特訓(xùn)12一次函數(shù)壓軸題（十大母題型歸納）

特訓(xùn)12一次函數(shù)壓軸題（十大母題型歸納）目錄：題型1：存在性問題題型2：取值范圍問題題型3：最值問題題型4：動點(diǎn)問題題型5：新定義題型題型6：旋轉(zhuǎn)問題題型7：定值問題題型8：分段函數(shù)題型9：兩點(diǎn)間的距離與一次函數(shù)題型10：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題型1：存在性問題1．如圖，已知直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，將直線向左平移個單位長度得到直線，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，連接、．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求四邊形的面積；(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使得的面積是四邊形面積的倍若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)的解析式為；(2)四邊形的面積為；(3)存在或．【分析】（）利用待定系數(shù)法求出的解析式，根據(jù)平移得到點(diǎn)的坐標(biāo)及的值相等，再利用待定系數(shù)法即可求出的解析式；（）由圖可得，，即可求解；（）設(shè)，由勾股定理求出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由得到，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，再根據(jù)的面積是四邊形面積的倍即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)的解析式為，把，代入，得，解得，∴由平移知，，設(shè)的解析式是，∵點(diǎn)向左平移個單位長度得到點(diǎn)，∴，解得，∴的解析式為；（2）由()知，，∴，中，當(dāng)時，，∴，∴，∵，∴，∴，，，，∴四邊形的面積為；（3）存在或，理由：設(shè)，∵，，，∴，，∴，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，∴，∵，，∴，∵的面積是四邊形面積的倍，∴，即，∴，∴或，∴或，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)，平移，一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)與三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線平移的性質(zhì)，點(diǎn)平移的坐標(biāo)性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，一次函數(shù)與三角形面積的關(guān)系．2．如圖，直線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，．(1)求直線的解析式；(2)如圖，已知直線，無論取何值，它都經(jīng)過第一象限內(nèi)的一個定點(diǎn)，其中交軸于點(diǎn)．①求的面積；②連接，在直線上是否存在著點(diǎn)，使得，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)不寫求解過程；若不存在【答案】(1)一次函數(shù)解析式為：．(2)①；②點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）①當(dāng)時，，即可知道直線過定點(diǎn)，，求出直線解析式得到點(diǎn)的坐標(biāo)，可求面積；②先求出的面積和直線的解析式，根據(jù)點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，求出過點(diǎn)的平行于的解析式，聯(lián)立方程組得到點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)對稱性可求出另一個點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）解：設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，坐標(biāo)代入得．，解得，∴一次函數(shù)解析式為：．（2）解：①當(dāng)時，，∴直線過定點(diǎn)，設(shè)直線AC的解析式為：，∵，在函數(shù)圖象上，∴，解得，直線的解析式為：，∴，；②∵，∴，∵，∴，∵，∴點(diǎn)到直線的距離，直線的解析式為，從點(diǎn)和點(diǎn)橫坐標(biāo)看，點(diǎn)剛好是線段的三等分點(diǎn)，∴過點(diǎn)且平行于的直線解析式為：，∴，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，∵直線解析式為：．∴過點(diǎn)且平行于的直線解析式為：，，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上分析，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，找到點(diǎn)是的三等分點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，過x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)C作直線CD交y軸正半軸于點(diǎn)D，且．

(1)________，________．(2)點(diǎn)是線段CD上一點(diǎn)，作交AB于點(diǎn)N，連接MN，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)若為直線AB上的點(diǎn)，P為y軸上的點(diǎn)，請問：直線CD上是否存在點(diǎn)Q，使得是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出此時Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)4，2(2)；(3)直線上存在點(diǎn)Q，使得是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【分析】（1）先求出，由全等三角形的性質(zhì)可得；（2）利用待定系數(shù)法可求直線的函數(shù)表達(dá)式，可得，由全等三角形的性質(zhì)可得，由可證，可得，分別過點(diǎn)M、N作軸于點(diǎn)E，軸于點(diǎn)F，由全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解；（3）分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)可求點(diǎn)Q坐標(biāo)．【解析】（1）解：把代入得：，∴點(diǎn)，∴，把代入得：，∴點(diǎn)，∴，∵，∴，故答案為：4，2；（2）解：設(shè)直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，∵，∴，把代入得，解得，∴直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，∴，∵，∴，又∵，∴，即，∵，即，∴，∴，∴，分別過點(diǎn)M、N作軸于點(diǎn)E，軸于點(diǎn)F，

∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為；（3）解：直線上存在點(diǎn)Q，使是以E為直角頂點(diǎn)的等腰三角形．∵為直線上的點(diǎn)，∴，∴，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B下方時，如圖，連接，過點(diǎn)Q作，交的延長線于M點(diǎn)，

∵，∴軸，，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，，∵是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，把代入中得：，∴點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B上方時，如圖，過E點(diǎn)作軸，過點(diǎn)Q作于M點(diǎn)，過P點(diǎn)作交的延長線于N點(diǎn)．

