∠3=∠6，∴∠E∴AE在△ADE與△∠1=∠2AE∴△ADE≌∴AD【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【題型5利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】【例5】（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，正方形ABCD中，E為DC邊上一點，且DE=2．將AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接AF，F(xiàn)C．則線段FC的長度是（

A．2 B．22 C．2 D．【答案】B【分析】延長DC，過點F作FH⊥DC于點H，證明△ADE≌△EHF，得出FH=DE【詳解】解：延長DC，過點F作FH⊥DC于點

則∠H根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，AE=EF，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D=90°，∴∠AED∴∠AED∵∠D∴△ADE∴FH=DE=2∵AD=∴EH=∴DC-∴CH=∴在Rt△CFH中，根據(jù)勾股定理得：故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明△ADE【變式51】（2022秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)度得到△ADE，當(dāng)點B的對應(yīng)點

A．1.4 B．1.6 C．1.8 D．2【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到AD=【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD=∵∠B∴△ADB∴BD=∴CD=故選：B．【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AD=BD=4，BD⊥AD，點E為對角線AC上一動點，連接DE，將DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°

(1)求證BF=(2)若BF所在的直線交AC于點M，求OM的長度；(3)如圖2，當(dāng)點F落在△OBC的外部，構(gòu)成四邊形DEMF時，求四邊形DEMF【答案】(1)見解析(2)2(3)16【分析】（1）由“SAS”可證△ADE≌△BDF（2）過D作DN⊥AO于N，由“AAS”可證△DON≌△BOM，可得OM（3）將△DEN繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DFG，通過證明四邊形【詳解】（1）解：證明：∵DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DF∴DE=DF∵BD∴∠ADB∴∠ADE∵AD∴△ADE∴BF（2）如圖，過D作DN⊥AO于

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO∵△ADE∴∠DAE∵∠ADB=90°，∴∠DAE∴∠BMO∵∠DNO=∠BMO=90°，∴△DON∴OM∵AD=4，DO=2∴AO∵S∴DN∴NO∴OM（3）如圖，過D作DN⊥AO于N，將△DEN繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°

