專題124一次函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系（舉一反三）（滬科版）

專題12.4一次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系【十大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1一次函數(shù)與一元一次方程的解】 1【題型2兩個(gè)一次函數(shù)與一元一次方程】 3【題型3利用一次函數(shù)的變換求一元一次方程的解】 6【題型4一次函數(shù)與二元一次方程（組）的解】 8【題型5不解方程組判斷方程組解的情況】 10【題型6一次函數(shù)與一元一次不等式的解集】 14【題型7兩個(gè)一次函數(shù)與一元一次不等式】 16【題型8一次函數(shù)與一元一次不等式組的解集】 21【題型9一次函數(shù)與不等式組中的陰影區(qū)域問題】 24【題型10絕對(duì)值函數(shù)與不等式】 30【知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)與一元一次方程、不等式的關(guān)系】1.任何一個(gè)一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，k≠0）．當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)，即kx+b=0就與一元一次方程完全相同．結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=0（k、b為常數(shù)，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值．2.解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)的函數(shù)值大（小）于0時(shí)，求自變量相應(yīng)的取值范圍.【題型1一次函數(shù)與一元一次方程的解】【例1】（2023春·天津·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知方程ax+b=0的解為x=-32，則一次函數(shù)y=ax+A．(3,0) B．(-23,0) C．(-2,0) D．(-32【答案】D【分析】關(guān)于x的一元一次方程ax+b=0的根是x=-32，即x=-32時(shí)，函數(shù)值為0，所以直線過點(diǎn)(【詳解】解：方程ax+b=0的解為x=-32，則一次函數(shù)y=ax+故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程：任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0(a，b為常數(shù)，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0【變式11】（2023秋·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=kx+b的部分函數(shù)值如表所示，則關(guān)于x的方程x…--1…y…53-…【答案】-【分析】根據(jù)題意，將方程kx+b=3的解轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)中y【詳解】當(dāng)y=3時(shí)，在一次函數(shù)y即kx+此時(shí)根據(jù)表格可得x=故答案為：-1【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，解此題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)和一元一次方程之間的聯(lián)系．【變式12】（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知關(guān)于x的方程ax﹣b＝1的解為x＝﹣2，則一次函數(shù)y＝ax﹣b﹣1的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】（?2，0）【分析】當(dāng)y＝0時(shí)，ax?b?1＝0，可得ax?b＝1，根據(jù)題意可得圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：當(dāng)y＝0時(shí)，ax?b?1＝0，∴ax?b＝1，∵關(guān)于x的方程ax?b＝1的解為x＝?2，∴一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（?2，0），故答案為：（?2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2023秋·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)2,4，4,1，則方程【答案】x【分析】由一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)2,4，可得當(dāng)【詳解】解：∵一次函數(shù)y=ax+當(dāng)x=2時(shí)，ax∴方程ax+b=4故答案為：x=2【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，理解函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵．【題型2兩個(gè)一次函數(shù)與方程組、不等式組】方程組的解與相應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)是相對(duì)應(yīng)的。找到函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，也就找到了對(duì)應(yīng)方程組的解，反之一樣。對(duì)于不等式組的解集也可以通過其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象來解決?！绢}型2兩個(gè)一次函數(shù)與一元一次方程】【例2】（2023春·青海西寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y1=k1x+b與y2=k

【答案】-【分析】由圖形知，兩直線交于點(diǎn)(-1,-2)，即x=-1【詳解】解：由圖象知，k1x+【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與方程的聯(lián)系，圖象法解方程，理解數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若一次函數(shù)y=kx+b與y=mx的圖象交于點(diǎn)2,4，則關(guān)于x的方程2【答案】1【分析】由一次函數(shù)y=kx+b與y=mx的圖象交于點(diǎn)【詳解】解：∵一次函數(shù)y=kx+b與∴當(dāng)x=2時(shí)，kx+b∴2k由2k+b∵m∴x故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象的交點(diǎn)得到2k【變式22】（2023春·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線y=-x與y=kx+b交于點(diǎn)P

【答案】-【分析】先把點(diǎn)Pa,1代入y=-x，求出【詳解】解：∵點(diǎn)Pa,1在直線∴-a∴a∴P由圖象可知，方程kx+b=-x的解就是直線∴x故答案為：-1【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，掌握利用圖象法解一元一次方程是解題關(guān)鍵．【變式23】（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門市松柏中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1，l2分別是函數(shù)y=

