上海市延安初級中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

上海市延安初級中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分非必要條件B.“”是“”的必要非充分條件C.在中“”是“”的充分非必要條件D.“”是“”的充要條件2．設(shè)數(shù)列、都是等差數(shù)列，若，則等于（）A. B.C. D.3．已知、、、是直線，、是平面，、、是點（、不重合），下列敘述錯誤的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則4．橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|=4，則∠F1PF2的余弦值為A. B.C. D.5．把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關(guān)系是（）A.既不互斥也不對立 B.互斥又對立C.互斥但不對立 D.對立6．設(shè)雙曲線（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.47．若，則下列正確的是（）A. B.C. D.8．下列命題中正確的個數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.49．設(shè)實系數(shù)一元二次方程在復數(shù)集C內(nèi)的根為、，則由，可得.類比上述方法：設(shè)實系數(shù)一元三次方程在復數(shù)集C內(nèi)的根為，則的值為A.﹣2 B.0C.2 D.410．我國古代的數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數(shù)是（）A. B.C. D.11．若（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限12．雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A.2 B.5C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線離心率__________.14．設(shè)函數(shù)，若存在實數(shù)使得成立，則的取值范圍是__________.15．已知直線和直線垂直，則實數(shù)___________.16．若直線與平行，則實數(shù)________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若的圖象在點處的切線與軸負半軸有公共點，求的取值范圍；（Ⅱ）當時，求的最值18．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.19．（12分）如圖，在正三棱柱中，，，，分別為，，的中點（1）證明：（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值20．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點為,斜率為1的直線與橢圓交于兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.（1）求橢圓的方程；（2）求的面積.21．（12分）甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5題，選擇題（1）甲、乙兩人中有一個抽到選擇題（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題22．（10分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，F(xiàn)A⊥平面ABCD，ED//FA，且AB=FA=2ED=2（1）求證：平面FAC⊥平面EFC；（2）求多面體ABCDEF的體積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的定義依次判斷.【詳解】當時，，非充分，故A錯.當不能推出，所以非充分，，所以是必要條件，故B正確.當在中，，反之，故為充要條件，故C錯；當時，，，，充分條件，因為，當時成立，非必要條件，故D錯.故選：B.2、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)數(shù)列是等差數(shù)列可求得，由此可得出，進而可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，即，由于數(shù)列也為等差數(shù)列，則，可得，即，可得，即，解得，所以，數(shù)列為常數(shù)列，對任意的，，因此，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列基本量的求解，通過等差數(shù)列定義列等式求解公差是解題的關(guān)鍵，另外，在求解有關(guān)等差數(shù)列基本問題時，可充分利用等差數(shù)列的定義以及等差中項法來求解.3、D【解析】由公理2可判斷A選項；由公理3可判斷B選項；利用平行線的傳遞性可判斷C選項；直接判斷線線位置關(guān)系，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由公理2可知，若，，，，則，A對；對于B選項，由公理3可知，若，，，則，B對；對于C選項，由空間中平行線的傳遞性可知，若，，則，C對；對于D選項，若，，則與平行、相交或異面，D錯.故選：D.4、B【解析】根據(jù)題意，橢圓的標準方程為，其中則，則有|F1F2|=2，若a=3，則|PF1|+|PF2|=2a=6，又由|PF1|=4，則|PF2|=6-|PF1|=2，則cos∠F1PF2==.故選B5、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義可得答案.【詳解】把紅、黑、藍、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，所以它們的關(guān)系是互斥但不對立.故選：C.6、B【解析】根據(jù)可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【詳解】因為可化為，所以，則.故選：B.【點睛】本題考查已知雙曲線的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)并結(jié)合反例，即可判斷命題真假.【詳解】對于選項A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時，這與結(jié)論矛盾，故A錯誤；對于選項B：當時，若，則，故B錯誤；對于選項C：由，不妨令，，則此時，故C錯誤；對于選項D：由不等式性質(zhì)，可知D正確.故選：D.8、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個基底，則與共線或與其中有一個為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個向量，存在唯一的實數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對于任意非零空間向量，，若，則存在一個實數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯誤.