四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（）A. B.C. D.2．設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.3．甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)進(jìn)行黨史知識比賽，決出第1名到第4名的名次（名次無重復(fù)），其中前2名將獲得參加市級比賽的資格，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有獲得參加市級比賽的資格.”對乙說：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這兩個(gè)回答分析，4人的排名有（）種不同情況.A.6 B.8C.10 D.124．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.5．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，，與分別交于，則直線過定點(diǎn)（）A. B.C. D.6．焦點(diǎn)坐標(biāo)為，（0，4），且長半軸的橢圓方程為（）A. B.C. D.7．如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.8．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念.在研究切線時(shí)認(rèn)識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，且對，，且總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.9．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.10．已知直線l和拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則p的值為（）A. B.1C. D.211．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.20 B.30C.40 D.5012．已知拋物線：，焦點(diǎn)為，若過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，、到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為3、7，則長為A.3 B.4C.7 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，則的面積為___________.14．在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形的內(nèi)切圓周長為，外接圓周長為，則.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體的內(nèi)切球表面積為，外接球表面積為，則__________15．已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.16．萬眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為________cm.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）證明：；（2）已知：，，且，求證：.18．（12分）{}是公差為1的等差數(shù)列，.正項(xiàng)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列{}和數(shù)列}的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入1個(gè)數(shù)，使，，成等差數(shù)列，在和之間插入2個(gè)數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列，…，在和之間插入n個(gè)數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.①記，求{}的通項(xiàng)公式；②求的值.19．（12分）在等差數(shù)列中，設(shè)前項(xiàng)和為，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.21．（12分）拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（1）若，求直線AB的斜率；（2）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值22．（10分）已知圓，點(diǎn).（1）若，半徑為的圓過點(diǎn)，且與圓相外切，求圓的方程；（2）若過點(diǎn)的兩條直線被圓截得的弦長均為，且與軸分別交于點(diǎn)、，，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運(yùn)算推導(dǎo)即可.【詳解】.故選：B.2、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即，故選：A3、C【解析】由題可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分類討論可得答案.【詳解】若甲是最后一名，則其他三人沒有限制，4人排名即為，若甲是第三名，4人的排名為，所以4人的排名有種情況.故選：C4、A【解析】由，可得等比數(shù)列公比q=2，利用等比數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式即可求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，.故選：A.5、A【解析】由橢圓方程可求得坐標(biāo)，由此求得拋物線方程；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，根據(jù)可得，由此構(gòu)造方程求得，根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得定點(diǎn).【詳解】由橢圓方程知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又拋物線焦點(diǎn)，，解得：，則拋物線的方程為，由題意知：直線斜率不為，可設(shè)，由得：，則，即，設(shè)，，則，，，，，解得：或；又與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，，，當(dāng)時(shí)，，直線恒過定點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.6、B【解析】根據(jù)題意可知，即可由求出，再根據(jù)焦點(diǎn)位置得出橢圓方程【詳解】因?yàn)?，所以，而焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為故選：B7、B【解析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，，故選：B8、D【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，故A不正確；對，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查以數(shù)學(xué)文化為背景，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題型.9、C【解析】設(shè)，，由消得：，又，由韋達(dá)定理代入計(jì)算即可得答案.【詳解】設(shè)，，由消得：，所以，故.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.10、B【解析】由垂直關(guān)系得出直線l方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯(lián)立直線和拋物線方程得設(shè)，則解得故選：B11、B【解析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，由得，即，解得或（舍），且代入①得，則，所以.故選：B.12、D【解析】利用拋物線的定義，把的長轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的和得解【詳解】解：拋物線：，焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，、到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為3、7，則故選D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出直線的方程，聯(lián)立方程，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得出答案.【詳解】解：由題意知，，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，或，即，所以.故答案為：.14、【解析】分析：平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.詳解：平面幾何中，圓的周長與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因?yàn)檎拿骟w的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.15、2n+1【解析】由計(jì)算，再計(jì)算可得結(jié)論【詳解】由題意時(shí)，，又適合上式，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由求通項(xiàng)公式，解題根據(jù)是，但要注意此式不含，16、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長軸長【詳解】在大橢圓中，，，則，.因?yàn)閮蓹E圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結(jié)合，得，所以小橢圓的長軸長為20.故填：20.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，對橢圓相似則離心率相等這一基礎(chǔ)知識的考查三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）利用分析法證明即可；（2）將與相乘，展開后利用基本不等式可證明所證不等式成立.【詳解】（1）要證成立，即證，即證，即證，而顯然成立，故成立；（2）已知，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故.18、（1），（2）①；②【解析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將展開化簡，求得首項(xiàng)，可得；根據(jù)遞推式，確定，再寫出，兩式相減可求得；（2）①根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，采用倒序相加法求得結(jié)果；②根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特征，采用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列{}的公差為d，則d=1，由，即，可得，所以{}的通項(xiàng)公式為；由可知：當(dāng)，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得；，即，所以{}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】①，兩式相加，得所以；②，，兩式相減得：，故.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解公差，再計(jì)算通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問1詳解】設(shè)的公差為，由已知得，解得，所以.【小問2詳解】所以.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則有在上恒成立，即.令函數(shù)，，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，不妨取，則有在上單調(diào)遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號，當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到21、（1）；（2）面積最小值是4【解析】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，依題意F（1,0），設(shè)直線AB的方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得，由此能夠求出直線AB的斜率；第二問，由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于，由此能求出四邊形OACB的面積的最小值試題解析：（1）依題意知F（1,0），設(shè)直線AB方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得．設(shè)，，所以，．①因?yàn)?，所以．②?lián)立①和②，消去，得所以直線AB的斜率是（2）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對稱，得M是線段OC中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于因?yàn)?，所以?dāng)m＝0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率22、（1）或（2）【解析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出圓的方程；（