江蘇省淮安市淮陰中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

江蘇省淮安市淮陰中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線的傾斜角的大小為（）A. B.C. D.2．已知集合，，則A. B.C. D.3．某學(xué)校高二級選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.34．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能確定5．橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（）A. B.C. D.6．從某個(gè)角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個(gè)對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線C上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線（）A.經(jīng)過點(diǎn) B.經(jīng)過點(diǎn)C.平行于直線 D.垂直于直線8．已知拋物線，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．下列推理中屬于歸納推理且結(jié)論正確的是（）A.由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項(xiàng)和B.由滿足對都成立，推斷：為奇函數(shù)C.由半徑為的圓的面積，推斷單位圓的面積D.由，，，…，推斷：對一切，10．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，已知，則（）A.4 B.8C.3 D.612．已知函數(shù)．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則的最大值為（）A.9 B.12C.20 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為______.14．機(jī)動(dòng)車駕駛考試是為了獲得機(jī)動(dòng)車駕駛證的考試，采用全國統(tǒng)一的考試科目內(nèi)容及合格標(biāo)準(zhǔn)，包括科目一理論考試、科目二場地駕駛技能考試、科目三道路駕駛技能考試和科目四安全文明常識(shí)考試共四項(xiàng)考試，考生應(yīng)依次參加四項(xiàng)考試，前一項(xiàng)考試合格后才能報(bào)名參加后一項(xiàng)考試，考試不合格則需另行交費(fèi)預(yù)約再次補(bǔ)考．據(jù)公安部門通報(bào)，佛山市四項(xiàng)考試的合格率依次為，，，，且各項(xiàng)考試是否通過互不影響，則一位佛山公民通過駕考四項(xiàng)考試至多需要補(bǔ)考一次的概率為______15．如圖，四邊形為直角梯形，且，為正方形，且平面平面，，，，則______，直線與平面所成角的正弦值為______16．若滿足約束條件，則的最大值為_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，有一條長度為3的線段，端點(diǎn)，分別在軸、軸上運(yùn)動(dòng)，為線段上一點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知不過原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且線段始終被直線平分.求的面積取最大時(shí)直線的方程.18．（12分）已知函數(shù).（1）若與在處有相同的切線，求實(shí)數(shù)的取值；（2）若時(shí)，方程在上有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍20．（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求k的值21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過定點(diǎn)（其中，）與拋物線相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)位于第一象限.（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）如圖，連接并延長交拋物線于兩點(diǎn)，，設(shè)和的面積分別為和，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由.22．（10分）在中，角、、C所對的邊分別為、、，，.（1）若，求的值；（2）若的面積，求，的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由直線方程,可知直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，故選2、B【解析】由交集定義直接求解即可.【詳解】集合，，則.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時(shí)人.故選：.4、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，則.所以.故選C.點(diǎn)睛：集合的交集即為由兩個(gè)集合的公共元素組成的集合，集合的并集即由兩集合的所有元素組成.5、B【解析】利用橢圓的定義可得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，由橢圓的定義可知，到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是.故選：B.6、D【解析】設(shè)出雙曲線方程，通過做標(biāo)準(zhǔn)品和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點(diǎn)在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，因?yàn)锳B＝BC＝CD，所以，所以，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D7、A【解析】依據(jù)題意作出焦點(diǎn)在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，即可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn).故選：A.8、D【解析】將拋物線方程化標(biāo)準(zhǔn)形式后得到焦準(zhǔn)距，可得結(jié)果.【詳解】由得，所以，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題關(guān)鍵.9、A【解析】根據(jù)歸納推理是由特殊到一般，推導(dǎo)結(jié)論可得結(jié)果.【詳解】對于A，由，求出，，，…，推斷：數(shù)列的前項(xiàng)和，是由特殊推導(dǎo)出一般性的結(jié)論，且，故A正確；B和C屬于演繹推理，故不正確；對于D，屬于歸納推理，但時(shí)，結(jié)論不正確，故D不正確.故選：A.10、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選D.11、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出正確答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，得.