故選：C9、A【解析】用類比推理得到，再用待定系數(shù)法得到，，再根據(jù)求解.【詳解】，由對應系數(shù)相等得：，.故選：A.【點睛】本題主要考查合情推理以及待定系數(shù)法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.10、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其首項為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數(shù)為.故選：C11、A【解析】根據(jù)復數(shù)運算法則求出z＝a＋bi形式，根據(jù)復數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，z對應的點在第一象限.故選：A12、D【解析】根據(jù)漸近線方程求得關(guān)系，結(jié)合離心率的計算公式，即可求得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則；又雙曲線離心率.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.【詳解】由已知，可得，所以，所以.故答案為：14、【解析】將變形為，令，，分別研究其單調(diào)性及值域，使問題轉(zhuǎn)化為即可.【詳解】由題，，令，則，由，得，由，得，所以在遞減，在遞增，所以，令，則，由，得，由，得，所以在遞增，在遞減，所以，若存在實數(shù)使得成立，即存在實數(shù)使得成立，即存在實數(shù)使得恒成立所以，即，解得，所以取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是將所求問題轉(zhuǎn)為存在實數(shù)使得恒成立，結(jié)合的值域進一步轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)使得恒成立，再只需即可.15、【解析】根據(jù)兩條直線相互垂直的條件列方程，解方程求得m的值.【詳解】由于兩條直線垂直，故，解得.故答案為：.16、【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析.【解析】（Ⅰ）求導數(shù)．求得切線方程，由切線與軸的交點在負半軸可得的范圍；（Ⅱ）求導數(shù)，由的正負確定單調(diào)性，極值得最值【詳解】命題意圖本題主要考查導數(shù)在函數(shù)問題中的應用解析（Ⅰ）由題可知，，故可得的圖象在點處的切線方程為令，可得由題意可得，即，解得，即的取值范圍為（Ⅱ）當時，，易知在上單調(diào)遞增又，當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，無最大值【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查用導數(shù)的幾何意義，考查用導數(shù)求函數(shù)的的最值．解題關(guān)鍵是求出導函數(shù)，由的正負確定單調(diào)性，得函數(shù)的極值，從而可得最值18、（1）；（2）.【解析】（1）將條件化為基本量并解出，進而求得答案；（2）通過裂項法即可求出答案.【小問1詳解】由，.得：解得：故.【小問2詳解】當時，.所以時，.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別表示出B、D、E、F點的坐標，然后通過計算向量數(shù)量積來進行證明；（2）由第（1）建立的空間直角坐標系，分別表示出對應點的坐標，然后計算平面與平面的法向量，然后通過法向量去計算兩平面所成的銳二面角即可.【小問1詳解】如圖，以為坐標原點，以，的方向分別為，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，由，，，分別為，，的中點，則，，證明：因為，，所以，所以【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，因為，，所以，令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得因為所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)知，又，寫出橢圓的方程；（2）先斜截式設(shè)出直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可得出中點為的坐標，再根據(jù)△為等腰三角形知，從而得的斜率為，求出，寫出：，并計算，再根據(jù)點到直線距離公式求高，即可計算出面積【詳解】（1）由已知得，，解得，又，所以橢圓的方程為（2）設(shè)直線的方程為，由得，①設(shè)、的坐標分別為，（），中點為，則，，因為是等腰△的底邊，所以所以的斜率為，解得，此時方程①為解得，，所以，，所以，此時，點到直線：距離，所以△的面積考點：1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的標準方程；4、點到直線的距離.【思路點晴】本題主要考查的是橢圓的方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，點到直線的距離，屬于難題．解決本類問題時，注意使用橢圓的幾何性質(zhì)，求得橢圓的標準方程；求三角形的面積需要求出底和高，在求解過程中要充分利用三角形是等腰三角形，進而知道定點與弦中點的連線垂直，這是解決問題的關(guān)鍵21、（1）（2）【解析】首先用列舉法，求得甲、乙兩人各抽一題的所有可能情況.（1）根據(jù)上述分析，分別求得“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題（2）根據(jù)上述分析，求得“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率，根據(jù)對立事件概率計算公司求得“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題【詳解】把3個選擇題因此基本事件的總數(shù)為.（1）記“甲抽到選擇題（2）記“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題【點睛】本小題主要考查互斥事件概率計算，考查對立事件，屬于基礎(chǔ)題.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)連接BD交AC于點O，設(shè)FC的中點為P，連接OP，EP，證明BD//EP，BD⊥平面FAC即可推理作答.(2)求出三棱錐和四棱錐的體積即可計算作答.【小問1詳解】連接BD交AC于點O，設(shè)FC的中點為P，連接OP，EP，如圖，菱形ABCD中，O為AC的中點，則OP//FA，且，而ED//FA，且FA=2ED，于是得OP//ED，且OP=ED，即有四邊形OPED為平行四邊形，則OD//EP，即BD//EP，因為F