則，∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則，∵是以E為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，把代入中得：，∴；綜上所述，直線上存在點(diǎn)Q，使得是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．題型2：取值范圍問題4．點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若上存在點(diǎn)，滿足，則稱點(diǎn)為的等距離點(diǎn)．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)且垂直于軸的直線對稱．

(1)以為底邊作等腰三角形，①當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為__________②當(dāng)，且底邊上的高為3時，點(diǎn)的坐標(biāo)為__________(2)以為斜邊作等腰直角三角形（點(diǎn)在線段的上方）．①直線過點(diǎn)且與軸垂直，若直線上存在的等距離點(diǎn)，試畫圖說明的取值范圍；②已知點(diǎn)，若線段上的所有點(diǎn)均為的等距離點(diǎn)，請直接寫出的取值范圍．（提示：若等腰直角三角形的腰長為1，則斜邊長為．）【答案】(1)①或(2)①

②或【分析】(1)①根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解即可；②先說明點(diǎn)C在對稱軸上，然后根據(jù)底邊上的高為可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)①先求出邊上的高的長，然后結(jié)合圖形可求出b的取值范圍；②分若線段上的所有點(diǎn)均為的邊的等距離點(diǎn)時和若線段上的所有點(diǎn)均為的邊的等距離點(diǎn)時兩種情況求解即可．【解析】（1）①解：當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)且垂直于軸的直線對稱，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；解：由題可知點(diǎn)C在上，當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵底邊上的高為3，∴點(diǎn)到的距離為，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為或，故答案為：或；（2）①由題可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于過點(diǎn)且垂直于軸的直線距離為，又∵點(diǎn)在線段的上方，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴借助圖像可知直線上存在的等距離點(diǎn)應(yīng)在直線和之間（包括邊界），即，②設(shè)直線的解析式為：把,代入,得，解得同理可求直線的解析式為若線段上的所有點(diǎn)均為的邊的等距離點(diǎn)時，如圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，作于點(diǎn),

，，，，，把代入得解得把代入得解得∴此時若線段上的所有點(diǎn)均為的邊的等距離點(diǎn)時，如圖，同理可求此時,

∴綜上可知，當(dāng)線段上的所有點(diǎn)均為的的等距離點(diǎn)時，的取值范圍是或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及軸對稱稱的性質(zhì)，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，直線交直線于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)C在第二象限，的面積是5；①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②直接寫出不等式組的解集；③將沿x軸平移，點(diǎn)C、A、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為、、，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．直接寫出平移過程中只有兩個頂點(diǎn)在外部時，m的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②；③或【分析】（1）把代入求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；（2）①先根據(jù)的面積是5，求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)即可，再代入求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)即可；②根據(jù)函數(shù)圖象，寫出不等式組的解集即可；③根據(jù)平移特點(diǎn)，分兩種情況，當(dāng)沿x軸向右平移時，當(dāng)沿x軸向左平移，求出m的值即可．【解析】（1）解：把代入得：，解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）解：①∵，，∴，∵，點(diǎn)C在第二象限，∴，∴，當(dāng)時，，∴，∴；②由圖象即可知：不等式組的解集為：；③連接，如圖所示：把代入得：，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，把代入得：，解得：，，當(dāng)點(diǎn)在直線上時，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)D上時，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，∴當(dāng)沿x軸向右平移時，只有兩個頂點(diǎn)在外部時；當(dāng)沿x軸向左平移，只有兩個頂點(diǎn)在外部時；綜上分析可知，只有兩個頂點(diǎn)在外部時，m的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與不等式的解集，三角形面積問題，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在直角中，，若點(diǎn)在斜邊上不與，重合滿足，則稱點(diǎn)是直角的“近點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系中，，一次函數(shù)圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，．

(1)若，點(diǎn)是直角的“近點(diǎn)”，則的長度可能是______；填序號①；②；③；④(2)若線段上的所有點(diǎn)不含和都是直角的“近點(diǎn)”，求的取值范圍；(3)當(dāng)時，若一次函數(shù)與的交點(diǎn)恰好是直角的“近點(diǎn)”，則直接寫出的取值范圍是______．【答案】(1)②③(2)或(3)或【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，作于，求出，的長，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）找出臨界：當(dāng)時，上所有的點(diǎn)都是直角的“近點(diǎn)”，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）找出臨界：由得，進(jìn)而得出結(jié)果．【解析】（1）解：如圖，

取的中點(diǎn)，連接，作于，由得，，，，，，，由得，，當(dāng)時，點(diǎn)是直角的“近點(diǎn)”，故答案為：；（2）如圖，

當(dāng)時，上所有的點(diǎn)都是直角的“近點(diǎn)”，或；（3）如圖，

由得，由得，，由得，，或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解能力，直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是找出臨界，數(shù)形結(jié)合．題型3：最值問題7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為．

(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知Q在第一象限內(nèi)，且是以為直角邊的等腰直角三角形，求出Q的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，且，在直線上有一點(diǎn)，使得最小，請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、(2)或(3)【分析】（1）對于令解得:,令,則,即可求解；（2）分與兩種情況，利用全等三角形解題即可；（3）作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解．【解析】（1）對于，令，解得：，令,則，故點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、；（2）如圖，當(dāng)時，，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)G，