（1）關(guān)于x的方程k1x+（2）若x=m，x=n分別為方程k1x+b1=3和【答案】x=-2【分析】（1）由函數(shù)y=k1x+（2）如圖，畫直線y=3，與直線l1，l2的交點(diǎn)分別為A，B，由圖象可得：A的橫坐標(biāo)為x=m【詳解】解：（1）∵函數(shù)y=k1x+∴關(guān)于x的方程k1x+故答案為：x=-2（2）如圖，畫直線y=3，與直線l1，l2的交點(diǎn)分別為A由圖象可得：A的橫坐標(biāo)為x=m，B的橫坐標(biāo)為∴m<故答案為：m<【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與一元一次方程的聯(lián)系，坐標(biāo)與圖形，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．【題型3利用一次函數(shù)的變換求一元一次方程的解】【例3】（2023春·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A-【答案】x【分析】將點(diǎn)A坐標(biāo)代入一次函數(shù)，可求得k與b之間的關(guān)系，進(jìn)而可化簡(jiǎn)方程kx【詳解】∵一次函數(shù)y=kx+∴-k∴k化簡(jiǎn)方程kxk(根據(jù)題意，k≠0x+3=0解得：x=-3故答案為：x=-3【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)、一元一次方程，掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟悉解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023春·福建福州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象為直線l，則關(guān)于x的方程a【答案】x=2+3【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象可得一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過2,0點(diǎn)，則函數(shù)y=【詳解】解：∵一次函數(shù)y=ax+∴一次函數(shù)y=ax+b的圖象向右平移3單位后，交∴關(guān)于x的方程ax-3故答案為：x=2+【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)圖象與平移，關(guān)鍵是正確利用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題．【變式32】（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若一次函數(shù)y＝kx+b（k為常數(shù)且k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0），則關(guān)于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解為．【答案】x【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)求得b=2k，然后代入關(guān)于x的方程k(x﹣5)+b＝0，解方程即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k為常數(shù)且k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣2，0)，∴-2∴b=2把b=2k代入方程k(x﹣5)+b＝得k(x﹣5)+2k＝0，解得x=故答案為：x【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)及一元一次方程的解法，解題的關(guān)鍵是利用一次函數(shù)的性質(zhì)求得b=2【變式33】（2023秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）將直線y＝kx﹣2向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得直線y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解為x＝3，則k＝2，m＝﹣6．【分析】利用直線平移的規(guī)律得到m＝﹣6，然后把x＝3代入kx﹣6＝0可求出k的值．【解答】解：∵直線y＝kx﹣2向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得直線解析式為y＝kx﹣2﹣4，即y＝kx﹣6，∴m＝﹣6，∵程kx+m＝0的解為x＝3，∴3k﹣6＝0，解得k＝2．故答案為2，﹣6．【題型4一次函數(shù)與二元一次方程（組）的解】【例4】（2023春·江西宜春·八年級(jí)江西省宜豐中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，已知k為整數(shù)，若函數(shù)y=2x-1與y=A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】聯(lián)立兩函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=2x-1與y=kx+k，解方程組求x、【詳解】解：解方程組y=2x-當(dāng)k=-1，1，3，5時(shí)，x、y此時(shí)，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)為整點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線相交或平行問題，解二元一次方程組．關(guān)鍵是通過求交點(diǎn)坐標(biāo)解方程組，根據(jù)x、y為整數(shù)確定k的取值．【變式41】（2023春·北京東城·八年級(jí)北京二中?？计谥校┯脠D象法解某二元一次方程組時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖象（如圖所示），則所解的二元一次方程組是（

