專題113角平分線（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專題1.13角平分線（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識點(diǎn)一】角平分線的性質(zhì)定理1.性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.角的平分線的性質(zhì)的兩個(gè)必要條件：點(diǎn)在角平分線上；這個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離即點(diǎn)到角兩邊的垂線段的長度.兩者缺一不可.幾何語言∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，∴PD=PE.特別提醒：1.角平分線的性質(zhì)是由兩個(gè)條件（角平分線，垂線）得到一個(gè)結(jié)論（線段相等）.2.利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等時(shí)，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”，而不是“垂直于角平分線的線段”.【知識點(diǎn)二】角平分線的判定定理1.判定定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.2.幾何語言如圖∵點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上.3.角的平分線的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系如圖，都與距離有關(guān)，即條件PD⊥OA，PE⊥OB都具備；都在角的平分線上判定點(diǎn)、性質(zhì)點(diǎn)（角的內(nèi)部的）到角的兩邊的距離相等.特別提醒1.使用該判定定理的前提是這個(gè)點(diǎn)必須在角的內(nèi)部2.角的平分線的判定是由兩個(gè)條件（垂線、線段相等）得到一個(gè)結(jié)論（角平分線）.3.角的平分線的判定定理是證明兩角相等的重要依據(jù)，它比利用三角形全等證兩角相等更方便快捷.【知識點(diǎn)三】三角形的角平分線性質(zhì)定理1.性質(zhì)定理三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.2.幾何語言如圖，在△ABC中，AD,BM,CN分別是∠BAC,∠ABC，∠ACB的平分線，AD,BM,CN交于一點(diǎn)O，且點(diǎn)O到三邊BC,AB,AC的距離（OE,OG,OF的長）相等，即OE=OG=OF.特別解讀三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是三角形三條角平分線的交點(diǎn).【考點(diǎn)目錄】【角平分線的性質(zhì)】【考點(diǎn)1】利用角平分線的性質(zhì)求值；【考點(diǎn)2】利用角平分線的性質(zhì)證明；【角平分線的判定】【考點(diǎn)3】利用角平分線的判定證明和求值；【角平分線的性質(zhì)與判定】【考點(diǎn)4】利用角平分線性質(zhì)與判定求值；【考點(diǎn)5】利用角平分線的性質(zhì)與判定證明；【角平分線的性質(zhì)與判定的應(yīng)用】【考點(diǎn)6】利用角平分線的性質(zhì)與判定的應(yīng)用.【角平分線的性質(zhì)】【考點(diǎn)1】利用角平分線的性質(zhì)求值；【例1】（2023上·湖南長沙·八年級?？茧A段練習(xí)）于，于，若，．（1）求證：平分．（2）請你判斷、與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見分析；（2）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的判定等知識，（1）證明，得出，再由角平分線的判定即可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，，再證，得，即可解決問題．解：（1）證明：，，，在和中，，，，，平分．（2）解：，理由如下：由（1）可知，，，，在和中，，，，，，．【變式1】（2024上·甘肅武威·八年級?？计谀┤鐖D，為的角平分線，，，點(diǎn)P，C分別為射線，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，最短路徑問題，正確掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)B作于D，交于P，過P作于C，此時(shí)的值最小，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，由此得到，利用直角三角形30度角的性質(zhì)得到的長，即可得到答案．解：過點(diǎn)B作于D，交于P，過P作于C，此時(shí)的值最小，∵為的角平分線，，∴，∴，∵，，∴．故選：A．

【變式2】（遼寧省錦州市20232024學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，A是x軸上一點(diǎn)，以原點(diǎn)O為圓心，以長為半徑畫弧交y軸于點(diǎn)B，再分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則．【答案】4或【分析】本題考查作圖角平分線的基本作圖、坐標(biāo)與圖形，角平分線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．根據(jù)題意得到點(diǎn)C到兩坐標(biāo)軸的距離相等，然后列出方程求解即可．解：根據(jù)題意可得，點(diǎn)C是的角平分線∴點(diǎn)C到兩坐標(biāo)軸的距離相等∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴∴或解得或．故答案為：4或．【考點(diǎn)2】利用角平分線的性質(zhì)證明；【例2】（2023上·廣東廣州·八年級廣州四十七中?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，平分，且平分．（1）求證：；（2）求證：點(diǎn)E為的中點(diǎn)．【答案】（1）證明過程見分析；（2）證明過程見分析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再利用三角形內(nèi)角和定理求得，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，即可得出結(jié)論．解：（1）證明：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴；（2）證明：過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，∵，，平分，∴，∵，，平分，∴，∴，即點(diǎn)E為的中點(diǎn)．