則，∴∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)時，，過點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)K，則，∴∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；所以綜上所述點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；

（3）∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則點(diǎn),如圖,過點(diǎn)作軸于點(diǎn),

∵,故是的中位線,即點(diǎn)是的中點(diǎn),則點(diǎn),作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)為所求點(diǎn)，理由：為最小，設(shè)直線的表達(dá)式為:,則解得故直線的表達(dá)式為:,當(dāng)時,,故點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、點(diǎn)的對稱性，全等三角形的判定和性質(zhì)等，能證明兩三角形全等是解題的關(guān)鍵.8．已知一次函數(shù)．(1)無論k為何值，函數(shù)圖象必過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線：上一點(diǎn)，若，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，直線：交AB于點(diǎn)P，C點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，且，動點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的最小值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）整理得，根據(jù)題意，得當(dāng)，求解得函數(shù)圖象必過定點(diǎn)；（2）確定解析式為，點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為；設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為，分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)Q位于AB右側(cè)時，根據(jù)題意得，列方程解得，點(diǎn)Q坐標(biāo)為；②當(dāng)點(diǎn)Q位于AB左側(cè)時，過點(diǎn)Q作軸，交于點(diǎn)Ｎ，點(diǎn)Ｎ的縱坐標(biāo)為，，于是，解得，Q坐標(biāo)為；（3）聯(lián)立得，得，設(shè)，由，求得C的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)C關(guān)于直線對稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，連接，，則，，作軸，垂足為G，在中，，所以的最小值為．【解析】（1）解：整理得∵不論k取何值時，上式都成立∴當(dāng)，即時，∴無論k為何值，函數(shù)圖象必過定點(diǎn)；（2）當(dāng)時，一次函數(shù)為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，；∴點(diǎn)A坐標(biāo)為；點(diǎn)B坐標(biāo)為；∵點(diǎn)Q在直線：上，∴設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為；①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q位于AB右側(cè)時，根據(jù)題意得．∴．解得．點(diǎn)Q坐標(biāo)為；②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q位于AB左側(cè)時，此時，過點(diǎn)Q作軸，交于點(diǎn)Ｎ，則點(diǎn)Ｎ的縱坐標(biāo)為，由，得，，∴．∴，解得，∴Q恰好位于x軸上，此時Q坐標(biāo)為；綜上所述：若，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）由（2）可得直線AB：，聯(lián)立得，解得．∴∵點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸，設(shè)則，∵，∴解得∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為∵動點(diǎn)M的坐標(biāo)為．∴點(diǎn)M在直線上．∴點(diǎn)C關(guān)于直線對稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，連接，，則，則為的最小值；作軸，垂足為G，在中，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，圖象交點(diǎn)求解，軸對稱；結(jié)合題設(shè)條件，作線段的等量轉(zhuǎn)移，構(gòu)造直角三角形求解線段是解題的關(guān)鍵．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，過軸上動點(diǎn)作直線軸分別與直線、交于、兩點(diǎn)．

(1)①請直接寫出點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)：______，______，______．②若，求的值；(2)如圖2，若為線段上動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn)，求當(dāng)為何值時，最大，并求這個最大值．【答案】(1)①、、；②或3；(2)當(dāng)時，最大，最大值．【分析】（1）①令函數(shù)值等于0，可求與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立函數(shù)解析式解方程組可得函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo)；②設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，則，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，求出點(diǎn)．進(jìn)而用t表示出、長，根據(jù)t的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)的增減性即可求出的最大值．【解析】（1）解：①對于直線①，令，解得，故點(diǎn)，對于，同理可得：點(diǎn)，則，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：、、；②點(diǎn)在直線上，則設(shè)點(diǎn)，同理點(diǎn)，則，即：解得或3；（2）點(diǎn)在直線上，則設(shè)點(diǎn)，同理點(diǎn)，∵，∴，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為，解得，∴，∴，∴，∵，，∴當(dāng)時，最大，最大值．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、絕對值的應(yīng)用、面積的計算等，其中（2）要注意用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長．題型4：動點(diǎn)問題10．在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，，當(dāng)時，將點(diǎn)P向右平移c個單位，當(dāng)時，將點(diǎn)P向左平移個單位，得到點(diǎn)，再將點(diǎn)關(guān)于直線對稱得到點(diǎn)M，我們稱點(diǎn)M為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)Q的跳躍點(diǎn)．例如，如圖1，已知點(diǎn)，，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)Q的跳躍點(diǎn)為．