）A．x+y=2x-2y=1 B【答案】D【分析】先確定兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再把交點(diǎn)坐標(biāo)逐一代入方程組進(jìn)行檢驗(yàn)，從而可得答案．【詳解】解：由函數(shù)圖象可得交點(diǎn)坐標(biāo)為：x=-1∴把x=-1y=1代入x把x=-1y=1代入x把x=-1y=1代入x把x=-1y=1代入x故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的解與函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系，掌握函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的方程組的解是解本題的關(guān)鍵．【變式42】（2023?德城區(qū)二模）若以關(guān)于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）都在直線y=-12x+b﹣1上，則常數(shù)A．12 B．1 C．﹣1 D．【分析】直線解析式乘以2后和方程聯(lián)立解答即可．【解答】解：因?yàn)橐躁P(guān)于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)（x，y）都在直線y=-12x+b﹣直線解析式乘以2得2y＝﹣x+2b﹣2，變形為：x+2y﹣2b+2＝0，所以b﹣2b+2＝0，解得：b＝2，故選：D．【變式43】（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線y=ax+b和直線y=kx交于點(diǎn)P，若二元一次方程組y=kx【答案】3【分析】根據(jù)函數(shù)圖像可知，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，由此即可求解．【詳解】解：∵直線y=ax+b和直線y=∴二元一次方程組y=kxy∴x+故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖像的性質(zhì)，兩條直線相交的交點(diǎn)的公共解，掌握一元函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型5不解方程組判斷方程組解的情況】【例5】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【活動(dòng)回顧】：八年級(jí)下冊(cè)教材中我們?cè)骄窟^“以方程x+y=5的解為坐標(biāo)（x的值為橫坐標(biāo)、y的值為縱坐標(biāo)）的點(diǎn)的特性”，了解了二元一次方程的解與其圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系．發(fā)現(xiàn)：以方程x

示例：如圖1，我們?cè)诋嫹匠蘹-y=0的圖象時(shí)，可以取點(diǎn)A(-1,-1)和（1）請(qǐng)你在圖2所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出二元一次方程組x-y=12x（2）觀察圖象，上述兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為________，由此得出這個(gè)二元一次方程組的解是________；【拓展延伸】：（3）已知二元一次方程ax+by=7的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)A(1,2)和（4）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+3圖象l1和一次函數(shù)y=x-【答案】（1）見解析（2）（3，2），x=3y=2（3）4【分析】（1）首先寫出每個(gè)二元一次方程的兩組解，x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，兩點(diǎn)確定一條直線，畫出圖像即可；（2）由圖可知交點(diǎn)坐標(biāo)，而交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程組解中x的值，交點(diǎn)縱坐標(biāo)即為方程組解中y的值；（3）將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，列出關(guān)于a，b的二元一次方程組，即可求出a，b的值；（4）①將方程組的兩個(gè)二元一次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次函數(shù)，而這兩個(gè)一次函數(shù)的k相等，所以兩直線平行；②兩直線沒有交點(diǎn)，故方程組無解．【詳解】（1）對(duì)于2x+3y即可根據(jù)(3,2),(6,0)畫出2x對(duì)于x-y=1即可根據(jù)(1,0),(3,2)畫出x-

