微觀經(jīng)濟(jì)分析（第3版）中文完美翻譯版-第7章

曹乾（（3thHal.R.（UniversityofMichiganAnn微觀經(jīng)濟(jì)分析（3版(考慮某消費(fèi)者面對(duì)集合X中某些可能的消費(fèi)束的情形，集合X稱為他的set

體的消費(fèi)集。例如，為維持消費(fèi)者生存所必需的那些消費(fèi)束組成的集合。我們總是假定消費(fèi)者對(duì)于Xx?yxy（completeXxyx?yy?x（或二者都成立 （reflective（transitive 給定描述“弱偏好”的排序?，我們可以定義嚴(yán)格偏好?x?yy?x x?yy?x 。對(duì)于X中的所有y，集合{x:x?y}和{x:x?y}都是閉集。由此可知， {xx?y和{xx?y這個(gè)假設(shè)將某些不連續(xù)的行為排除了；它的意思是說，如果(x是消費(fèi)束的一個(gè)序列，yx*，x*y一樣好。yzxy的一個(gè)消費(fèi)26章。（utility函數(shù)u:XRx?y當(dāng)且僅當(dāng)u(x)uy。可以證明，如果偏好排序是完備的、反u(x代表某個(gè)偏好?fRRf(u(x將和u(xf(u(x僅當(dāng)u(x)uy

f(uyxyx?yxyxyx?yxy好。這只是假設(shè)商品是好的（good。（badnonsatiationxyyy?x（一。Xx,yzx?zy?z，則tx1ty?z，其中0t1 Xx,y（xy）zx?zy?z，則tx1ty?z 0t1curve（一）xyxysets)；無差異曲線類似于生產(chǎn)理論中的等產(chǎn)量線。在一條無差異曲線上面或上方（onorset（凸性意味著消費(fèi)者偏好平均消費(fèi)束勝于極端消費(fèi)束，但是除了這個(gè)意義之外，它不具則存在著可以代表這些偏好的一個(gè)連續(xù)效用函數(shù)u:RkR。eRke1,...,1xu(xx~ 存在某個(gè)t，使得txe~x。我們必須證明這個(gè)效用函數(shù)真正代表了消費(fèi)者隱含的偏好。令u(x)u(y)

其中txe~其中tye~于是如果txty，根據(jù)強(qiáng)單調(diào)性可知txe?tyex~txe?tye~x?y，則txe?tye，因此txty證明u(x令u(x1xn是一個(gè)效用函數(shù)。假設(shè)我們?cè)黾由唐穒的數(shù)量，為了使效用不變，消費(fèi)者應(yīng)該怎樣改變商品j的數(shù)量？1章的做法，令dxi和dxjxixj的變化量。根據(jù)假設(shè)，效用的變化量u(x)

u(x)

（一）

substitution換不會(huì)改變邊際替代率。為了證明這一點(diǎn)，令v(u是效用函數(shù)u

v(u) v(u)

mpp1pk表示商品1k的價(jià)格向量。BXx:px

pxxX中27章可知，我們需要檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)是連續(xù)的，并且約束集是閉且有界的。根據(jù)假設(shè)可知，pi0（其中i1k）m0x*和我們選擇用哪個(gè)x*?x，因此代表偏好?x* 變預(yù)算集，因此我們不會(huì)改變最優(yōu)選擇集。也就是說，如果x*具有下列性質(zhì)：x*?xpxmxx*?y對(duì)于所有滿足tpytmy如果我們對(duì)偏好再作出一些正規(guī)性的假設(shè)，我們對(duì)消費(fèi)者效用最大化行為描述得會(huì)更詳細(xì)。例如，假設(shè)偏好滿足局部非飽和性；我們能否得到某個(gè)x*使得px*m？假設(shè)我們x*的花費(fèi)嚴(yán)格小于m，Xx*x*在預(yù)算集上并未使得效用最大。v(p,m)

px函數(shù)vpm稱為．（indirectutilityfunction，它是在既定價(jià)格和收入條（demandedbundlefunction)正象企業(yè)的情形一樣，消費(fèi)者的需求函數(shù)是pm)的零次齊次函數(shù)。我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)Lu(x)(pxm)其中xiu(x)p

為了解釋這些條件，我們將第ij

i,j1,...,上式的左側(cè)是商品ij之間的邊際替代率，右側(cè)可以稱為商品ij之間的經(jīng)濟(jì)替代率（economicrateofsubstitution。最大化意味著這兩個(gè)替代率必定相等。如果不

12

pi 于是，如果消費(fèi)者放棄一單位商品商品ij，那么他將位于同一條無差7.1{xp1x1p2x2mx2mp2p1/p2)x1。因此，預(yù)算線的斜率為p1/p2，縱截距為m/p2。消費(fèi)者希望在預(yù)算線上找到一點(diǎn)使得他圖x*的擾動(dòng)。因此，我們必然有p(x*dx)pxmpdx0，這反過來意味著dxpDu(x*)dxDu(x*)dxpdx0dx成立，Du(x*)必然和p成比例，這就是我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的一階條件。二階導(dǎo)數(shù)為2u(xx

htD2u(x*)h0對(duì)于所有滿足ph0的h成立 h是負(fù)半定的。這等價(jià)于要求u(xx*之處必然位于預(yù)（7.1）

u12 我們?cè)谇懊娑x了間接效用函數(shù)的概念。這個(gè)函數(shù)vpmp和收m的函數(shù)。vpmppp則vpmvpm。類似v(pm是收入m的非減函數(shù)。vpm是pm（3）vpmppvpmk}對(duì)于所有k（4）vpmp0mBxpxmBxpxmppBBB上的極大值，至少和u(xB上的極大值一樣大。類似地，可以證明關(guān)于mv(tp,tmvpm，其中t0.pp分別滿足vpmkvpmkptp1tp。我們想證明v(pm)k。定義以下預(yù)算集：B{x:pxm}B{x:pxm}B{x:pxx滿足tpx1tpxmpxmpxm。這兩個(gè)不等式可以寫tpx