(1)已知點(diǎn)，，①若點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的跳躍點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．②若點(diǎn)A為點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的跳躍點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．(2)已知點(diǎn)D在直線上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．①點(diǎn)K為點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)D的跳躍點(diǎn)，若的面積為4，直接寫出m的值；②點(diǎn)E向上平移1個單位得到點(diǎn)F，以一邊向右作正方形，點(diǎn)R為正方形的邊上的一個動點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，直線上存在點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)R的跳躍點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)①；②【分析】（1）①根據(jù)題中跳躍點(diǎn)的定義畫圖求解即可；②根據(jù)題中跳躍點(diǎn)的定義畫圖求解即可；（2）①分和兩種情況，根據(jù)題意得到K的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)與圖形和三角形的面積公式求解即可；②先根據(jù)平移性質(zhì)得到F、G、H的坐標(biāo)，分點(diǎn)R在上時、點(diǎn)R在上時、點(diǎn)R在上時三種情況，分別求出點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)R的跳躍點(diǎn)，然后根據(jù)點(diǎn)在直線上的坐標(biāo)特征和不等式的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）解：①如圖，點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的跳躍點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故答案為：；②如圖，由點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)的跳躍點(diǎn)為點(diǎn)A，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，故答案為：；

（2）解：①當(dāng)時，如圖，，，則，

∴，解得（負(fù)值舍去）；當(dāng)時，如圖，同理，解得（正值舍去），綜上，滿足條件的m值為；②由題意，點(diǎn)向上平移1個單位得到點(diǎn)F的坐標(biāo)為，以一邊向右作正方形，則，，∵點(diǎn)R為正方形的邊上的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)R的跳躍點(diǎn)在直線上，∴點(diǎn)R不可能在上，當(dāng)點(diǎn)R在上時，設(shè)，，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)R的跳躍點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∴，∴，則；當(dāng)點(diǎn)R在上時，設(shè)，，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)R的跳躍點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∴，∴，則；當(dāng)點(diǎn)R在上時，設(shè)，，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)R的跳躍點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∴，∴，綜上，滿足題意的m的取值范圍為．

【點(diǎn)睛】本題考查平移性質(zhì)、對稱性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、不等式的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，理解題中定義，從中得出坐標(biāo)間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．11．如圖①，直線：經(jīng)過點(diǎn)，，且與直線交于點(diǎn)，．

(1)求直線的表達(dá)式；(2)由圖象直接寫出關(guān)于的不等式的解集；(3)如圖②所示，為軸上點(diǎn)右側(cè)任意一點(diǎn)，以為邊作等腰，其中，，直線交軸于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動時，線段的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出線段的長度；若變化，求線段的取值范圍．【答案】(1)直線的表達(dá)式為(2)(3)線段的長度不變，【分析】（1）將，代入，求出，，再用待定系數(shù)法可得直線的表達(dá)式為；（2）求出的解，觀察圖象可得的解集為；（3）過作軸于，求出，證明，有，，可得，是等腰直角三角形，即知，是等腰直角三角形，從而，線段的長度不變．【解析】（1）解：將點(diǎn)，代入，得．將，代入，得．∴的坐標(biāo)為，．將，代入，得．所以，直線的表達(dá)式為．（2）解：由得∶，觀察圖象可得，關(guān)于的不等式的解集為；（3）解：線段的長度不變，．如圖，過作軸，垂足為．

∵，∴．∵，∴．∵，．∴．∴，．由，得，，即．由，，得．∴．∵．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系，等腰直角三角形判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸交于、兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．

(1)求的值及直線的表達(dá)式；(2)在直線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，則求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，一動點(diǎn)從出發(fā)，沿線段以每秒個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)，再沿線段以每秒個單位的速度運(yùn)動到點(diǎn)后停止，求點(diǎn)在整個運(yùn)動過程中所用時間最少時點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，的表達(dá)式為(2)存在，理由見解析(3)【分析】（1）代入得出將代入得出，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)題意可得到的距離與到的距離相等，則，可得的表達(dá)式為，聯(lián)立，解方程即可求解；（3）過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得出是等腰直角三角形，則，可得當(dāng)三點(diǎn)共線時，在整個運(yùn)動過程中所用時間最少進(jìn)而得出的橫坐標(biāo)為，即可求解．【解析】（1）解：將代入∴∴,將代入∴解得：∴的表達(dá)式為；（2）解：∵∴到的距離與到的距離相等，則如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∴的表達(dá)式為

聯(lián)立解得：∴（3）解：如圖所示，

過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵直線與軸交于點(diǎn)．∴，解得：∴∵直線與軸、軸交于、兩點(diǎn)，∴時，當(dāng)時，，∴，,∴，則是等腰直角三角形則∵軸，∴是等腰直角三角形，則∴∵∴是等腰直角三角形，∴，∴∴當(dāng)三點(diǎn)共線時，在整個運(yùn)動過程中所用時間最少

∴的橫坐標(biāo)為將代入解得：∴【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，兩直線交點(diǎn)問題，勾股定理，垂線段最短，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型5：新定義題型13．小明根據(jù)函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，參照研究函數(shù)的過程與方法，對于函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行探究．

(1)列表：下表列出了y與x的幾組對應(yīng)值，請寫出m，n的值：m=________，n=________；x…43211234……m2n2…描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示：(2)請把y軸左邊各點(diǎn)和右邊各點(diǎn)，分別用光滑的曲線順次連接起來；(3)觀察圖形并分析表格，解決下列問題：①自變量x的取值范圍是__________；②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)___________中心對稱；③求證：當(dāng)時，y隨x的增大而增大．【答案】(1)，(2)見詳解(3)①②③見詳解【分析】（1）將，代入函數(shù)解析式即可求解；（2）用光滑的曲線順次連接起來，即可求解；（3）①由得，分母不為，即可求解；②由表格可得第一、三象限的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，即可求解；③設(shè)，可得，，可求，，，，即可求解．【解析】（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，；故答案：，．（2）解：如圖，用光滑的曲線順次連接起來，