【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義及性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2011上·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）如圖，的三邊，，長分別是20，30，40，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則等于（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)分別作，，的垂線，可得，從而可證，即可求解．解：如圖，過點(diǎn)分別作，，的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，

由角平分線的性質(zhì)定理得：，的三邊，，長分別是20，30，40，．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)，是內(nèi)角與外角的三等分線的交點(diǎn)，則．

【答案】．【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，再由內(nèi)角和即可求解．解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)，

∵點(diǎn)，是內(nèi)角與外角的三等分線的交點(diǎn)，∴是的平分線，又∵，，∴，同理可得，∴，又∵，，∴是的平分線，∵，，∴，∵點(diǎn)，是內(nèi)角與外角的三等分線的交點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的的性質(zhì)定理和判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)．【角平分線的判定】【考點(diǎn)3】利用角平分線的判定證明和求值；【例3】（2023下·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，P是上一點(diǎn)，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．F，G分別是上的點(diǎn)．．（1）求證：是的平分線；（2）若，，．求的長．【答案】（1）見分析；（2）【分析】（1）證明可得，進(jìn)而根據(jù)角平分線的判定定理即可求解；掌握到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上是解題的關(guān)鍵；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)，可得，則，最后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可解答．掌握30度角的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．解：（1）證明：在和中，，∴，∴，∵于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，∴：是的平分線（2）解：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴∵，∴．【變式1】（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）將兩把寬度相同的長方形直尺按如圖所示方式擺放，兩把直尺的接觸點(diǎn)記為點(diǎn)P，其中一把直尺邊緣和射線重合，另一把直尺的下邊緣與射線重合，連結(jié)并延長．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是角平分線的判定，熟記到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的判定定理得到是的平分線，計(jì)算即可．解：∵兩把長方形直尺的寬度相同，∴點(diǎn)P到射線的距離相等，∴射線是的平分線，，，故選：C．【變式2】（2023上·天津河?xùn)|·八年級統(tǒng)考期末）已知，等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且滿足，連接，，交于點(diǎn)M．作，的角平分線，交于點(diǎn)N．連接，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為．【答案】/73度【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，先證明，得到，得到．結(jié)合，得到，，，繼而得到，根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算即可．解：∵等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，，∵，的角平分線，交于點(diǎn)N．∴，∴，過點(diǎn)N分別作，垂足分別為F，P，Q，∵，的角平分線，交于點(diǎn)N．∴，∴平分，∵，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，角的平分線的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形的外角是解題的關(guān)鍵．【角平分線的性質(zhì)與判定】【考點(diǎn)4】利用角平分線性質(zhì)與判定求值；【例4】（2023上·吉林白山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，點(diǎn)分別在邊上，，．

（1）求證：平分；（2）寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見分析；（2）．理由見分析【分析】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明得到，從而可得出點(diǎn)在的平分線上，即可得證；（2）證明得到，由（1）知，，得到，即可得解．解：（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴，∵，∴．在和中，，∴，∴，∵，，∴點(diǎn)在的平分線上，平分；（2）解：，理由如下：由（1）知，平分，∴．在和中，，∴，∴．由（1）知，，∴，∴．【變式1】（2023上·河北邢臺·八年級校考階段練習(xí)）如圖，，是的中點(diǎn)，利用該圖（不再添加輔助線）可以證明的定理是（）A．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等B．到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上C．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等D．到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上【答案】B【分析】本題主要考查了線段垂直平分線，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解解：．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，條件結(jié)論倒置，不能證明．故本選項(xiàng)不符合題意；．到線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，條件滿足即可證明，故本選項(xiàng)符合題意；．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，和不滿足到角兩邊的距離，不能證明，故本選項(xiàng)不符合題意；．到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上，和不滿足到角兩邊的距離，不能證明，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【變式2】（2023上·四川綿陽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，在中，，，，相交于點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②平分；③；④其中，正確的結(jié)論有．【答案】②③④【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，由和不一定相等，則可得出①錯(cuò)誤；先證明得到，則可對③進(jìn)行判斷；過A點(diǎn)作于M，于N，利用全等三角形對應(yīng)邊上的高相等得到，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可對②進(jìn)行判斷．利用三角形內(nèi)角和證明，則可對④進(jìn)行判斷．解：∵和都是等腰直角三角形，∴，∵，，∵和不一定相等，∴與不一定相等，故①錯(cuò)誤；∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，，故③正確；∵，又∵，∴，∴，故④正確；如圖，過A點(diǎn)作于M，于N，∵，∴，∵，∴，∴平分，故②正確．綜上分析可知，正確的結(jié)論為②③④．故選：②③④．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．證明是解決問題的關(guān)鍵．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．【考點(diǎn)5】利用角平分線的性質(zhì)與判定證明；【例5】（2023上·河南信陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，D是上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，連接，垂直平分．

