《測度論》課程教學大綱

測度論教學大綱課程編號：120502B課程類型：□通識教育必修課□通識教育選修課□學科基礎課專業(yè)核心課□專業(yè)提升課□專業(yè)拓展課總學時：32講課學時：32實驗（上機）學時：0學分：2考試類型：□考試考查適用對象：統(tǒng)計學專業(yè)□是否適合作為其他專業(yè)學生的個性化選修課先修課程：數(shù)學分析、概率論教學目標測度論是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，同時也是現(xiàn)代概率理論的數(shù)學基礎。其在抽象空間上建立的包括積分和微分的一整套分析系統(tǒng)，已成為數(shù)學各分支的有力工具，在遍歷論、隨機過程、微分方程、微分幾何、統(tǒng)計與金融數(shù)學等領域有著廣泛而深刻的應用。本課程旨在介紹測度論的基本概念和基本理論。通過本課程的學習，使學生能初步掌握抽象空間上的測度與積分理論以及概率論的公理化體系，同時領會抽象概念和定理的直觀涵義，為進一步的學習和研究提供必要的數(shù)學基礎。目標1：初步掌握抽象空間上測度和積分的一般理論； 目標2；以實空間和概率空間為例，掌握測度論中簡單證明方法的一些基本技巧；目標3：掌握統(tǒng)計學中常用的經(jīng)驗測度、計數(shù)測度、相合性等概念的理論基礎，為統(tǒng)計學的進一步學習打好基礎；目標4：學習測度論公理化體系建立過程中的曲折歷史，培育學生實事求是的研究精神。通過比較測度論與實變函數(shù)以及概率論相關內(nèi)容的關系，讓同學們更深刻理解唯物辯證法中具體和抽象的對立統(tǒng)一關系。二、教學內(nèi)容及其與畢業(yè)要求的對應關系（一）教學內(nèi)容可測空間與單調(diào)類定理，測度空間與擴張定理，可測函數(shù)的積分與積分收斂定理，符號測度、不定積分、Radon-Nikodym導數(shù)與Lebesgue分解定理，乘積空間與Fubini定理。（二）教學方法和手段教師課上講授理論知識內(nèi)容及相關基本例題，學生課下練習及教師答疑、輔導相結合。（三）考核方式開卷，平時成績占30%，期末成績占70%。（四）學習要求課上聽講，并獨立完成課后作業(yè)。三、各教學環(huán)節(jié)學時分配以表格方式表現(xiàn)各章節(jié)的學時分配，表格如下：教學課時分配序號章節(jié)內(nèi)容講課實驗其他合計1可測空間442測度空間553可測函數(shù)的積分10104符號測度與R-N導數(shù)885乘積空間55合計3232四、教學內(nèi)容第一章可測空間第一節(jié)集類1. 集合代數(shù)2. 集合代數(shù)的結構第二節(jié)可測空間1. 西格瑪代數(shù)2. 可測空間的結構第三節(jié)單調(diào)類定理1. 單調(diào)類2. 單調(diào)類定理教學重點、難點：集類、可測空間的結構、單調(diào)類定理。課程的考核要求：了解集類的概念，理解可測空間的結構、掌握單調(diào)類定理的證明與應用。課程思政切入點：了解測度論的發(fā)展歷史，學習測度論嚴格化過程中相關數(shù)學家實事求是的科學精神。復習思考題：1. 可列可加性在可測空間的定義中起什么作用？2. 如何應用單調(diào)類定理？第二章測度空間第一節(jié)測度空間的定義與性質(zhì)1. 測度空間定義2. 測度空間性質(zhì)第二節(jié)外測度與測度擴張1. 外測度2. 測度擴張定理第三節(jié)測度空間的完備化1. 完備測度空間2. 測度空間的完備化第四節(jié)實可測空間1. Borel代數(shù)2. 實可測空間上的L-S測度教學重點、難點：測度空間的定義與性質(zhì)、測度擴張定理、實可測空間上的測度。課程的考核要求：理解測度空間的定義與性質(zhì)、掌握測度空間的構造方法、了解測度的逼近與完備化。課程思政切入點：了解抽象空間測度論與實空間理論、概率論等具體學科的相互關系，明白理論和實踐的對立統(tǒng)一關系。復習思考題：1. 復習在可測空間上構造測度的一般方法。2. 從分析學的角度，該如何把握任意可測集的測度？第三章可測函數(shù)的積分第一節(jié)可測映射與可測函數(shù)1. 可測函數(shù)的定義與結構2. 可測函數(shù)的性質(zhì)與運算3. 函數(shù)形式的單調(diào)類定理第二節(jié)積分的定義與性質(zhì)1. 可測函數(shù)的積分定義2. 可測函數(shù)的積分性質(zhì)第三節(jié)積分收斂定理1. 單調(diào)收斂定理2. Fatou引理3. 控制收斂定理第四節(jié)積分變換公式1. 積分變換公式2. 隨機變量數(shù)字特征的L-S積分表示教學重點、難點：可測函數(shù)定義與性質(zhì)、積分定義與性質(zhì)、積分收斂定理、積分變換公式。課程的考核要求：掌握積分定義與性質(zhì)、掌握積分收斂定理和變換公式。復習思考題：1. 思考勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系？2. 為什么要研究積分收斂定理？第四章符號測度與R-N導數(shù)第一節(jié)符號測度1. 符號測度2. 不定積分第二節(jié)Hahn分解Jordan分解1. Hahn分解2. Jordan分解第三節(jié)Lebesgue分解與R-N導數(shù)1. Lebesgue分解定理2. R-N導數(shù)第四節(jié)條件期望與條件概率1. 條件期望2. 條件概率教學重點、難點：符號測度、Hahn分解、Jordan分解、R-N導數(shù)、Lebesgue分解定理、條件期望。課程的考核要求：掌握符號測度的定義與性質(zhì)、R-N導數(shù)、理解Hahn分解與Jordan分解、Lebesgue分解定理、理解條件期望的定義和性質(zhì)。課程思政切入點：通過比較抽象空間微積分和實空間微積分的區(qū)別與聯(lián)系,讓同學們理解事物發(fā)展過程中螺旋式發(fā)展，否定之否定的哲學規(guī)律.復習思考題：1. 思考條件期望的直觀涵義。2. 利用Lebesgue分解來解釋概率論中隨機變量的分類問題。第五章乘積空間第一節(jié)有限維乘積空間1. 二維乘積空間2. Fubini定理第二節(jié)無窮維乘積空間1. 無限維乘積空間2. Kolmogorov相容性定理。教學重點、難點：二維乘積空間、Fubini定理、無限維乘積空間、Kolmogorov相容性定理。課程的考核要求：掌握二維乘積空間上測度的構造、Fubini定理，了解無限維乘積空間、Kolmogorov相容性定理。課程思政切入點:理解無窮乘積空間和有限乘積空間的關系,理解唯物辯證法中從量變到質(zhì)變的哲學認識過程.復習思考題：1. 比較測度論與實分析的聯(lián)系與區(qū)別。2. 用測度論語言構建概率論的公理化體系。五、考核方式、成績評定本課程一般按閉卷、開卷或論文方式考核，卷面一般占70%，考勤與平時作業(yè)一般占30%。六、主要參考書及其他內(nèi)容[1]程士宏.測度論與概率論.北京：北京大學出版社.2004[2]繆柏其,胡太忠.概率論教程.