（3）①解：由得自變量x的取值范圍是，故答案：；②解：由表格得：與，與，與，，第一、三象限的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故答案：．③證明：設(shè)，，，，，，，，，，，故當(dāng)時，y隨x的增大而增大．【點(diǎn)睛】本題考查了通過作函數(shù)圖象，通過圖象來研究函數(shù)性質(zhì)：自變量取值范圍、對稱性、增減性，掌握函數(shù)增減性的證明方法是解題的關(guān)鍵．14．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為，對于平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在邊長為1的等邊，滿足點(diǎn)在上，且，則稱點(diǎn)為的“近心點(diǎn)”，點(diǎn)為的“遠(yuǎn)心點(diǎn)”．

(1)下列各點(diǎn)：，，，中，的“近心點(diǎn)”有__________；(2)設(shè)點(diǎn)與的“遠(yuǎn)心點(diǎn)”之間的距離為，求的取值范圍；(3)直線分別交軸于點(diǎn)，且線段上任意一點(diǎn)都是的“近心點(diǎn)”，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）結(jié)合“近心點(diǎn)”的定義作出圖形，即可獲得答案；（2）設(shè)點(diǎn)在與軸交點(diǎn)，即，根據(jù)題意可知等邊的頂點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓上，當(dāng)在同一直線上，點(diǎn)與的“遠(yuǎn)心點(diǎn)”之間的距離最大；當(dāng)軸時，點(diǎn)與的“遠(yuǎn)心點(diǎn)”之間的距離最小，然后求解即可；（3）首先求得點(diǎn)與的“近心點(diǎn)”之間的距離的取值范圍，當(dāng)取最大值時，可有；當(dāng)取最小值時，過點(diǎn)作，垂足為，此時，然后利用，計算此時的值，即可獲得答案．【解析】（1）解：如下圖，觀察圖形可知，

的“近心點(diǎn)”有，．故答案為：，；（2）如下圖，設(shè)點(diǎn)在與軸交點(diǎn)，即，

根據(jù)題意，等邊的頂點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓上，當(dāng)在同一直線上，即也位于軸上時，點(diǎn)與的“遠(yuǎn)心點(diǎn)”之間的距離最大，此時；當(dāng)軸時，點(diǎn)與的“遠(yuǎn)心點(diǎn)”之間的距離最小，設(shè)與軸交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，∴．綜上所述，點(diǎn)與的“遠(yuǎn)心點(diǎn)”之間的距離的取值范圍為；（3）如下圖，設(shè)點(diǎn)在與軸交點(diǎn)，即，

根據(jù)題意，等邊的頂點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓上，當(dāng)軸時，點(diǎn)與的“近心點(diǎn)”之間的距離最大，設(shè)與軸交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，∴；當(dāng)在同一直線上，即也位于軸上時，點(diǎn)與的“近心點(diǎn)”之間的距離最小，此時，∴點(diǎn)與的“近心點(diǎn)”之間的距離的取值范圍為；對于直線，令，則，即，令，則有，解得，∴；如下圖，

∴當(dāng)取最大值時，可有，，解得；當(dāng)取最小值時，過點(diǎn)作，垂足為，此時，∵，，∴，，∴，∵，∴，解得，∴的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定下“遠(yuǎn)心點(diǎn)”和“近心點(diǎn)”、坐標(biāo)與圖形、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是理解“遠(yuǎn)心點(diǎn)”和“近心點(diǎn)”的定義，并運(yùn)用運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題．15．在平面直角坐標(biāo)系中，若，，式子的值就叫做線段的“勾股距”，記作．同時，我們把兩邊的“勾股距”之和等于第三邊的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，．

(1)線段OA的“勾股距”______________；(2)已知點(diǎn)，，，，若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形邊上存在一點(diǎn)，使得，則的最小值為________，最大值為_________；(3)若點(diǎn)在第三象限，且，求并判斷是否為“等距三角形”；(4)若點(diǎn)在軸上，是“等距三角形”，請直接寫出的取值范圍________．【答案】(1)(2)；(3)不是(4)且【分析】（1）根據(jù)線段“勾股距”，由，兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出線段的“勾股距”；（2）根據(jù)線段“勾股距”定義，由在平面直角坐標(biāo)系中作出圖形，分情況討論，列式求解即可得到答案；（3）現(xiàn)根據(jù)“勾股距”的定義求出，，，再根據(jù)等距三角形的定義判斷即可；（4）根據(jù)“等距三角形”分三種情況討論的取值．【解析】（1）解：由“勾股距”的定義知，故答案為：5；（2）解：若設(shè)，則由“勾股距”的定義知，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；已知點(diǎn)，，，，則在直線上移動，在直線上移動，若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形邊上存在一點(diǎn)，則四邊形的兩邊在直線和直線上移動，在平面直角坐標(biāo)系中作出直線、、、及四邊形，如圖所示：

