專題26圓（全章直通中考）（提升練）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練

專題2.6圓（全章直通中考）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，點C是以點O為圓心，AB為直徑的半圓上一點，連接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，則sin∠BOC的值是（）A．1 B． C． D．2．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作弧（弧所在圓的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點，直線分別與邊相交于點D，E，連接．若，則的長為（

）

A．9 B．8 C．7 D．63．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是的八等分點．若，四邊形的周長分別為a，b，則下列正確的是（

）

A． B． C． D．a(chǎn)，b大小無法比較4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點，，都在格點上，以為直徑的圓經(jīng)過點，，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點（位于AB下方），CD交AB于點E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，則CE的長為（

）A．2 B．4 C．3 D．46．（2020·湖南湘西·中考真題）如圖，、為⊙O的切線，切點分別為A、B，交于點C，的延長線交⊙O于點D．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線7．（2022·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與的面積之比是（

）A． B． C． D．8．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的切線，B為切點，連接交于點，延長交于點，連接．若，且，則的長度是（

）A．3 B．4 C． D．9．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形的外接圓的半徑為2，過圓心O的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．10．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，等圓和相交于A，B兩點，經(jīng)過的圓心，若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于且，弦平分，連接，．若，，則，．

12．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，點在的延長線上．若，則度．13．（2021·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在軸負(fù)半軸上，點B在軸正半軸上，⊙D經(jīng)過A，B，O，C四點，∠ACO＝120°，AB＝4，則圓心點D的坐標(biāo)是14．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為．15．（2017·寧夏·中考真題）如圖，點A，B，C均在的正方形網(wǎng)格格點上，過A，B，C三點的外接圓除經(jīng)過A，B，C三點外還能經(jīng)過的格點數(shù)為．16．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的半徑，是的弦，于點D，是的切線，交的延長線于點E．若，，則線段的長為．

17．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的內(nèi)切圓與分別相切于點，，連接的延長線交于點，則．

18．（2021·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點．已知，則圖中陰影部分的面積為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，，過點作的垂線，交于點，并與的延長線交于點，作，垂足為，交于點．

（1）求證：；（2）若的半徑，，求線段的長．20．（8分）（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點，過點作交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．21．（10分）（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點D，過點C作的切線，交的延長線于點E．

（1）求證：；（2）若，，求的半徑．22．（10分）（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，是的中點，與相切于點，與交于點，，是的直徑，弦的延長線交于點，且．

（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．23．（10分）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，為的直徑，點為上一點，為的平分線交于點，連接交于點E．

（1）求的度數(shù)；（2）如圖2，過點A作的切線交延長線于點，過點作交于點．若，，求的長．24．（12分）（2021·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”．如圖①，點C把線段分成兩部分，如果，那么稱點C為線段的黃金分割點．（1）特例感知：在圖①中，若，求的長；（2）知識探究：如圖②，作⊙O的內(nèi)接正五邊形：①作兩條相互垂直的直徑、；②作的中點P，以P為圓心，為半徑畫弧交于點Q；③以點A為圓心，為半徑，在⊙O上連續(xù)截取等弧，使弦，連接；則五邊形為正五邊形．在該正五邊形作法中，點Q是否為線段的黃金分割點？請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有著密切的聯(lián)系．延長題（2）中的正五邊形的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖③，點E是線段的黃金分割點，請利用題中的條件，求的值．參考答案：1．B【分析】如圖，過點C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CH，可得結(jié)論．解：如圖，過點C作CH⊥AB于H．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝，∴OC＝AB＝，∵＝?AB?CH＝?AC?BC，∴CH＝，∴sin∠BOC＝＝，故選：B．【點撥】本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法求出CH的長，屬于中考?？碱}型．2．D【分析】由作圖可知直線為邊的垂直平分線，再由得到，則可知三點在以為圓心直徑的圓上，進(jìn)而得到，由勾股定理求出即可．解：由作圖可知，直線為邊的垂直平分線，∵∴，∵，∴，∴三點在以為圓心直徑的圓上，∴，∵，∴∴．故選：D．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)和勾股定理，解答關(guān)鍵是熟練掌握常用尺規(guī)作圖的作圖痕跡，由作圖過程得到新的結(jié)論．3．A【分析】連接，依題意得，，的周長為，四邊形的周長為，故，根據(jù)的三邊關(guān)系即可得解．解：連接，