tpx(1t)pxvpm)maxu(xxBmaxu(x)使得x在BB （因?yàn)锽BB （因?yàn)関pmk且vpmk7.2我們注意到如果偏好滿足局部非飽和性假設(shè)，則vpm是m的嚴(yán)格增函數(shù)，所以它是可逆的，我們可以從該函數(shù)中解出m:它是效用水平的函數(shù)；也就是說，給定任何效用水平up時(shí)實(shí)現(xiàn)效用u所必需的最小收入額。如圖7.3function，并用e(p,u)min使得u(x)7.2：價(jià)格無差異曲線。價(jià)格無差異曲線是指滿足vpmk（其中k為常數(shù)）的所有價(jià)格組合。下輪廓集包含所有滿足v(pm)k的價(jià)格組合。圖的全部性質(zhì)（5章。為方便起見，我們將這些性質(zhì)重復(fù)表述如下。ep,upep,upep,upep,upp0若hp,up時(shí)實(shí)現(xiàn)效用水平u的束，則hip,ui1kpi

functionv(p,m*)maxpxm*x*是上述最大化問題的解并且令u*u(x*e(p,u*)min使得u(xm*7.4x*（更嚴(yán)格的論證參見本epvpmm。實(shí)現(xiàn)效用vpm的必要最小支出為mvp,ep,u))u。收入ep,u能實(shí)現(xiàn)的最大效用為uxipmhipvpm。收入為m時(shí)的馬歇爾需求函數(shù)與效用為vpm時(shí)的希hipu)xipepu。效用為u時(shí)的?？怂剐枨蠛瘮?shù)與收入為ep,uv(p,xi(p,m)

v(p,

pi0以及m0x*在p*m*處使得效用最大，最大值為u*x(p*,m*)h(p*,

u*v(p,e(這個(gè)恒等式是說，不管價(jià)格在什么水平上，如果在這些價(jià)格下為使消費(fèi)者達(dá)到效用u*，你給他一筆最小的收入，那么他能達(dá)到的最大效用就是u*。v(p*, v(p*,m*)e(0

v(p*,

xi(p,m)hi(p,u)

.v(p*, 由于這個(gè)恒等式對(duì)于所有p*m*x*xp*m*pj

v(p,m)u(x(p,

nu(x) i

v(p, i

pxpmmpj xj(p,m)pi i

v(p,m)x(p,

現(xiàn)在將（7.3）式兩側(cè)對(duì)m

pi i

將預(yù)算約束對(duì)m

pii

v(p,m)

參見第min使得u(zx一樣好，他應(yīng)該擁有的最小錢數(shù)。functionm(p,x)e(x固定不變，則u(x)mpx)的行為和支出函數(shù)的行為是一樣的：它對(duì)于價(jià)格p是單調(diào)的、齊次的和凹的，等等。但下列事實(shí)不怎么明上，如果偏好是連續(xù)的、局部非飽和的，則支出函數(shù)是u的嚴(yán)格增函數(shù)。因此mpx)是一個(gè)效用函數(shù)。metricindirectutilityfunction。它的表達(dá)式為(p;q,m)e(p,v(q,pqm7.6:p少錢，才能使他的狀況和當(dāng)價(jià)格為q且他的收入為m時(shí)的狀況一樣好。直接和間接補(bǔ)償函數(shù)的一個(gè)沒好特征是他們僅包含變量。它們是一類．（ngbtyhor柯布-道格拉斯效用函數(shù)形式為u(xx)xax1a 1表著相同的偏好，我們也可以將它寫為u(x1x2alnx11alnx2

p1x1p2x2

Lalnx1(1a)lnx2(p1x1p2x2

p11app1x1p2x2m

1a

ap2x2p1x1ap1x1amp1x1x(p,p,m) x(p,p,m)(1 v(p1,p2,m)lnmalnp1(1a)lnp2

e(p,p,u)Kpa 1Kam替換上式中的ep1,p2u，用v(p1,p2m)替代u可得v(p,p,m) Kpap11m(p,x)Kpap1au(x,x1 Kpap1axa1 1(p;q,m)Kpap1av(q,q,1 Kpa1 例子：CESCES效用函數(shù)的形式為u(xx(xx1 來的偏好，我們可以選擇u(xx1ln(xx 在以前我們已經(jīng)知道CESc(wy)(xrxr)1ry r/(1。因此，CESe(p,u)(prpr)1/r v(p,m)/

1(prpr

(11

mrpr

pr 1 .v(p,m)/

(prpr)1/

(prpr m(p,x)(prpr)1/r(xx)1/ (p;q,m)(prpr)1/r(qrar)1/r

max

s.t.pxmin

s.t.u(x)（2）（3）x*是（7.12）的解，令uu(x*x*也是（7.13）x是（7.13）pxpx*而且u(xu(x*。根據(jù)局部非飽x*就不可能是（7.12）的解。■。假設(shè)上述假設(shè)都得到滿足。令x*是（7.13）的解，令mpx*，并假設(shè)m0x*也是（7.12）的解。x（7.12）u(xu(x*pxpx*mpx*0且效用函數(shù)是連續(xù)的，我們可以找到0t1ptxpx*m且u(txu(x*。因此，x*不可能是（7.13）的解?！隹稍贒ebru(1964)中找到。Hick（1946McFadden&Winter(1968)。貨幣度量的效用函數(shù)M