∴DG=DN，∠∵∠EDF∴∠DEM∴∠DFG∴點G，點F，點M三點共線，∵∠DGF∴四邊形DNMG是矩形，又∵DN∴四邊形DNMG為正方形，∴S【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．【變式53】（2022秋·北京大興·九年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點B的對應(yīng)點為E，點A的對應(yīng)點D落在線段AB上，連接BE．下列結(jié)論：①DC平分∠ADE；②∠BDE【答案】①②③【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)不變性得出∠A=∠CDA，∠A=∠CDE，得出∠CDA=∠CDE，即可判斷①，設(shè)BC,DE交于點F，根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠BFE=∠FCE+∠FEC=∠FDB+∠【詳解】解：∵△DCE是由△∴CA=∴∠A∴∠CDA∴CD平分∠ADE故①正確，如圖，設(shè)BC,DE交于點∴∠∵旋轉(zhuǎn)，∴∠ABC∴∠BDE=∠BCE由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠ACD∵CA=∴∠CAD∵∠ABC∴∠ABC∴∠DCE∵∠DCE∴∠DBE∴BE⊥由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，DE=AB，而∴BC≠故答案為：①②③．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．【題型6判斷旋轉(zhuǎn)對稱圖形】【例6】（2020秋·河南許昌·九年級統(tǒng)考期中）閱讀理解并解決問題：一般地，如果把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一定角度α（α小于360°）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，α叫做這個旋轉(zhuǎn)對稱圖形的一個旋轉(zhuǎn)角．請依據(jù)上述定義解答下列問題：（1）請寫出一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個圖形有一個旋轉(zhuǎn)角是90°，這個圖形可以是______；（2）為了美化環(huán)境，某中學(xué)需要在一塊正六邊形空地上分別種植六種不同的花草，現(xiàn)將這塊空地按下列要求分成六塊：①分割后的整個圖形必須既是軸對稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；②六塊圖形的面積相同；請你按上述兩個要求，分別在圖中的兩個正六邊形中畫出兩種不同的分割方法（只要求畫圖正確，不寫作法）．【答案】（1）正方形(答案不唯一，例如正八邊形、圓等)；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義解答即可；（2）先作出正六邊形的旋轉(zhuǎn)中心，再根據(jù)圖形既是軸對稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形進行作圖即可．【詳解】解：(1)正方形(答案不唯一，例如正八邊形、圓等)；故答案為：正方形(答案不唯一，例如正八邊形、圓等)；(2)如圖所示：【點睛】本題考查了軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義及作圖，正確理解題意、熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵．【變式61】（2018春·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）某校在暑假放假之前舉辦了交通安全教育圖片展活動．下列四個交通標(biāo)志圖中，旋轉(zhuǎn)對稱形是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱形和各圖形的特點即可求解A、B、C無論旋轉(zhuǎn)多少度都不能與原圖形重合，只有D旋轉(zhuǎn)60°能夠和原來的圖形重合，故選D.點睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱形：繞一個頂點旋轉(zhuǎn)某一個度數(shù)后，仍然與原來的圖形重合，解題的關(guān)鍵是充分理解旋轉(zhuǎn)對稱形的性質(zhì).【變式62】（2018秋·上海松江·九年級統(tǒng)考期末）在正三角形、正方形、正五邊形和等腰梯形這四種圖形中，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角，解答即可．【詳解】解：在正三角形、正方形、正五邊形和等腰梯形，只有等邊三角形、正方形、正五邊形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，共3個．故選C【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．【變式63】（2018·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期中）實踐與操作：一般地，如果把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一定角度α（α小于360°）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，α叫做這個旋轉(zhuǎn)對稱圖形的一個旋轉(zhuǎn)角，請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）請寫出一個有一個旋轉(zhuǎn)角是90°旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個圖形可以是；（2）尺規(guī)作圖：在圖中的等邊三角形內(nèi)部作出一個圖形，使作出的圖形和這個等邊三角形構(gòu)成的整體既是一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形又是一個軸對稱圖形（作出的圖形用實線，作圖過程用虛線，保留痕跡，不寫做法）．【答案】正方形（或正八邊形或圓等）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)90°后，能夠與原來的圖形重合，進行判斷即可；（2）先作出正三角形的旋轉(zhuǎn)中心，再根據(jù)圖形既是一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形，又是一個軸對稱圖形進行作圖即可．試題解析：（1）有一個旋轉(zhuǎn)角是90°旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個圖形可以是正方形或正八邊形或圓等（答案不唯一），（2）如圖所示，（答案不唯一）點睛：如果某一個圖形圍繞某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360°）后能與原圖形重合，那么這個圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形．常見的旋轉(zhuǎn)對稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等．【知識點3利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖】旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它就是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，的到各點的對應(yīng)點；④接：即連接到所連接的各點。【題型7作圖旋轉(zhuǎn)變換】【例7】（2023秋·甘肅隴南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1,1)，B(4,2)(1)請畫出△ABC繞原點旋轉(zhuǎn)180°的△(2)在x軸上求作一點P，使△PAB的周長最小，并直接寫出點P【答案】(1)見解析，坐標(biāo)為：A2(-1,-1)，B2(2)(2,0)【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A、B、C關(guān)于原點的對稱點A2、B2、（2）找出點A關(guān)于x軸的對稱點A'，連接A'B與x軸相交于一點，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，然后利用待定系數(shù)法求A'B的解析式，求出A【詳解】（1）∵△ABC繞原點旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，即點A、B、C又A1,1，B4,2，∴A2-1,-1，B如圖：順次鏈接A2、B2、C2（2）如圖，作點A1,1關(guān)于x軸的對應(yīng)點A'1,-1，連接A'B，點P即為A'B設(shè)A'B的解析式為y=kx+-1=解得k=1A'B的解析式為當(dāng)y=0時，x解得x=2此時點P坐標(biāo)為2,0．【點睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，軸對稱確定最短路線問題，待定系數(shù)法求直線解析式，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．【變式71】（2023春·山東棗莊·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示，（每個小方格都