專題06函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性（5個考點梳理10題型解讀提升訓(xùn)練）（原卷版）

專題06函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性【清單01】單調(diào)性的定義與證明1.單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為，區(qū)間，如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)單調(diào)區(qū)間I是y＝f(x)的增區(qū)間I是y＝f(x)的減區(qū)間圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的提醒：(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式或集合表示．(2)有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號“∪”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號”或“和”連接．2．證明函數(shù)單調(diào)性的定義法：【清單02】函數(shù)的最值設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，存在x0∈A，使得對于任意的，都有，那么稱為y＝f(x)的最大值，記為；設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，存在x0∈A，使得對于任意的，都有，那么稱為y＝f(x)的最小值，記為【清單03】函數(shù)的平均變化率1.函數(shù)單調(diào)性與平均變化率2.利用平均變化率證明單調(diào)性（1）?x1，x2∈D(x1≠x2)，?f(x)在D上是增函數(shù)；?f(x)在D上是減函數(shù)．（2）步驟：設(shè)元算差求比定號結(jié)論【清單04】函數(shù)的奇偶性.1.函數(shù)的奇偶性及函數(shù)圖像的對稱性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個，都有并且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)并且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點對稱2.提醒：(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．(2)若f(x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價形式如下：①f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?.②f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?.【清單05】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用1.奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．即“奇同偶反”.2.提醒：函數(shù)奇偶性的四個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則f(－x＋a)＝f(x＋a)．【考點題型一】判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性【例1】（2324高一上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明.【變式11】（2324高一上·北京·期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式12】（2024高一·全國·專題練習(xí)）下列函數(shù)中，滿足“對于任意，都有”的是（

）A． B．C． D．【變式13】（多選）（2324高一上·四川綿陽·期中）已知函數(shù)，則（

）A．B．若，則或C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上的值域為【變式14】（2324高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;(2)當(dāng)時，求函數(shù)的值域.【考點題型二】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】（2324高一下·全國·課堂例題）已知函數(shù)，．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)求在上的值域【變式21】（2324高一下·全國·課堂例題）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【變式22】（2324高一·上?！ふn堂例題）試討論函數(shù)的單調(diào)性.【變式23】（2425高一上·全國·課堂例題）已知函數(shù)，,根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間．【變式24】（2011高一上·江蘇淮安·學(xué)業(yè)考試）已知定義域為R的函數(shù)滿足：①對任意；②當(dāng)時，.(1)求在實數(shù)集R上的解析式；(2)在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；(3)寫出的單調(diào)遞增區(qū)間.【考點題型三】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在集合內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍為.【變式31】（2324高一下·全國·課后作業(yè)）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則（

）.A． B． C． D．【變式32】（2324高一上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)，若對于任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式33】（2223高一下·吉林長春·開學(xué)考試）已知函數(shù)滿足對任意實數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式34】（2223高一上·河北保定·期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是．【考點題型四】應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性解不等式、比較大小【例4】（2324高一下·山東淄博·期中）已知函數(shù)，則不等式的解集為．【變式41】（2324高一上·山東德州·階段練習(xí)）已知為上的增函數(shù)，則滿足的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式42】（2324高一上·重慶南岸·期中）定義在上函數(shù)滿足以下條件：①函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，②在區(qū)間是單調(diào)遞減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【變式43】（2223高一上·北京·期中）已知函數(shù)，若，比較：（填“=、>、<、、”）【變式44】（2324高一上·四川遂寧·期末）已知函數(shù)在上有定義，且．若對任意給定的實數(shù)，均有恒成立，則不等式的解集是．【考點題型五】應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求最值【例5】（2324高一上·河南安陽·期末）已知函數(shù)，且.(1)求.(2)用定義證明函數(shù)在上是增函數(shù).(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【變式51】（2324高一上·浙江寧波·開學(xué)考試）函數(shù)的最大值為.【變式52】（2324高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(2)求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【變式53】（2324高一上·山東濟寧·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【變式54】（1011高一上·陜西寶雞·期中）已知函數(shù)，(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【考點題型六】函數(shù)奇偶性的判斷【例6】（2024高一·全國·專題練習(xí)）判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)，(5)(6)；(7)(8)【變式61】（2324高一上·天津·期中）下列在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式62】（2024·西藏·模擬預(yù)測）若函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式63】（2324高一下·遼寧·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，則有（

）A．是奇函數(shù)， B．是奇函數(shù)，C．是偶函數(shù)， D．是偶函數(shù)，【變式64】（多選）（2023秋·高一課時練習(xí)）如果是定義在上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一定為奇函數(shù)的是（）A． B．C． D．【考點題型七】由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值、解析式【例7】（2324高一上·安徽淮北·期中）已知二次函數(shù)滿足：．(1)求的解析式；(2)若為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，求在R上的解析式．【變式71】（2011高一上·江蘇淮安·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，則【變式72】（2324高一上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則.【變式73】（2425高一上·湖南邵陽·開學(xué)考試）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).結(jié)合以上推廣，現(xiàn)有函數(shù)，則.【變式74】（2425高一上·全國·課堂例題）是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，求，的解析式．【考點題型八】抽象函數(shù)的奇偶性問題【例8】（2324高一上·廣東珠?！て谀┮阎x在上的函數(shù)滿足，，且.(1)求的值；(2)判斷的奇偶性，并證明.【變式81】（2324高三上·山東濟寧·期中）已知函數(shù)的定義域為R，滿足，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【變式82】（多選）（2324高二下·山東威海·期末）已知定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，，則（

）A． B．為奇函數(shù)C．在R上單調(diào)遞減 D．當(dāng)時，【變式83】（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知是奇函數(shù)，定義域是，是偶函數(shù)，定義域是．設(shè)，則為函數(shù)．【變式84】（2024高一·全國·專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，滿足，且，.(1)求，；(2)判斷的奇偶性，并證明；【考點題型九】由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)【例9】（2011高一上·江蘇淮安·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是實數(shù)集R上的奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.【變式91】（2324高一上·安徽·期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【變式92】（2324高一下·貴州貴陽·階段練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【變式93】（2023·全國乙卷·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【變式94】（2324高一上·天津·期中）若函數(shù)為奇函數(shù),則【考點題型十】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例10】（2324高一上·天津·期中）已知函數(shù)的定義域為，并且滿足下列條件：①；②對任意，都有；③當(dāng)時，.(1)證明：為奇函數(shù).(2)解不等式.(3)若對任意的，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【變式101】（2324高一上·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【變式102】（1920高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）函數(shù)在上的單調(diào)遞減的，且函