數(shù)學(xué)教案：組合第二課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能了解組合數(shù)的性質(zhì)，會(huì)利用組合數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化組合數(shù)的運(yùn)算；能把一些計(jì)數(shù)問題抽象為組合問題解決，會(huì)利用組合數(shù)公式及其性質(zhì)求解計(jì)數(shù)問題．過程與方法通過具體實(shí)例，經(jīng)歷把具體事例抽象為組合問題，利用組合數(shù)公式求解的過程．情感、態(tài)度與價(jià)值觀能運(yùn)用組合要領(lǐng)分析簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，提高分析問題的能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：組合數(shù)的性質(zhì)、利用組合數(shù)公式和性質(zhì)求解相關(guān)計(jì)數(shù)問題．教學(xué)難點(diǎn):利用組合數(shù)公式和性質(zhì)求解相關(guān)計(jì)數(shù)問題．eq\o（\s\up7（）,\s\do5(教學(xué)過程))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（引入新課）)提出問題1：判斷下列問題哪個(gè)是排列問題，哪個(gè)是組合問題,并回顧排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系．（1)從A、B、C、D四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽；(2)從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中選出2個(gè)人擔(dān)任班長(zhǎng)和團(tuán)支部書記．活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師提問．活動(dòng)成果：(1）是組合問題，（2）是排列問題．1．組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．2．組合與排列的區(qū)別和聯(lián)系:(1)區(qū)別：①排列有順序,組合無順序．②相同的組合只需選出的元素相同，相同的排列則需選出的元素相同，并且選出元素的順序相同．（2)聯(lián)系：①都是從n個(gè)不同的元素中選出m(m≤n)個(gè)元素；②排列可以看成先組合再全排列．設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)組合的概念,檢查學(xué)生的掌握情況．提出問題2：利用上節(jié)課所學(xué)組合數(shù)公式，完成下列兩個(gè)練習(xí)：練習(xí)1：求證:Ceq\o\al(m，n)＝eq\f（n,m)Ceq\o\al(m－1，n－1)。(本式也可變形為：mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1））練習(xí)2：計(jì)算:①Ceq\o\al（3,10)和Ceq\o\al（7，10）；②Ceq\o\al(3,7）－Ceq\o\al（2,6）與Ceq\o\al(3，6）；③Ceq\o\al(4，11)＋Ceq\o\al(5，11）?；顒?dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生板演．活動(dòng)成果：練習(xí)2答案：①120,120②20，20③792.1．組合數(shù)的概念:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)Ceq\o\al（m，n）表示．2．組合數(shù)的公式：Ceq\o\al（m,n）＝eq\f(A\o\al(m,n），A\o\al(m，m））＝eq\f（n（n－1)（n－2)…(n－m＋1),m！)或Ceq\o\al(m,n)＝eq\f（n！，m?。╪－m)!）（n，m∈N，且m≤n）．設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)組合數(shù)公式，為得到組合數(shù)的性質(zhì)打下基礎(chǔ)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（探索新知））提出問題1:由問題2練習(xí)中所求的幾個(gè)組合數(shù),你有沒有發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律,能不能總結(jié)并證明一下？活動(dòng)設(shè)計(jì)：小組交流后請(qǐng)不同的同學(xué)總結(jié)補(bǔ)充．活動(dòng)成果：1．性質(zhì)：(1）Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m，n);（2）Ceq\o\al（m,n＋1）＝Ceq\o\al（m,n)＋Ceq\o\al（m－1，n）.2．證明:(1）∵Ceq\o\al（n－m,n）＝eq\f（n！,（n－m)！［n－（n－m）]！)＝eq\f(n！，m!（n－m）!),又Ceq\o\al（m，n)＝eq\f（n！,m！(n－m）?。?，∴Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n）。（2)Ceq\o\al（m,n)＋Ceq\o\al(m－1，n)＝eq\f(n！，m?。╪－m)!)＋eq\f（n！，（m－1)！[n－（m－1）]！)＝eq\f（n！(n－m＋1）＋n！m,m！(n－m＋1)?。絜q\f（(n－m＋1＋m)n!，m?。╪－m＋1）!)＝eq\f（(n＋1)！，m!(n－m＋1）!）＝Ceq\o\al(m,n＋1）,∴Ceq\o\al(m,n＋1）＝Ceq\o\al(m,n）＋Ceq\o\al(m－1,n).設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)出組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(運(yùn)用新知)）類型一：組合數(shù)的性質(zhì)1(1)計(jì)算：Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al（4，7）＋Ceq\o\al（5，8)＋Ceq\o\al（6,9)；(2）求證:Ceq\o\al（n，m＋2）＝Ceq\o\al(n，m)＋2Ceq\o\al(n－1,m)＋Ceq\o\al(n－2,m）。