故選:B12、C【解析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，負(fù)數(shù)且最小或?yàn)檎龜?shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當(dāng)是公差為2的等差數(shù)列，且時(shí)，最小，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)；當(dāng)且是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，最大，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)綜上：的最大值為20故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列相關(guān)的最值求解，要結(jié)合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間是，故答案為：14、【解析】至多需要補(bǔ)考一次，分5種情況分別計(jì)算后再求和即可.【詳解】不需要補(bǔ)考就通過的概率為；僅補(bǔ)考科目一就通過的概率為；僅補(bǔ)考科目二就通過的概率為；僅補(bǔ)考科目三就通過的概率為；僅補(bǔ)考科目三就通過的概率為，一位佛山公民通過駕考四項(xiàng)考試至多需要補(bǔ)考一次的概率為.故答案為：15、①..②..【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得向量的坐標(biāo)，由此求得，由線面角的空間向量求解方法求得答案.【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如下圖所示）由題意可知，，，因?yàn)?，，所以，故設(shè)平面的法向量為，則，令，得因?yàn)?，所以直線與平面所成角的正弦值為故答案為：；.16、【解析】由下圖可得在處取得最大值，即.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.【方法點(diǎn)晴】本題考查線性規(guī)劃問題，靈活性較強(qiáng)，屬于較難題型.考生應(yīng)注總結(jié)解決線性規(guī)劃問題的一般步驟（1）在直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域；（2）將目標(biāo)函數(shù)變形為；（3）作平行線：將直線平移，使直線與可行域有交點(diǎn)，且觀察在可行域中使最大（或最?。r(shí)所經(jīng)過的點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）求出最優(yōu)解：將（3）中求出的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出的最大（?。┲?三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)設(shè)，根據(jù)題意可得，，利用兩點(diǎn)之間的距離公式表示出，化簡即可得出結(jié)果；(2)設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示直線斜率的公式和點(diǎn)差法求出直線的斜率，設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程并消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示、進(jìn)而得出弦長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到的距離，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)，由為線段上一點(diǎn)，且，得，，又，則，整理可得，所以軌跡的方程為；【小問2詳解】設(shè)，，線段的中點(diǎn)為.∵在直線上，∴，∵A，在軌跡上，∴兩式相減，可得，∴，即直線的斜率為，依題意，可設(shè)直線的方程為，由可得，則解得且由韋達(dá)定理，得，∴∵原點(diǎn)到直線的距離為∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)，三角形的面積最大，此時(shí)直線的方程為.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在處的切線方程，再由有相同的切線這一條件即可求解；（2）先分離，再研究函數(shù)的單調(diào)性，最后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解即可.【小問1詳解】設(shè)公切線與的圖像切于點(diǎn)，f'(x)=1+lnx?f由題意得：；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，①，①式可化為為，令令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，當(dāng)時(shí)，由題意知：19、（1）（2）【解析】根據(jù)，，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．列出關(guān)于、、的方程組，求出、的值，即可得出橢圓的方程；對直線和分兩種情況討論：一種是兩條直線與坐標(biāo)軸垂直，可求出兩條弦長度之和；二是當(dāng)兩條直線斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可計(jì)算出的長度的表達(dá)式，然后利用相應(yīng)的代換可求出的長度表達(dá)式，將兩線段長度表達(dá)式相加，利用函數(shù)思想可求出兩條弦長的取值范圍最后將兩種情況的取值范圍進(jìn)行合并即可得出答案【詳解】易知，得，則，而，又，得，，因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)兩條直線中有一條斜率為0時(shí)，另一條直線的斜率不存在，由題意易得；當(dāng)兩條直線斜率都存在且不為0時(shí)，由知，設(shè)、，直線MN的方程為，則直線PQ的方程為，將直線方程代入橢圓方程并整理得：，顯然，，，，同理得，所以，，令，則，，設(shè)，，所以，，所以，，則綜合可知，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求范圍，屬于難題.解決圓錐曲線中的范圍問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.20、（1）（2）10【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用已知建立方程組，解之可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，化簡即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由已知，，得，解得，則；小問2詳解】解：由（1）得，則由，得或（舍去），所以的值為10.21、（1）證明見解析；（2）是定值，定值為.【解析】（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到韋達(dá)定理，再利用韋達(dá)定理求出，即得證；（2）