是四邊形與四邊形的交點(diǎn)，若邊過點(diǎn)，則與重合，此時有最小值，如圖所示：

則，解得，即最小值為；若邊過點(diǎn)，則與重合，此時有最大值，如圖所示：

則，即最大值為；故答案為：；；（3）解：，，點(diǎn)在第三象限，，，，，，即，，，，，，不是為“等距三角形”；（4）解：點(diǎn)在軸上時，點(diǎn)，則，，①當(dāng)時，，，若是“等距三角形”，，解得：（不合題意），又，，不是“等距三角形”，當(dāng)時，不是“等距三角形”；②當(dāng)時，，，若是“等距三角形”，則；若，解得（不合題意）；若，解得：（不合題意）；當(dāng)時，不是“等距三角形”；③當(dāng)時，，，若是“等距三角形”，則，解得（不合題意）；且恒成立；當(dāng)時，，，三點(diǎn)共線，且時，是“等距三角形”，綜上所述：是“等距三角形”時，的取值范圍為且．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是對“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解，運(yùn)用“勾股距”和“等距三角形”解題．題型6：旋轉(zhuǎn)問題16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸的垂線，與直線交于點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．i）若的面積為8，求點(diǎn)的坐標(biāo)；ii）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在軸正半軸上時，將直線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后的直線與線段交于點(diǎn)，連接，若，求線段的長．【答案】(1)(2)或；【分析】（1）根據(jù)題意，易求的函數(shù)解析法，點(diǎn)在直線上，可求出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）i）解：在線段上，且，，設(shè)點(diǎn)，分兩種情況：①在點(diǎn)右側(cè)時，根據(jù)題圖表示和、的關(guān)系列出方程，即：，解之得；②點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時根據(jù)、、三者之間的關(guān)系列出方程：，解得．綜上所述或；ii）出現(xiàn)想到構(gòu)造等腰直角三角形，證明三角形全等，再利用勾股定理和方程思想求．【解析】（1）解：分別與軸，軸交于點(diǎn)，，，解得，，時，，；（2）解：i）在線段上，且，，設(shè)點(diǎn)，分兩種情況：①當(dāng)在軸正半軸上時，如圖所示：