（1）解：原式＝Ceq\o\al(4，8)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6，9）＝Ceq\o\al(5,9）＋Ceq\o\al(6，9)＝Ceq\o\al（6，10）＝Ceq\o\al(4，10)＝210；（2）證明：右邊＝(Ceq\o\al（n,m）＋Ceq\o\al（n－1,m））＋（Ceq\o\al(n－1，m)＋Ceq\o\al（n－2,m）)＝Ceq\o\al（n，m＋1)＋Ceq\o\al（n－1,m＋1）＝Ceq\o\al（n,m＋2)＝左邊．【鞏固練習(xí)】求證：Ceq\o\al（1,n）＋2Ceq\o\al(2，n）＋3Ceq\o\al(3,n）＋…＋nCeq\o\al(n,n)＝n2n－1。證明：左邊＝Ceq\o\al（1，n)＋2Ceq\o\al(2，n）＋3Ceq\o\al(3，n）＋…＋nCeq\o\al（n，n）＝Ceq\o\al（1,1)Ceq\o\al（1,n）＋Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al(2，n）＋Ceq\o\al(1,3）Ceq\o\al（3,n）＋…＋Ceq\o\al(1,n）Ceq\o\al(n，n)，其中Ceq\o\al(1,i)Ceq\o\al(i,n）可表示先在n個(gè)元素里選i個(gè)，再?gòu)膇個(gè)元素里選一個(gè)的組合數(shù)．設(shè)某班有n個(gè)同學(xué)，選出若干人(至少1人)組成興趣小組，并指定一人為組長(zhǎng)．把這種選法按取到的人數(shù)i分類(i＝1，2，…,n），則選法總數(shù)即為原式左邊．現(xiàn)換一種選法，先選組長(zhǎng),有n種選法，再?zèng)Q定剩下的n－1人是否參加，每人都有兩種可能，所以組員的選法有2n－1種，所以選法總數(shù)為n2n－1種．顯然，兩種選法是一致的,故左邊＝右邊，等式成立．【變練演編】求證：Ceq\o\al（1，n)＋22Ceq\o\al（2，n)＋32Ceq\o\al(3,n）＋…＋n2Ceq\o\al(n,n)＝n(n＋1）2n－2。證明:由于i2Ceq\o\al（i，n)＝Ceq\o\al（1，i)Ceq\o\al（1,i）Ceq\o\al（i，n)可表示先在n個(gè)元素里選i個(gè)，再?gòu)膇個(gè)元素里選兩個(gè)（可重復(fù))的組合數(shù)，所以原式左端可看成在上題中指定一人為組長(zhǎng)的基礎(chǔ)上，再指定一人為副組長(zhǎng)(可兼職）的組合數(shù)．對(duì)原式右端我們可分為組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)是否是同一個(gè)人兩種情況．若組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)是同一個(gè)人，則有n2n－1種選法；若組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)不是同一個(gè)人，則有n（n－1）2n－2種選法．∴共有n2n－1＋n（n－1)2n－2＝n（n＋1）2n－2種選法．顯然，兩種選法是一致的,故左邊＝右邊,等式成立．類型二:有約束條件的組合問題2在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件．(1）有多少種不同的抽法？（2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？解：(1）所求的不同抽法的種數(shù),就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù),所以共有Ceq\o\al（3，100)＝eq\f(100×99×98,1×2×3）＝161700種．(2)從2件次品中抽出1件次品的抽法有Ceq\o\al(1，2）種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有Ceq\o\al（2，98）種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有Ceq\o\al（1，2)×Ceq\o\al(2,98）＝9506種．(3)解法1從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品兩種情況．在第（2)小題中已求得其中1件是次品的抽法有Ceq\o\al(1，2)×Ceq\o\al（2，98)種,因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al（2，98)＋Ceq\o\al（2，2）×Ceq\o\al（1，98)＝9604種．解法2抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即Ceq\o\al（3，100）－Ceq\o\al(3，98)＝161700－152096＝9604種．點(diǎn)評(píng)：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解．【鞏固練習(xí)】1．4名男生和6名女生組成至少有1個(gè)男生參加的三人社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組，問組成方法共有多少種?解法一:(直接法）小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女,1男2女，分別有Ceq\o\al(3,4），Ceq\o\al（2,4)×Ceq\o\al（1,6），Ceq\o\al(1，4)×Ceq\o\al(2，6）種方法,所以，一共有Ceq\o\al（3,4)＋Ceq\o\al（2,4)×Ceq\o\al(1，6）＋Ceq\o\al（1，4）×Ceq\o\al(2，6)＝100種方法．解法二:(間接法）Ceq\o\al(3，10）－Ceq\o\al（3，6)＝100.2．按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？(1)甲、乙、丙三人必須當(dāng)選;（2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選;（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選;（4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選；（6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；解：（1）Ceq\o\al(3，3)Ceq\o\al(2，9）＝36；(2）Ceq\o\al(0,3）Ceq\o\al(5,9)＝126；（3）Ceq\o\al（1,1)Ceq\o\al(4，9)＝126；（4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al（4,9）＝378；(5）方法一:（直接法）Ceq\o\al（0，3）Ceq\o\al（5,9）＋Ceq\o\al（1,3）Ceq\o\al（4,9)＋Ceq\o\al（2，3)Ceq\o\al(3,9）＝756，方法二：（間接法)Ceq\o\al（5，12)－Ceq\o\al(3，3)Ceq\o\al(2，9)＝756;(6）方法一:(直接法)Ceq\o\al(1，3）Ceq\o\al（4,9)＋Ceq\o\al(2,3）Ceq\o\al（3,9）＋Ceq\o\al(3，3)Ceq\o\al（2，9)＝666，方法二:(間接法)Ceq\o\al(5，12)－Ceq\o\al（0,3)Ceq\o\al（5,9）＝666.