專題06三角形中的導(dǎo)角模型-平行線拐點(diǎn)模型（教師卷）

專題06三角形中的導(dǎo)角模型平行線+拐點(diǎn)模型近年來(lái)各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。平行線+拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點(diǎn)模型（豬蹄模型(M型)、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：豬蹄模型（M型）【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.例1．（2022·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，從而可得，則有，，即可求的度數(shù)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，如圖，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．例2．（2023春·安徽蚌埠·九年級(jí)校聯(lián)考期中）太陽(yáng)灶、衛(wèi)星信號(hào)接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從點(diǎn)O照射到拋物線上的光線，反射后沿著與平行的方向射出，已知圖中，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)即可得出，，再根據(jù)即可求解．【詳解】由題意知∴，∴故選：C．【點(diǎn)睛】題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，牢記性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例3．（2023春·四川瀘州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN=，即可得出答案．【詳解】過(guò)C作CD∥AB，過(guò)M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN=，∴=∠BCD+∠DCM=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力．例4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）北京冬奧會(huì)掀起了滑雪的熱潮，谷愛(ài)凌的勵(lì)志故事也激勵(lì)著我們青少年，很多同學(xué)紛紛來(lái)到滑雪場(chǎng)，想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場(chǎng)上風(fēng)馳電掣的感覺(jué)，但是第一次走進(jìn)滑雪場(chǎng)的你，如果不想體驗(yàn)人仰馬翻的感覺(jué)，學(xué)會(huì)正確的滑雪姿勢(shì)是最重要的，正確的滑雪姿勢(shì)是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，，當(dāng)人腳與地面的夾角時(shí)，求出此時(shí)上身與水平線的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，利用平行線的性質(zhì)得出，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可得出結(jié)果．【詳解】解：延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，，，

根據(jù)題意得，，故選：A．【點(diǎn)睛】題目考查平行線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例5．（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)專題練習(xí)）已知，，，若，則為（

）A．23° B．33° C．44° D．46°【答案】C【分析】如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差可得，同樣的方法可得，再根據(jù)角的倍分可得，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作，則，∴，，同理可得：，，∴，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例6．（2022·浙江七年級(jí)期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過(guò)，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請(qǐng)你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們不妨取名叫“木尺斷口問(wèn)題”．（1）如圖（2）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)，，有何關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)，，又有何關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請(qǐng)問(wèn)與有何關(guān)系并說(shuō)明理由．

【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：過(guò)點(diǎn)E作直線a∥AB，則a∥AB∥CD，則∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.（2）∠E+∠B+∠D=360°，理由如下：過(guò)點(diǎn)E作直線b∥AB，則b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D=360°即∠E+∠B+∠D=360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G作直線c∥AB，d∥AB，e∥AB，則c∥AB∥d∥e∥CD，則∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.模型2：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.例1．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖所示，已知，那么（

）

A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】過(guò)點(diǎn)C作，

，，∴由得，，即．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．例2．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是路政工程車(chē)的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平行若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作工作籃底部，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作工作籃底部，，

工作籃底部與支撐平臺(tái)平行，工作籃底部支撐平臺(tái)，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”、“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·河南三門(mén)峽·校聯(lián)考一模）如圖，圖1是某小區(qū)車(chē)庫(kù)門(mén)口的“曲臂直桿道閘”，可抽象為圖2所示的數(shù)學(xué)圖形．已知垂直地面上的直線于點(diǎn)，當(dāng)車(chē)牌被自動(dòng)識(shí)別后，曲臂直桿道閘的段將繞點(diǎn)緩慢向上抬高，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即始終平行于）．在該運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作，利用平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出，則．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作，∵，∴，∴，∵，即，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·新疆·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．【答案】540【分析】過(guò)點(diǎn)E作，過(guò)點(diǎn)F作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可作答．【詳解】過(guò)點(diǎn)E作，過(guò)點(diǎn)F作，如圖，∵，，，∴，，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案為：540．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．構(gòu)造輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．例5．（2022春·河北保定·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，則，則等于（用含的式子表示）．

【答案】/360度【分析】過(guò)點(diǎn)向右作，過(guò)點(diǎn)向右作，得到，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得出答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)向右作，過(guò)點(diǎn)向右作，

∵，∴，∴，，，∴，當(dāng)時(shí)，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．模型3：牛角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.例1．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作，則，由平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)一步推出．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，若，則∠1+∠3∠2的度數(shù)為【答案】180°【分析】延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F，則有∠2+∠EFC=∠3，然后根據(jù)可得∠1=∠EFD，最后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角及等量代換可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)F，如圖所示：，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，，；故答案為180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵例3．（2022·湖北洪山·七年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點(diǎn)，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為_(kāi)_____．【答案】∠P＝360°﹣2a【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的關(guān)系，然后即可用a表示∠P．【詳解】解：延長(zhǎng)AB交PD于點(diǎn)G，延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)H，∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案為：∠P＝360°﹣2a．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和，有一定的綜合性，認(rèn)真找出角的關(guān)系是關(guān)鍵．例4．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)校?？计谥校┮阎本€，點(diǎn)為直線，所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn)，(1)問(wèn)題提出：如圖1，，．求的度數(shù)：(2)問(wèn)題遷移：如圖2，寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：(3)問(wèn)題應(yīng)用：如圖3，，，，求的值．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，易得，由平行線的性質(zhì)可得，，即可求出；（2）過(guò)點(diǎn)作，易得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；（3）過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，易得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再由已知等量代換，即可求得的值．【詳解】（1）解：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，．，，；（2）解：，理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，；（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·余干縣八年級(jí)期末）已知直線AB∥CD，（1）如圖1，直接寫(xiě)出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，試探究∠P與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點(diǎn)F，則=．【答案】(1)∠E=∠END﹣∠BME(2)∠E+2∠NPM=180°（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角定理即可解答.（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形外角定理，角平分線的性質(zhì)即可解答.（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角定理即可解答.【詳解】（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，（2）如圖2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵M(jìn)Q平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；（3）如圖3，延長(zhǎng)AB交DE于G，延長(zhǎng)CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②由①代入②，可得∠F=∠E，即.點(diǎn)睛：本題考查了三角形外角定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義.模型4：羊角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.例1．（2023春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為．【答案】57°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°以及平行線的性質(zhì)：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如果兩直線平行，那么它們的同旁內(nèi)角互補(bǔ)；3、如果兩直線平行，那么它們的內(nèi)錯(cuò)角相等，據(jù)此計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)AE、CD交于點(diǎn)F，∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠CFE=180°37°20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°123°=57°，故答案為：57°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，熟知平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·江蘇七年級(jí)期中）如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．則∠C等于（

