2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（北京專用集合與常用邏輯用語 不等式 函數(shù)及其性質(zhì)）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：集合與常用邏輯用語+不等式+函數(shù)及其性質(zhì)。5．難度系數(shù)：0.75。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．8月20日《黑傳說悟空》風(fēng)靡全球，下列幾組對象可以構(gòu)成集合的是（

）A．游戲中會變身的妖怪 B．游戲中長的高的妖怪C．游戲中能力強(qiáng)的妖怪 D．游戲中擊敗后給獎勵多的妖怪【答案】A【詳解】對A：游戲中會變身的妖怪可以構(gòu)成集合，故A正確；對B、C、D：不滿足集合的確定性，故不能構(gòu)成集合，故B、C、D錯誤.故選：A.2．設(shè)全集，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，，而，所以.故選：C3．已知，使成立的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，，A不是；對于B，當(dāng)時，由，得，B不是；對于C，，可能有，如，C不是；對于D，由，得，則；若，則，D是.故選：D4．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，關(guān)于數(shù)0不對稱，是非奇非偶函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，B不是；對于C，函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，C是；對于D，函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，D不是.故選：C5．若命題“，”為真命題，則實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】A【詳解】因為，即，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，若，，即，所以實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是.故選：A.6．已知，當(dāng)時，取得最小值為b，則（

）A． B．2 C．3 D．8【答案】C【詳解】因為，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，.故選：C7．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，則.又，所以.故選：C8．你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達(dá)到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時刻是（

）A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【詳解】由題意，，則當(dāng)時，即煙花達(dá)到最高點，爆裂的時刻是第秒.故選：A.9．已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則在上也是增函數(shù)，因為不等式對任意實數(shù)恒成立所以對任意實數(shù)恒成立，即對任意實數(shù)恒成立，當(dāng)時，不恒成立，當(dāng)時，可得，解可得.即的取值范圍是，故選：A10．設(shè)函數(shù)，，若對任意的，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得函數(shù)的值域的值域為函數(shù)的值域的子集，當(dāng)時，，即的值域為，若，則，即的值域為，而，符合要求；若，則由一次函數(shù)的性質(zhì)可得，則有，解得，又，故；若，則由一次函數(shù)的性質(zhì)可得，則有，解得，又，故；綜上所述，.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．函數(shù)的定義域為．【答案】【詳解】的定義域滿足且，解得且.故答案為：12．已知方程的兩個根為和，則.【答案】14【詳解】方程有實根，則，所以.故答案為：1413．若命題“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】根據(jù)題意可得“，使”是假命題等價于“，”是真命題，因此可得，解得；即可得實數(shù)的取值范圍為1,+∞.故答案為：1,+14．已知函數(shù)若，則實數(shù)；函數(shù)的值域為.【答案】【詳解】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得（舍去），所以；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為.故答案為：；.15．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：．①；②對于任意兩個不同的正數(shù)，都有恒成立；③對于任意兩個不同的實數(shù)，都有．【答案】（答案不唯一）【詳解】當(dāng)時，對于①，，故滿足①；對于②，由對于任意兩個不同的正數(shù)，都有恒成立，得函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，而函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，故滿足②；對于③，任取，則，因為，所以，即，所以，故滿足③.故答案為：（答案不唯一）.三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。16．（13分）已知集合，.(1)當(dāng)時，求和；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）時，，或，（3分）；（6分）（2），當(dāng)時，，解得，（7分）當(dāng)時，，（9分）解得，（12分）故實數(shù)的取值范圍是.（13分）17．（14分）已知二次函數(shù).(1)若存在使成立，求k的取值范圍；(2)當(dāng)時，求在區(qū)間上的最小值.【詳解】（1）若存在使成立，則，（4分）解得或，（6分）所以k的取值范圍是；（7分）（2）當(dāng)時，，為對稱軸是開口向上的拋物線，因為，所以，（9分）當(dāng)即時，；（10分）當(dāng)即時，；（11分）當(dāng)即時，；（12分）綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.（14分）18．（13分）已知函數(shù)．(1)判斷并證明的奇偶性；(2)證明在上是增函數(shù)；(3)求在上的最大值及最小值．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，對任意的，，所以函數(shù)為奇函數(shù).（3分）（2）對區(qū)間上的任意兩個數(shù)，且，則，（5分）由，則，，，（7分）從而，即，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).（9分）（3）由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)在上的最大值、最小值分別為.（14分）19．（15分）2018年10月24日，世界上最長的跨海大橋—港珠澳大橋正式通車。在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到220輛/千米，將造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米，車流速度為100千米/時.研究表明：當(dāng)時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/時）可以達(dá)到最大？并求出最大值.【詳解】（1）由題意，當(dāng)時，v(x)=100，當(dāng)時，設(shè)，則（5分）解得：，∴（8分）（2）由題意，（11分）當(dāng)時，的最大值為（12分）當(dāng)時，，（13分）的最大值為∴當(dāng)車流密度為110輛/千米時，車流量最大，最大值為6050輛/時.（15分）20．（15分）定義在上的函數(shù)滿足：①對任意，都有；②當(dāng)時，有．求證：(1)是奇函數(shù)；(2)．其中.【詳解】（1）令，代入，得到．令，得，即．∴在上是奇函數(shù)．（5分）（2），（8分）∴．（12分），，．故．（15分）21．（15分）設(shè)為正整數(shù)，若滿足：①；②對于，均有.則稱具有性質(zhì).對于和，定義集合.(1)設(shè)，若具有性質(zhì)，寫出一個及相應(yīng)的；(