【變練演編】有翻譯人員11名，其中5名精通英語、4名精通法語,還有2名英、法語皆通．現(xiàn)欲從中選出8名，其中4名譯英語，另外4名譯法語，一共可列多少?gòu)埐煌拿麊?？解：分三類：第一類?名英、法語皆通的均不選，有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4，4）＝5種；第二類:2名英、法語皆通的選一名,有Ceq\o\al(1,2）Ceq\o\al（3,5）Ceq\o\al(4，4）＋Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al（4,5)Ceq\o\al（3，4）＝60種;第三類：2名英、法語皆通的均選,有Aeq\o\al(2，2)Ceq\o\al（3,5)Ceq\o\al（3，4)＋Ceq\o\al(2，5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al（4，5)Ceq\o\al（2,4）＝120種．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋60＋120＝185種不同的名單．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．計(jì)算:(1)Ceq\o\al(3,99)＋Ceq\o\al(2，99）；(2)2Ceq\o\al（3，8）－Ceq\o\al(3，9)＋Ceq\o\al(2，8).2．從6位同學(xué)中選出4位參加一個(gè)座談會(huì)，要求張、王兩人中至多有一個(gè)人參加,則有不同的選法種數(shù)為________．3．從7人中選出3人參加活動(dòng),則甲、乙兩人不都入選的不同選法共有______種．答案：1。(1）161700(2)562。93.30eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)））1．知識(shí)收獲:組合數(shù)的性質(zhì)，用組合數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題．2．方法收獲：化歸的思想方法．3．思維收獲：化歸的思想方法．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(補(bǔ)充練習(xí)))【基礎(chǔ)練習(xí)】1．求證:（1）Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al（m－1，n）＋Ceq\o\al（m,n－1)＋Ceq\o\al（m－1，n－1）；(2）Ceq\o\al（m＋1，n)＋Ceq\o\al(m－1，n)＋2Ceq\o\al(m，n)＝Ceq\o\al(m＋1，n＋2）.2．某城新建的一條道路上有12只路燈,為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈,但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈,可以熄滅的方法共有______．3．100件產(chǎn)品中有合格品90件，次品10件，現(xiàn)從中抽取4件檢查．（1)都不是次品的取法有多少種？(2）至少有1件次品的取法有多少種?(3）不都是次品的取法有多少種？4．從編號(hào)為1,2,3，…，10，11的共11個(gè)球中，取出5個(gè)球,使得這5個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù)，則一共有多少種不同的取法？答案或解答：2.Ceq\o\al(3，8)＝56；3．解：(1）Ceq\o\al(4,90)＝2555190;(2)Ceq\o\al(4,100）－Ceq\o\al(4,90)＝Ceq\o\al（1，10）Ceq\o\al(3，90）＋Ceq\o\al(2，10）Ceq\o\al（2,90)＋Ceq\o\al(3,10）Ceq\o\al(1，90)＋Ceq\o\al（4,10）＝1366035；(3)Ceq\o\al（4，100)－Ceq\o\al（4，10）＝Ceq\o\al(1,90)Ceq\o\al（3,10)＋Ceq\o\al（2，90）Ceq\o\al（2，10）＋Ceq\o\al（3,90)Ceq\o\al(1，10)＋Ceq\o\al（4,90)＝3921015。4．解:分為三類：1奇4偶有Ceq\o\al(1,6）Ceq\o\al（4，5)；3奇2偶有Ceq\o\al(3,6）Ceq\o\al（2,5）;5奇有Ceq\o\al（5，6)，所以一共有Ceq\o\al(1,6）Ceq\o\al（4,5）＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al（2，5)＋Ceq\o\al(5,6)＝236種不同的取法．【拓展練習(xí)】現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作；有4名能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項(xiàng)工作都能勝任),現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項(xiàng)任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？解：我們可以分為三類：①讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事英語翻譯工作，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2，3）；②讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事德語翻譯工作，有Ceq\o\al(3，4）Ceq\o\al（1,3）；③讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作，有Ceq\o\al(3，4)Ceq\o\al(2，3）.所以一共有Ceq\o\al（2，4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al（3，4）Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al（3,4)Ceq\o\al（2,3）＝42種方法．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(設(shè)計(jì)說明))