）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】B【分析】根據(jù)AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因?yàn)椤螩=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．【詳解】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故選B．例3．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知AB//CD，求證：∠B＝∠E＋∠D【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠B=∠BOD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，結(jié)合角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，如圖∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（輔助線），∴∠BOD=∠BEF（兩直線平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代換），∴∠BOD=∠E+∠D（等量代換），即∠B=∠E+∠D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出相等或互補(bǔ)的角．例4．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到，，即可求得．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，∵，，∴．∴，．∵，∴．∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例5．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，，，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)．

（1）的度數(shù)為；（2）若．則與（填“平行”或“不平行”）．【答案】/度平行【分析】（1）根據(jù)平分線的判定可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)；（2）根據(jù)對(duì)頂角相等可得的度數(shù)，根據(jù)平分線的判定可得．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案為：．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：平行．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型5：蛇形模型（“5”字模型）基本模型：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.例1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)，拐彎后與原來(lái)方向相同，如圖，若，則等于（

）A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)C作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作，∴，∵∴；∵，∴；由題意，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判斷和性質(zhì)，作出輔助線，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，若，，，則的度數(shù)是（）A．115° B．130° C．140° D．150°【答案】C【分析】利用平行線的傳遞性作出輔助線，再通過(guò)平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)作的平行線，如圖所示；，∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的基本性質(zhì)與平行的傳遞性，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，根據(jù)傳遞性做出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例3．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，，，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)分別求出和，則．【詳解】解：如圖，作，則，

，，，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線．例4．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，，，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)可知，．再由角平分線的定義即可求解．【詳解】∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．例5．（2023·江西·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖于點(diǎn)D，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使，則的最小值為．【答案】/25度【分析】過(guò)點(diǎn)C作，過(guò)點(diǎn)A作，利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，則，∴．過(guò)點(diǎn)A作，則．∴，故的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可得．【詳解】解：如圖，，，，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知：，，求證：．在證明該結(jié)論時(shí)，需添加輔助線，則以下關(guān)于輔助線的作法不正確的是（

）

A．延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B．連接C．分別作，的平分線，D．過(guò)點(diǎn)作（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），過(guò)點(diǎn)作（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定逐一判斷即可．【詳解】解：A、如圖，∵，∴，∵，∴，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、如圖，∵，∴，∵，∴，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；C、如圖，由平分，平分，沒(méi)有條件說(shuō)明與相等，也沒(méi)有條件說(shuō)明與平行，∴此輔助線的作法不能說(shuō)明與平行，故此選項(xiàng)符合題意；

D、如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行公理的推論．掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）如圖是路政工程車(chē)的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平行．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)頂點(diǎn)作直線l支撐平臺(tái)，直線l將分成兩個(gè)角即、，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖所示，過(guò)頂點(diǎn)作直線l支撐平臺(tái)，直線l將分成兩個(gè)角即、∵工作籃底部與支撐平臺(tái)平行、直線l支撐平臺(tái)∴直線l支撐平臺(tái)工作籃底部∴、∵∴∴故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，兩直線、平行，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】分別過(guò)E點(diǎn),F點(diǎn),G點(diǎn),H點(diǎn)作L1,L2,L3,L4平行于AB觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，則故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵5．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，若，，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)分別求出的度數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·安徽蕪湖·七年級(jí)期中）如圖，AB∥CD，BF,DF分別平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F與∠ABE互補(bǔ)，則∠F的度數(shù)為A．30° B．35° C．36° D．45°【答案】C【分析】延長(zhǎng)BG交CD于G,然后運(yùn)用平行的性質(zhì)和角平分線的定義，進(jìn)行解答即可.【詳解】解：如圖延長(zhǎng)BG交CD于G∵BF∥ED∴∠F=∠EDF又∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠F，∵BF∥ED∴∠CGF=∠EDF=2∠F，∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF=2∠F，∵BF平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，又∵∠F與∠ABE互補(bǔ)∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案選C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行的性質(zhì)和角平分線的定義，做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.7．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考三模）如圖是一款手推車(chē)的平面示意圖，其中，，，則的度數(shù)為（

）A．56 B．66 C．98 D．104【答案】A【分析】如圖，在處作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，由對(duì)頂角相等可得，根據(jù)計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，在處作，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等，平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．8．（2023春·重慶江津·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，設(shè)∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，則α，β，γ的數(shù)量關(guān)系是（）A．4β﹣α+γ＝360°B．3β﹣α+γ＝360°C．4β﹣α﹣γ＝360°D．3β﹣2α﹣γ＝360°【答案】A【分析】過(guò)E作EN∥AB，過(guò)F作FQ∥AB，根據(jù)已知條件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．【詳解】解：過(guò)E作EN∥AB，過(guò)F作FQ∥AB，∵∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，∠ABE＝