（2）根據(jù)圖象可知，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)∴二元一次方程組的解為x=3故答案為：(3,2)，x=3（3）將點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(4,1)代入二元一次方程得a+2解方程組，得a=1∴a+（4）∵y=2x+2與y∴兩直線平行，沒有交點(diǎn)，∴方程組2x∴方程組x-【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程（組），方程組的解就是使方程組中兩個(gè)方程同時(shí)成立的一對(duì)未知數(shù)的值，而這一對(duì)未知數(shù)的值也同時(shí)滿足兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)，因此方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題關(guān)鍵是掌握兩個(gè)一次函數(shù)求交點(diǎn)與二元一次方程組的關(guān)系．【變式51】（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）函數(shù)y=ax+b與函數(shù)yA．無數(shù)解 B．無解 C．唯一解 D．不能確定【答案】C【分析】函數(shù)所表示的直線的交點(diǎn)即為函數(shù)所組成的方程組的解，方程組有幾個(gè)解就是要看有幾個(gè)交點(diǎn)．【詳解】解：∵直線的交點(diǎn)即方程組的解，∴函數(shù)y=ax+b與函數(shù)y故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，理解直線的交點(diǎn)即方程組的解是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2023秋?泰興市校級(jí)期末）已知關(guān)于x，y的方程組y（1）當(dāng)k，b為何值時(shí)，方程組有唯一一組解；（2）當(dāng)k，b為何值時(shí)，方程組有無數(shù)組解；（3）當(dāng)k，b為何值時(shí)，方程組無解．【分析】（1）利用兩直線的位置關(guān)系得到當(dāng)k≠3k﹣1時(shí)，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）x+2只有一個(gè)交點(diǎn)，于是可得到k的取值范圍；（2）利用兩直線的位置關(guān)系得到當(dāng)k＝3k﹣1，b＝2時(shí)，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）x+2重合，于是可得到k、b的值；（3）利用兩直線的位置關(guān)系得到當(dāng)k＝3k﹣1，b≠2時(shí)，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）x+2沒有一個(gè)交點(diǎn)，于是可得到k的值和b的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)k≠3k﹣1時(shí)，即k≠12，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）所以當(dāng)k≠12，（2）當(dāng)k＝3k﹣1，b＝2時(shí)，即k=12，b＝2，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）所以k=12，b＝（3）當(dāng)k＝3k﹣1，b≠2時(shí)，即k=12，b≠2，直線y＝kx+b與y＝（3k﹣1）所以k=12，【變式53】（2023春·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線l1：y＝x＋1與直線l2：y＝mx＋n相交于點(diǎn)P(1，b)．（1）求b的值；（2）不解關(guān)于x，y的方程組y=（3）直線l3：y＝nx＋m是否也經(jīng)過點(diǎn)P？請(qǐng)說明理由．（4）直接寫出不等式x+1≥mx+n的解集．【答案】（1）b＝2；（2）x=1y=2；（3）經(jīng)過，見解析；（4【分析】（1）把P（1，b）代入直線l1：y=x+1即可求出b的值；（2）方程組的解實(shí)際就是兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行判斷；（4）根據(jù)點(diǎn)P（1，b）即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）把P(1，b)代入y＝x＋1中得b＝2．（2）方程組的解實(shí)際就是兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，即解為：x（3）∵l2：y＝mx＋n經(jīng)過P(1，2)，∴m＋n＝2，把P(1，2)代入y＝nx＋m，得m＋n＝2，故y＝nx＋m也經(jīng)過P點(diǎn)．（4）x+1≥mx+n的解集可理解為直線l1：y＝x＋1的圖像在直線l2：y＝mx＋n的圖像上方部分，直線l1：y＝x＋1與直線l2：y＝mx＋n相交于點(diǎn)P(1，2)觀察圖像可得：x≥1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組和一次函數(shù)的關(guān)系，以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握方程組的解就是兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)．【題型6一次函數(shù)與一元一次不等式的解集】【例6】（2023秋·安徽馬鞍山·八年級(jí)?？计谥校┮阎淮魏瘮?shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過一、二、三象限，且與x軸交于點(diǎn)(-2，【答案】x【分析】根據(jù)一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過一、二、三象限可得a＞0，且與x軸交于點(diǎn)(-2，0)，得出b=2a，求不等式【詳解】解：∵一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過一、二、三象限，則函數(shù)∴a＞把點(diǎn)(-2，0)，代入即可得到：-2不等式ax>b的解集就是求函數(shù)當(dāng)y=0時(shí)，ax∴ax-∵a≠0∴x-∴x=2故當(dāng)x＞2時(shí)，不等式則不等式ax>b的解集為故答案為：x＞【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)與不等式的關(guān)系式解題的關(guān)鍵．【變式61】（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知一次函數(shù)y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)，x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是()x210123y321012A．x<0 B．x>0 C．x<1 D．x>1【答案】D【分析】由表格得到函數(shù)的增減性后，再得出y=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值即可．【詳解】解：當(dāng)x=1時(shí)，y=0，根據(jù)表可以知道函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴不等式kx+b＜0的解集是x＞1．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系．理解一次函數(shù)的增減性是解決本題的關(guān)鍵．【變式62】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一次函數(shù)y=ax+b（a、b是常數(shù)，a≠0）函數(shù)圖象經(jīng)過(1，4)，(2，2)兩點(diǎn)，下面說法中：（1）a=2，b=2；（2）函數(shù)圖象經(jīng)過(1，0)；（3）不等式ax+b＞0的解集是x＜1；（4）不等式ax+b＜0的解集是x＜1；正確的說法有．（請(qǐng)寫出所有正確說法的序號(hào)）【答案】（2）（3）【詳解】∵一次函數(shù)y=ax+b(a、b是常數(shù)，a≠0)函數(shù)圖象經(jīng)過(?1，4)，(2，?2)兩點(diǎn)，∴-a解得a=?2，b=2，故（1）錯(cuò)誤；∴一次函數(shù)的解析式為y=?2x+2，令y=0，則?2x+2=0，解得：x=1∴圖象經(jīng)過(1，0)點(diǎn)，故（2）正確；∵a=?2，圖象經(jīng)過(1，0)點(diǎn)，∴不等式?2x+b>0的解集為x<1，即不等式ax+b＞0的解集是x<1，故（3）正確；不等式?2x+b<0的解集為x>1，即不等式ax+b<0的解集是x>1，故（4）錯(cuò)誤．綜上可知正確說法為（2）（3）．故答案為：（2）（3）．【變式63】（2023秋·浙江嘉興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-2,0)，則關(guān)于x的不等式【答案】x【分析】觀察函數(shù)圖象得到即可．【詳解】解：由圖象可得：當(dāng)x>-2時(shí)，kx所以關(guān)于x的不等式kx+b>0所以關(guān)于x的不等式k(x-即：x>1故答案為x>1【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+【題型7兩個(gè)一次函數(shù)與一元一次不等式】【例7】（2023春·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y1=kx+b與y