，，，軸，，，，，即，解得，；②當(dāng)在軸負(fù)半軸上時，如圖所示：

點(diǎn)，，，，，，，，解得，；綜上所述：或；ii）過作垂直于軸，垂足為，過作的垂線交軸于點(diǎn)，如圖所示：

，，，在與中，，，，，在與中，，，，又，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，，解得，．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，題中涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等、面積的運(yùn)算、一線三直角、三角形全等，綜合性強(qiáng)，有難度．17．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3，0），AB＝8，C點(diǎn)到x軸的距離CD為2，且∠ABC＝30°．（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）如圖2，y軸上的兩個動點(diǎn)E、F（E點(diǎn)在F點(diǎn)上方）滿足線段EF的長為，連接CE、AF，當(dāng)線段CE+EF+AF有最小值時，請求出這個最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，將△BGH沿直線BC平移，記平移中的△BGH為△B′G′H′，在平移過程中，設(shè)直線B′H′與x軸交于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△B′MG′為等腰三角形？若存在，求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）；（2）線段CE+EF+AF的最小值為；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣5+8，0）或（﹣5﹣8，0）或（19，0）．【分析】（1）在Rt△BCD中，∠CBA＝30°，利用勾股定理可以求得BD＝，從而得到AD=2，OD＝1即可得到答案；（2）過點(diǎn)A作AG∥EF，且AG＝EF，連接EG，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C′，連接C′E，可以得到四邊形EFAG是平行四邊形，線段CE+EF+AF＝CE+EG+EF＝+CE+EG＝+C′E+EG，用“將軍飲馬”模型求解即可；（3）分兩大類：①點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸，②點(diǎn)M在x軸正半軸，利用含30度角的直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)求解即可.【解析】解：（1）∵在Rt△BCD中，∠CBA＝30°，∠CDB=90°，A（3，0）∴BC=2CD=，，OA=3∴BD＝，∵AB=8，∴AD=2，∴OD＝1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）；（2）過點(diǎn)A作AG∥EF，且AG＝EF＝，連接EG，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)C′，連接C′E，得EC′＝EC，∴四邊形EFAG是平行四邊形，∴EG＝AF，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，），∴線段CE+EF+AF＝CE+EG+EF＝+CE+EG＝+C′E+EG，當(dāng)C′、E、G三點(diǎn)共線時，線段CE+AF+有最小值，∵點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，），∴∴線段CE+EF+AF的最小值＝；（3）存在這樣的點(diǎn)M，使得△B′MG′為等腰三角形，由平移性質(zhì)可知∠BB′G′＝∠CBG＝60°，又∵∠G′B′H′＝30°，∴∠MB′B＝90°，G′B′＝GB＝CB＝，分兩種情形①點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸，如圖4，∠MB′G′＞90°，∴MB′＝G′B′＝4，在Rt△MB′B中，∠MBB′＝30°，∴MB＝2MB′＝8，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣5﹣8，0）；②點(diǎn)M在x軸正半軸，如圖5，M與A重合，此時MB′＝MG′，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）；如圖6，此時MB′＝G′B′＝4，在Rt△MB′B中，∠MBB′＝30°，∴MB＝2MB′＝8，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣5+8，0），如圖7，，在中，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.題型7：定值問題18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x+b（b＜0）與x軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D為直線l上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，CA⊥DE于點(diǎn)A．點(diǎn)B在線段DA上，DB＝AC．連接CB，P為線段CB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PR⊥x軸，分別交x軸、CD、DE于點(diǎn)R、Q、S．(1)若點(diǎn)D坐標(biāo)為(12，3)．①求直線BC的函數(shù)關(guān)系式；②若Q為RS中點(diǎn)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．(2)在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，的值是否變化？若不變，求出該值；若變化，請說明理由．【答案】(1)①；②，(2)結(jié)論：，證明見解析【分析】（1）①求出，，兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法解決問題即可；②設(shè)，則，，，根據(jù)，構(gòu)建方程求出即可解決問題；（2）結(jié)論：．如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．設(shè)，用，表示出直線的解析式，設(shè)，則，，用，表示出，的長，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：①點(diǎn)在直線上，，，直線的解析式為，，軸，，，，，，設(shè)直線的解析式為，則有，解得，，直線的解析式為；②設(shè)，則，，，，，，，；（2）結(jié)論：．理由：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．設(shè)，，，，，，，，，直線的解析式為，設(shè)，則，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題．19．如圖1所示，直線l：與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于兩點(diǎn)．(1)當(dāng)時，求點(diǎn)A坐標(biāo)及直線l的解析式；(2)在（1）的條件下，如圖2所示，設(shè)Q為延長線上的一點(diǎn)，作直線，過兩點(diǎn)分別作于M，于N，若，求的長．(3)當(dāng)m取不同值時，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動，分別以為邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角和等腰直角，連接交y軸于點(diǎn)P，如圖3，問：當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動時，試猜想的長度是否為定值？若是，請求出其值；若不是，說明理由．【答案】(1)，直線的解析式為(2)(3)的長度為定值，理由見詳解【分析】（1），令，則，所以，則，可求得，即可求得直線的解析式為；（2）由，得，即可證明，由，，，根據(jù)勾股定理求得，所以，則的長是6；（3）作軸于點(diǎn)，可證明，得，，再證明，得，則的長度為定值，它的值為5．【詳解】（1），當(dāng)時，則，解得，，，且點(diǎn)在軸正半軸上，，將代入，得，解得，，直線的解析式為．（2）如圖2，于，于，，，在和中，，，，，，，的長是（3）的長度為定值，如圖3，作軸于點(diǎn)，和都是等腰直角三角形，且點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，，在和中，，，，的長度為定值，它的值為5．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．題型8：分段函數(shù)20．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在第一象限有一個交點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求的值．（2）補(bǔ)全表格并以表中各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)，畫出的函數(shù)圖象；________________________________________________________________________（3）根據(jù)函數(shù)圖象，寫出函數(shù)的一條性質(zhì)：_______；（4）已知函數(shù)與的圖象在第一象限有且只有一個交，若函數(shù)與的函數(shù)圖象有個交點(diǎn)，求的取值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）當(dāng)時，隨著的增大而增大；（4）．