（1）求證：是的平分線；（2）若的周長為18，的面積為24，，求的長．【答案】（1）見分析；（2）4【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的判定定理，熟知垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用角平分線的判定定理即可證明結(jié)論；（2）首先求出，然后根據(jù)等面積法進(jìn)行求解即可．解：（1）證明：∵垂直平分，∴，又∵，，∴是的平分線；（2）解：∵的周長為18，，∴，又∵，∴，∴∴．【變式1】（2023上·江蘇宿遷·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)，連接，以下四個(gè)結(jié)論：①；②是等邊三角形；③；④平分．其中正確的結(jié)論是（

）A．②、③ B．③、④ C．①、②、④ D．①、③、④【答案】C【分析】先由判定，證得①正確；再由證明，得到，②正確；過作于，于，由證明可得，得到④正確；易得③不正確．解：∵和是等邊三角形，∴，，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，故結(jié)論①正確；∵，∴，∵，，在和中，，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形，故結(jié)論②正確；過作于，于，∴，∵，∴，，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分，故結(jié)論④正確；當(dāng)時(shí)，∵和是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），故結(jié)論③不正確；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，垂直的定義等知識．熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)E和點(diǎn)D分別在和邊上，，，連接，點(diǎn)F和點(diǎn)G分別是線段和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，的面積是6，則的最小值是．【答案】3【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂線段最短，過點(diǎn)D作垂足為N，作垂足為M，先證明，得到，再利用角平分線性質(zhì)可求，在上取，通過證明，證明，過C作，垂足為K，利用三角形面積即可得出結(jié)果．解：如圖，過點(diǎn)D作垂足為N，作垂足為M，，，，，，，，平分，，在上取，，，，，，過C作，垂足為K，，，由垂線段最短可知，即，則當(dāng)C、F、H三點(diǎn)共線，且，最小，最小值是3，故答案為：3．【角平分線的性質(zhì)與判定的應(yīng)用】【考點(diǎn)6】利用角平分線的性質(zhì)與判定的應(yīng)用.【例6】（2023上·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ凶锨G中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，點(diǎn)滿足，點(diǎn)D是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作于點(diǎn)C，延長交y軸于點(diǎn)E，連．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是；B的坐標(biāo)是；（2）求的度數(shù)；（3）如圖2，過點(diǎn)D作，交的垂線于點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求的長度．【答案】（1），；（2）；（3）【分析】（1）由非負(fù)數(shù)性質(zhì)得到，即可得到答案；（2）過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，證，則，，，即可得到平分，即可得到答案；（3）過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，則，證明，則，證明是等腰直角三角形，則，證明，則，，則，再證明，即可得到．（1）解：∵，，∴，解得，∵點(diǎn)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是；B的坐標(biāo)是，故答案為：，（2）過點(diǎn)O作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，則，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是；B的坐標(biāo)是，∴，∵,∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，，∴平分，∴；（3）過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，則，

∵，∴，∵∴，∴，∵，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵∴，∴，，∴，∵，∴，∴【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023上·河北滄州·八年級校考期中）兩把相同的長方形直尺按如圖所示方式擺放，記兩把直尺的接觸點(diǎn)為P，其中一把直尺邊緣和射線重合，另把直尺的下邊緣與射線重合，連，接并延長．若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線性質(zhì)，根據(jù)題意，兩把相同的長方形直尺的寬度一致，根據(jù)擺放方式可知，點(diǎn)P到射線，的距離相等，進(jìn)而得是的角平分線，有即可求得答案．解：∵兩把相同的長方形直尺的寬度一致，∴點(diǎn)P到射線，的距離相等，∴是的角平分線，∵，∴，故選：B．【變式2】（2022上·四川綿陽·八年級?？计谥校┤鐖D，已知的周長是分別平分和于，且，則的面積是．

【答案】【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，連接，根據(jù)的面積等于的面積之和，進(jìn)行求解即可．解：過點(diǎn)作，

∵分別平分和于，∴，連接，則：∵的周長是，，∴．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．【角平分線的