A．x>-1 B．x>2 C．x<-1 D【答案】C【分析】不等式kx+b-x+a>0【詳解】解：由圖象可知，不等式kx+b-故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線【變式71】（2023春·福建龍巖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）直線y1=kx+2k+3和直線y2=-2x【答案】k【分析】根據(jù)y1<y2列出不等式kx+2k+3<-2【詳解】解：∵當(dāng)x<-2∴當(dāng)x<-2整理得：kx+2xk∵當(dāng)x<-2∴不等式xk+2<-2∴k+2>0解得：k>-2故答案為：k>-2【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，以及不等式的性質(zhì)：不等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變．【變式72】（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線y1=kx+b與x軸交于點(diǎn)A1,0，直線y2

(1)觀察圖象，直接寫出不等式kx+b(2)若不等式3x+m>kx【答案】(1)x(2)-2,6【分析】（1）根據(jù)圖象可直接得出答案；（2）由題意可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-2，把B-4,0代入y2=3【詳解】（1）解：∵A1,0，y∴觀察圖象可知，不等式kx+b<0（2）解：由題意可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-2把B-4,0代入得：0=3x-解得m=12，∴y2把x=-2，代入y2解得y=6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為-2,6

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，圖象法解一元一次不等式，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式73】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y1=-12x+6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、C

(1)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象，直接寫出y2>y(3)若M是線段OA上的點(diǎn)，且△COM的面積為9，求直線CM【答案】(1)A(6，3)(2)x>6(3)直線CM解析式為y=-32【分析】（1）聯(lián)立兩直線解析式求出A的坐標(biāo)即可；（2）由直線y2=1（3）根據(jù)M在直線OA．上，設(shè)出M坐標(biāo)，表示出三角形COM面積，把已知面積代入求出x的值，確定出M坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出CM解析式即可；【詳解】（1）解∶解方程組y=-得x=6∴A(6，3)（2）解：y2>y1時(shí)，即是直線l2∶y∵A(6，3)∴x>6

（3）解：y1=-12x∴OC=6，C設(shè)M(x，12∵△COM的面積為912×6×解得x=3∴12x=∴M(3，32設(shè)直線CM的函數(shù)表達(dá)式是y=把C(0，6)，M(3，6=k解得∶b=6∴直線CM解析式為y=-32【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)與不等式的關(guān)系及一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．【題型8一次函數(shù)與一元一次不等式組的解集】【例8】（2023春·山東東營(yíng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：同一個(gè)坐標(biāo)系中分別作出了一次函數(shù)y=k1x+b1和y=k2x+b2的圖象，分別與