∵點是的八等分點，即∴，∴又∵的周長為，四邊形的周長為，∴在中有∴故選A．【點撥】本題考查等弧所對的弦相等，三角形的三邊關(guān)系等知識，利用作差比較法比較周長大小是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB的長度，然后根據(jù)圓周角定理的推論得出，，計算出即可得到．解：∵為直徑，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴故選：B．【點撥】本題考查圓的性質(zhì)和三角函數(shù)，掌握勾股定理及圓周角定理的推論是關(guān)鍵．5．D【分析】連接CO，過點D作DG⊥AB于點G，連接AD，因為CE＝2DE，構(gòu)造△DGE∽△COE，求出DG＝3，設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3，則AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解決．解：連接CO，過點D作DG⊥AB于點G，連接AD，∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵BC＝6，∴AB＝BC＝12，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°，∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE，∴＝，∵CE＝2DE，設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3，∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，∵∠ADB＝∠AGD＝90°，∠DAG＝∠BAD，∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG?BG，∴9＝（6﹣3x）（6＋3x），∵x＞0，∴x＝，∴OE＝2，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝，故選：D．【點撥】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造出△DGE∽△COE是解題關(guān)鍵6．B【分析】連接OB，OC，令M為OP中點，連接MA，MB，證明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，可得PM=OM=BM=AM，可判斷C；證明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根據(jù)△BPA為等腰三角形，可判斷D；無法證明與相互垂直平分，即可得出答案．解：連接OB，OC，令M為OP中點，連接MA，MB，∵B，C為切點，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴為等腰三角形，故A正確；∵△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，∴PM=OM=BM=AM∴點A、B都在以為直徑的圓上，故C正確；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA為等腰三角形，∴為的邊上的中線，故D正確；無法證明與相互垂直平分，故選：B．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，掌握知識點靈活運用是解題關(guān)鍵．7．A【分析】由題意，得圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a，則BD=a，根據(jù)勾股定理，得出AD=，同時在Rt△BOD中，OD=，進(jìn)而求出黑色部分的面積以及等邊三角形的面積，最后求出答案．解：令內(nèi)切圓與BC交于點D，內(nèi)切圓的圓心為O，連接AD，OB，由題可知，圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a，則BD=a，在等邊三角形ABC中AD⊥BC，OB平分∠ABC，∴∠OBD=∠ABC=30°，由勾股定理，得AD=，在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，∴圓中的黑色部分的面積與的面積之比為．故選：A．【點撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，內(nèi)切圓的性質(zhì)和面積，等邊三角形的面積以及勾股定理求邊長，正確地計算能力是解決問題的關(guān)鍵．8．C【分析】連接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用＝tan30°，即可求出AB的長度．解：連接OB，∵OB＝OD，∴△OBD是等腰三角形，∴∠OBD＝∠D，∵∠AOB是△OBD的一個外角，∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，∵是的切線，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵，∴∠A＋∠ABO＝∠A＋2∠D＝3∠A＝90°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OB＝AC＋OC，∵OB＝OC，∴OB＝AC＝3，∵＝tan30°，∴AB＝．故選：C【點撥】此題考查了切線的性質(zhì)定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，求出∠A＝30°是解決此題的關(guān)鍵．9．C【分析】如圖，連接，標(biāo)注直線與圓的交點，由正六邊形的性質(zhì)可得：，，三點共線，為等邊三角形，證明扇形與扇形重合，可得，從而可得答案．解：如圖，連接，標(biāo)注直線與圓的交點，由正六邊形的性質(zhì)可得：，，三點共線，為等邊三角形，

∴，，∴，∴扇形與扇形重合，∴，∵為等邊三角形，，過作于，∴，，，∴；故選C【點撥】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計算，勾股定理的應(yīng)用，熟記正六邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．10．D【分析】先證明，再把陰影部分面積轉(zhuǎn)換為扇形面積，最后代入扇形面積公式即可．解：如圖，連接，，∵等圓和相交于A，B兩點∴,∵和是等圓∴∴是等邊三角形∴∵,,∴∴．故選：D．【點撥】本題考查了相交弦定理，全等的判定及性質(zhì)，扇形的面積公式，轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．11．【分析】首先利用已知條件得到為直徑，然后可以證明為等腰直角三角形，由此求出，接著把繞逆時針旋轉(zhuǎn)得到，證明為等腰直角三角形即可解決問題．解：內(nèi)接于且，為的直徑，，，弦平分，，，，，，，如圖把繞逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，、、三點共線，為等腰直角三角形，，．故答案為：，．