【分析】（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將代入，可得的值；（2）根據(jù)函數(shù)解析式進(jìn)行計算，即可得到函數(shù)值，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)，即可畫出的函數(shù)圖象；（3）依據(jù)函數(shù)圖象的增減性，即可寫出函數(shù)的一條性質(zhì)；（4）當(dāng)時，函數(shù)與的函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)的圖象經(jīng)過時，函數(shù)與的函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，據(jù)此可得的取值范圍．【詳解】解：（1）在中，令，則，即，代入，可得，解得；（2），，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；填表如下：0346475.23.52112如圖所示：（3）由圖可得，函數(shù)的一條性質(zhì)：當(dāng)時，隨著的增大而增大；故答案為：當(dāng)時，隨著的增大而增大；（4）函數(shù)與的圖象在第一象限有且只有一個交點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)的圖象重合，此時函數(shù)與的函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，一個是點(diǎn)A，一個是函數(shù)與射線CD的交點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C時，函數(shù)與的函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)，此時，把代入，可得；函數(shù)與的函數(shù)圖象有二個交點(diǎn)，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．題型9：兩點(diǎn)間的距離與一次函數(shù)21．在練習(xí)“一次函數(shù)”復(fù)習(xí)題時，我們發(fā)現(xiàn)了一種新的函數(shù)：“絕對值函數(shù)”：，請類比探究函數(shù)．(1)當(dāng)時，______，當(dāng)時，______用含的代數(shù)式表示；(2)過軸上的動點(diǎn)，其中，作平行于軸的直線，分別與函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，若，求的值；(3)若一次函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)，，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)1或(3)【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義即可得到結(jié)論；（2）表示出、的坐標(biāo)，由，得到，即可或；（3）聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，求得、的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式表示出，由，得到，兩邊平方得到，進(jìn)而求得，由一次函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)，把點(diǎn)代入求得的值，利用圖像可得答案．【詳解】（1）當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，；故答案為：；；（2）過軸上的動點(diǎn)，其中，作平行于軸的直線，，，，，解得或；（3）畫出函數(shù)的圖像如圖，一次函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)，，，解得，，設(shè)，，，，，，，，把點(diǎn)代入得，，一次函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)，，．【點(diǎn)睛】本題是兩條直線相交或平行問題，考查了絕對值的意義，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)間的距離，表示出、、、的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．22．閱讀并解答下列問題：老師給出了以下思考題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點(diǎn)A向右平移2個單位長度到點(diǎn)A1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B1，連接A1B1交x軸于點(diǎn)D，將點(diǎn)D向左平移2個單位長度得到點(diǎn)C，連接AC、BD．此時AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小穎：如圖3，先將點(diǎn)A向右平移2個單位長度到點(diǎn)A1，作點(diǎn)A1關(guān)于x軸的的的點(diǎn)A2，連接A2B可以求解．小亮：對稱和平移還可以有不同的組合…【嘗試解決】在圖2中AC+CD+DB的最小值是________________________；【靈活運(yùn)用】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），連接AC、CD、DB，則AC+CD+DB的最小值是___________，此時a=__________．并請在圖5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD+DB最小時CD的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）．【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），C是一次函數(shù)y=x圖像上一點(diǎn)，CD與y軸垂直且CD=2（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)），連接AC、CD、AD，直接寫出AC+CD+DA的最小值是________________，此時點(diǎn)C的坐標(biāo)是________________．【答案】[嘗試解決]7；[靈活運(yùn)用]，2；[拓展提升]，【分析】嘗試解決：根據(jù)作圖痕跡分析出，小明的做法是先將A向右平移2個單位長度，再利用對稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短得到D點(diǎn)的位置，進(jìn)而得到C點(diǎn)的位置．寫出，坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可；靈活運(yùn)用：借助上一問的思路，CD的長度一定，利用平移和對稱，轉(zhuǎn)化求其最小值；拓展提升：按照前面的思路，CD的長度一定，利用平移，找到兩個固定點(diǎn)與在一條直線上運(yùn)動的點(diǎn)，利用對稱求最小值．【詳解】解：[嘗試解決]：由題意得，，，，，AC+CD+DB的最小值是7，故答案為：7．[靈活運(yùn)用]：先將A點(diǎn)向下平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B1，連接A1B1，與x軸的交點(diǎn)即為D點(diǎn)，以D點(diǎn)為圓心，的長度為半徑畫圓，與直線的交點(diǎn)即為C點(diǎn)，連接AC、CD、BD，此時AC+CD+DB最小，最小值等于A1B1+CD．作圖如下：由作圖得，，且，四邊形是平行四邊形，且，，，，最小值為，此時a為C點(diǎn)的橫坐標(biāo)2，故答案為：，2．[拓展提升]：先將A點(diǎn)向右平移2個單位長度得到，得到平行四邊形，，而AC+CD+DA中，CD為定值2，即求的最小值，由題意得：D點(diǎn)在直線上，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)B，連接，與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)D，D點(diǎn)向左平移2個單位為C點(diǎn)，如圖：與直線垂直，設(shè)直線的解析式為，將代入得：，直線的解析式為，聯(lián)立，解得，，是的中點(diǎn)，設(shè)，，解得，，設(shè)直線的解析式為，將，代入得，，解得，直線的解析式為，點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，解得，，點(diǎn)是由D點(diǎn)向左平移2個單位長度所得到的點(diǎn)，，此時，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查平移和對稱中的最短路徑問題，還涉及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、求關(guān)于直線的對稱點(diǎn)等，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的作圖能力、類比推理能力、計算能力要求都比較高，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵是掌握對稱的性質(zhì)，通過作圖找出最短路徑．題型10：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用23．甲、乙兩人從相距4千米的兩地同時、同向出發(fā)，乙每小時走4千米，小狗隨甲一起同向出發(fā)，小狗追上乙的時候它就往甲這邊跑，遇到甲時又往乙這邊跑，遇到乙的時候再往甲這邊跑…就這樣一直勻速跑下去．如圖，折線，分別表示甲、小狗在行進(jìn)過程中，離乙的路程與甲行進(jìn)時間x()之間的部分函數(shù)圖象．

(1)求所在直線的函數(shù)解析式；(2)小狗的速度為______；求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)小狗從出發(fā)到它折返后第一次與甲相遇的過程中，求x為何值時，它離乙的路程與離甲的路程相等？【答案】(1)(2)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3)或【分析】（1）由題意知，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）由，可知，當(dāng)時，小狗距離乙0，設(shè)小狗速度為，則依題意得，，解得，，即小狗速度為，由，可知