(1)關(guān)于x的方程k1x+b1=0的解是_______；關(guān)于(2)請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的不等式k1(3)請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的不等式組k1(4)求△ABC【答案】(1)x=-(2)x(3)-(4)9【分析】（1）利用直線與x軸交點(diǎn)即為y=0時(shí)，對(duì)應(yīng)x（2）利用兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象得出答案；（3）根據(jù)函數(shù)圖像分別解不等式，再取公共部分即可；（4）利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）∵一次函數(shù)y=k1x+b1和y∴關(guān)于x的方程k1x+關(guān)于x的方程k2x+（2）∵一次函數(shù)y=k1x∴根據(jù)圖象可以得到：關(guān)于x的不等式k1x+（3）根據(jù)圖象可以得到：關(guān)于x的不等式k1x+關(guān)于x的不等式k2x∴關(guān)于x的不等式組k1x+（4）∵A-1,0，∴AB∴△ABC的面積=【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程的解、一次函數(shù)與不等式，一次函數(shù)與不等式組，正確利用數(shù)形結(jié)合解題是解題關(guān)鍵．【變式81】（2023秋·浙江·八年級(jí)期末）如圖，直線y=kx+b(k≠0)經(jīng)過A(-1,-2)和【答案】-【分析】用待定系數(shù)法求出k、b的值，然后將它們代入不等式組中進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將A(?1，2)和B(?3，0)代入y=kx+b中得：-解得：k=-1∴y=x3，則x+1<x3<0，解得：?3<x<?2，故答案為：?3<x<?2【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及不等式的解法，難度不大．【變式82】（2023秋·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考期末）已知直線y1=kx+1(k<0)與直線【答案】1【分析】由mx-2<(m-2)x+1，即可得到x<3【詳解】解：把(12,12解得k=∴y令y3當(dāng)y3<y解得x<當(dāng)kx+1<mx時(shí)，解得x>∴不等式組mx-2<kx【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=kx+b的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+【變式83】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=﹣x﹣2與y=2x+m的圖象相交于點(diǎn)P（n，﹣4），則關(guān)于x的不等式組{2x+【答案】﹣2＜x＜2【分析】先將點(diǎn)P（n，﹣4）代入y=﹣x﹣2，求出n的值，再找出直線y=2x+m落在y=﹣x﹣2的下方且都在x軸下方的部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可．【詳解】∵一次函數(shù)y=﹣x﹣2的圖象過點(diǎn)P（n，﹣4），∴﹣4=﹣n﹣2，解得n=2，∴P（2，﹣4），又∵y=﹣x﹣2與x軸的交點(diǎn)是（﹣2，0），∴關(guān)于x的不等式組2x+故答案為-【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，準(zhǔn)確確定出n的值，是解答本題的關(guān)鍵．【題型9一次函數(shù)與不等式組中的陰影區(qū)域問題】【例9】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀，我們知道，在數(shù)軸上，x=1表示一個(gè)點(diǎn)，而在平面坐標(biāo)系中，x=1表示一條直線；我們還知道，以二元一次方程2xy+1=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖形，就是一次函數(shù)y=2x+1的圖象，它也是一條直線，如圖1，可以得出，直線x=1與直線y=2x+1的交點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，3）就是方程組x=1,2在直角坐標(biāo)系中，x≤1表示一個(gè)平面區(qū)域，即直線x=1以及它的左側(cè)的部分，如圖2；y≤2x+1，也表示一個(gè)平面區(qū)域，即直線y=2x+1以及它下方的部分，如圖3．回答下列問題：（1）在直角坐標(biāo)系（如圖4）中，用作圖的方法求方程組x=-2,（2）用陰影表示x≥-2,【答案】（1）P的坐標(biāo)（2，6））；（1）見解析【分析】（1）兩條直線的交點(diǎn)就是兩個(gè)一元二次方程的解，畫出圖形求交點(diǎn)解可；（2）在圖中取不等式的等號(hào)時(shí)畫出圖形，即可得出陰影部分的圖形．【詳解】（1）在直角坐標(biāo)系中，用作圖的方法求方程組x=-2,y

圖1

（圖1中點(diǎn)P的坐標(biāo)（2，6））；（2）：x≥-2,y≤-2

圖2【點(diǎn)睛】求方程組的解可以用待定系數(shù)法，同樣也可以用圖解法，此題給了這種方法，可以簡(jiǎn)單明了的求出方程組的解．【變式91】（2023?黃岡中學(xué)自主招生）如圖，表示陰影區(qū)域的不等式組為（）A．2x+y≥53