【點撥】此題分別考查了三角形的外接圓、圓周角定理及其推論、角平分線的性質(zhì)及勾股定理，有一定的綜合性．12．140【分析】首先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系即可得出的度數(shù)．解：∵四邊形內(nèi)接于，，∴，又∵，∴，∴°．故答案為：140．【點撥】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓心角與圓周角之間的關(guān)系，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，理解圓心角與圓周角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．13．D（，1）【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABO＝60°，再根據(jù)圓周角定理得到AB為⊙D的直徑，則D點為AB的中點，接著利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OB＝2，OA＝2，所以A（?2，0），B（0，2），然后利用線段的中點坐標(biāo)公式得到D點坐標(biāo)．解：∵四邊形ABOC為圓的內(nèi)接四邊形，∴∠ABO＋∠ACO＝180°，∴∠ABO＝180°?120°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴AB為⊙D的直徑，∴D點為AB的中點，在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，∴OB＝AB＝2，∴OA＝OB＝2，∴A（?2，0），B（0，2），∴D點坐標(biāo)為（?，1）．故答案為（?，1）．【點撥】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．14．/【分析】如圖，當(dāng)?shù)认覉AO最大時，則經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點C，連接CO交AB于F，連接OE，DK，再證明經(jīng)過圓心，，分別求解AC，BC，CF，設(shè)的半徑為再分別表示再利用勾股定理求解半徑r即可．解：如圖，當(dāng)?shù)认覉AO最大時，則經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點C，連接CO交AB于F，連接OE，DK，過圓心O，，設(shè)的半徑為∴整理得：解得：不符合題意，舍去，∴當(dāng)?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為故答案為：【點撥】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，弦，弧，圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，掌握以上知識是解本題的關(guān)鍵．15．5【分析】根據(jù)圓的確定先做出過A，B，C三點的外接圓，從而得出答案．解：如圖，分別作AB、BC的中垂線，兩直線的交點為O，以O(shè)為圓心、OA為半徑作圓，則⊙O即為過A，B，C三點的外接圓，由圖可知，⊙O還經(jīng)過點D、E、F、G、H這5個格點，故答案為：516．【分析】根據(jù)，得出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即，根據(jù)，，得出為等腰直角三角形，即可得出．解：∵，∴，．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切線，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴．故答案為：．【點撥】本題主要考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，得出．17．/度【分析】如圖所示，連接，設(shè)交于H，由內(nèi)切圓的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出，再由切線長定理得到，進(jìn)而推出是的垂直平分線，即，則．解：如圖所示，連接，設(shè)交于H，∵是的內(nèi)切圓，∴分別是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∵與分別相切于點，，∴，又∵，∴是的垂直平分線，∴，即，∴，故答案為：．

【點撥】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，切線長定理，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．【分析】連接AC，OD，根據(jù)已知條件得到AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到PE=，根據(jù)梯形和圓的面積公式即可得到答案．解：連接AC，OD，∵四邊形BCD是正方形，∴∠B=90°，∴AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°，∵PA，PD分別與⊙O相切于點A和點D，∴∠PAO=∠PDO=90°，∴四邊形AODP是矩形，∵OA=OD，∴矩形AODP是正方形，∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，∴∠E=∠ACB=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∵AB=2，∴AC=2AO=2，DE=CD=2，∴AP=PD=AO=，∴PE=3，∴圖中陰影部分的面積故答案為：5π．【點撥】本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．19．（1）見分析；（2）【分析】（1）如圖，連接，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，根據(jù)圓周角定理得到為的直徑，求得．根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．解：（1）證明：如圖，連接，

則，，，．；（2）如圖，，為的直徑，．，，，，又，．，，，連接，則，，，．【點撥】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．20．（1）證明見分析；（2），．【分析】（1）根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，（2）先由“直徑所對的圓周角是直角”，證是直角三角形，用勾股定理求出長，再通過三角形相似即可求解．解：（1）連接

∵為的中點，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，為半徑，∴為的切線，（2）∵為直徑，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，即，∴，∵，∴，

在中，由勾股定理得：．【點撥】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21．（1）見分析；（2）【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得到．再根據(jù)切線的性質(zhì)得到．然后利用等角的余角相等得到；（2）先證明得到，則可證明，利用正切的定義，在中有，在中有，所以，然后求出的長，從而得到的半徑．解：（1）證明：∵為的直徑，∴．∵為的切線，∴，∴．∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，在中，，在中，，即，∴，∴，∴的半徑為．【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理和解直角三角形．22．（1）見分析；（2）【分析】（1）連接，過點作于點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得為的平分線，再根據(jù)與相切于點，是的直徑得，進(jìn)而根據(jù)切線的判定可得到結(jié)論；（2）過點作于點，先證得到，進(jìn)而得到，再證得到，然而