專(zhuān)題28.5解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題大題專(zhuān)項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)題典

20212022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)題典【人教版】專(zhuān)題28.5解直角三角形的應(yīng)用：方向角問(wèn)題大題專(zhuān)項(xiàng)提升訓(xùn)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）一．解答題（共24小題）1．（2022秋?乳山市期中）一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一條東西流向的河寬，如圖所示，小明在河北岸點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸有一點(diǎn)C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到達(dá)B處，又測(cè)得C在B的南偏西45°的方向上，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明計(jì)算出這條河的寬度．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D．構(gòu)造直角三角形，設(shè)CD＝xm，列出關(guān)于x的比例式，再根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D．設(shè)CD＝xm，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝xm．在Rt△ACD中，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB+BD＝（20+x）m，CD＝xm，∴CD＝tan30°?AD，∴x＝（20+x），解得x＝10（+1），∴CD＝10（+1）m．答：這條河的寬度約為10（+1）m．2．（2022秋?北碚區(qū)校級(jí)期中）如圖，一艘位于碼頭C正東方向的貨船D，沿正南方向行駛120千米到達(dá)碼頭A處，此時(shí)測(cè)得碼頭B位于碼頭A北偏西60°方向，貨船以30千米/小時(shí)的速度勻速?gòu)拇a頭A去碼頭B取貨，再以相同的速度將貨物送往碼頭C，此時(shí)測(cè)得碼頭B位于碼頭C南偏西15°方向，碼頭A位于碼頭C南偏東30°方向，（忽略貨船取貨時(shí)間，≈1.4，≈1.7，≈2.4）（1）求碼頭A與碼頭C之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）（2）貨船能否在6小時(shí)內(nèi)完成取貨送貨任務(wù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可得答案；（2）構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，分別在兩個(gè)含有特殊銳角的直角三角形中，求出AB、BC，再根據(jù)速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系求出所用的時(shí)間即可．【解答】解：（1）由題意可知，∠CAD＝∠ACS＝30°，∠BCS＝15°，AD＝120，∠BAD＝60°，在Rt△ACD中，AD＝120，∠CAD＝30°，∴AC＝＝80（千米），答：碼頭A與碼頭C之間的距離為80千米；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC，垂足為M，∵∠BAD＝60°，∠CAD＝30°，∴∠BAM＝30°，∵∠ACS＝30°，∠BCS＝15°，∴∠ACB＝30°+15°＝45°，設(shè)CM＝x千米，則BM＝CM＝x千米，BC＝x千米，AM＝x千米，AB＝2x千米，∵AC＝80，即x+x＝80，∴x＝120﹣40，∴AB＝2x＝240﹣80≈104（千米），BC＝x＝120﹣40≈72（千米），∴需要時(shí)間為：（104+72）÷30≈5.8＜6（小時(shí)），∴貨船能在6小時(shí)內(nèi)完成取貨送貨任務(wù)，答：貨船能在6小時(shí)內(nèi)完成取貨送貨任務(wù)．3．（2022秋?萊西市期中）九年級(jí)二班學(xué)生到某勞動(dòng)教育實(shí)踐基地開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，當(dāng)天，他們先從基地門(mén)口A處向正北方向走了220米，到達(dá)菜園B處鋤草，再?gòu)腂處沿正西方向走了200米，到達(dá)果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了200米，到達(dá)手工坊D處進(jìn)行手工制作，最后從D處回到門(mén)口A處．（1）求從手工坊D處回到門(mén)口A處的距離．（2）求從手工坊D處回到門(mén)口A處的方位角．[參考數(shù)據(jù)：sin37≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)余弦的定義求出DF，根據(jù)正弦的定義求出DE，根據(jù)勾股定理求出AD；（2）根據(jù)正弦的定義求出∠ADE，得到答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形EDFB是矩形，∴ED＝BF，DF＝EB，由題意得，CD＝200米，∠CDF＝37°，∴DF＝CD?cos∠CDF≈200×0.80＝160（米），CF＝CD?sin∠CDF≈200×0.60＝120（米），∴AE＝AB﹣BE＝220﹣160＝60（米），DE＝200﹣120＝80（米），由勾股定理得，AD＝＝＝100（米），答：從手工坊D處回到門(mén)口A處的距離約為100米；（2）在Rt△ADE中，sin∠ADE＝＝0.6，∴∠ADE＝37°，∴90°﹣37°＝53°，答：從手工坊D處回到門(mén)口A處的方位角為南偏東53°．4．（2022秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬．如圖，媽媽位于游客中心A的正北方向的B處，其中AB＝2km．明明位于游客中心A的西北方向的C處．烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的太陽(yáng)帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時(shí)明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進(jìn)．15分鐘后，他們?cè)谟慰椭行腁的北偏西37°方向的點(diǎn)D處相遇．（1）求媽媽步行的速度；（2）求明明從C處到D處的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.8，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73，≈1.41，結(jié)果保留兩位小數(shù)）【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)求出BD的長(zhǎng)，即路程，則速度＝路程÷時(shí)間，代入計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，設(shè)AE＝CE＝akm，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F，得矩形BEFD，可得EF＝DB＝1.5（km），DF＝BE＝AE﹣AB＝（a﹣2）km，CF＝CE﹣EF＝（a﹣1.5）km，在Rt△CDF中，由tan∠DCF＝，得出（a﹣1.5）＝a﹣2，解得a＝，進(jìn)而求得DF，然后利用30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半即可求得結(jié)果．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：AB＝2km，∠BAD＝37°，∴BD＝AB?tan37°≈2×0.75＝1.5（km），∴1.5÷＝6（km/h），答：媽媽步行的速度為6km/h；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵∠CAE＝45°，∠AEC＝90°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE，設(shè)AE＝CE＝akm，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE于點(diǎn)F，得矩形BEFD，∴EF＝DB＝1.5（km），DF＝BE＝AE﹣AB＝（a﹣2）km，∴CF＝CE﹣EF＝（a﹣1.5）km，在Rt△CDF中，tan∠DCF＝，∴tan30°≈，∴（a﹣1.5）＝a﹣2，∴a＝，∴DF＝a﹣2＝，∴CD＝2DF＝≈1.37（km）．答：明明從C處到D處的距離約為1.37km．5．（2022秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）期中測(cè)試臨近學(xué)生都在緊張的復(fù)習(xí)中，小甘和小西相約周末去圖書(shū)館復(fù)習(xí)，如圖，小甘從家A地沿著正東方向走900m到小西家B地，經(jīng)測(cè)量圖書(shū)館C地在B地的北偏東15°，C地在A地的東北方向，（1）求AC的距離；（2）兩人準(zhǔn)備從B地出發(fā)，突然接到疾控中心通知，一名確診的新冠陽(yáng)性患者昨天經(jīng)過(guò)了C地，并沿著C地南偏東22°走了1800m到達(dá)D地，根據(jù)相關(guān)要求，凡是確診者途徑之處800m區(qū)域以?xún)?nèi)都會(huì)劃為管控區(qū)，問(wèn)：小西家會(huì)被劃為管控區(qū)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41，≈2.45，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得∠BAE＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°，AB＝900m，然后利用含30度角的直角三角形即可解決問(wèn)題；（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，根據(jù)題意可得∠GBC＝∠BCH＝15°，∠DCH＝22°，所以∠BCF＝15°+22°＝37°，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)題意可知：∠BAE＝45°，∠CBA＝90°+15°＝105°，AB＝900m，∴∠BCE＝180°﹣45°﹣105°＝30°，∴BE＝AE＝AB＝450m，∴CE＝BE＝450m，∴AC＝AE+CE＝450+450＝450（+）≈450×3.86≈1737（m）；∴AC的距離約為1737m；（2）小西家會(huì)被劃為管控區(qū)，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，根據(jù)題意可知：∠GBC＝∠BCH＝15°，∠DCH＝22°，∴∠BCF＝15°+22°＝37°，在Rt△CBF中，CB＝2BE＝2×450＝900（m），∴BF＝CB?sin37°≈900×0.6≈764（m），∵764＜800，∴小西家會(huì)被劃為管控區(qū)．6．（2022秋?合川區(qū)校級(jí)月考）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東30°方向，距離燈塔100海里的A處，此時(shí)船長(zhǎng)接到臺(tái)風(fēng)預(yù)警信息，臺(tái)風(fēng)將在7小時(shí)后襲來(lái)，他計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東45°方向上的避風(fēng)港B處．（1）問(wèn)避風(fēng)港B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果精確到0.1海里）（2）如果輪船的航速是每小時(shí)20海里，問(wèn)輪船能否在臺(tái)風(fēng)到來(lái)前趕到避風(fēng)港B處？（參考數(shù)據(jù)：＝1.414，＝1.732）【分析】（1）作PC⊥AB，根據(jù)正弦的定義求出PC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出PB；（2）根據(jù)路程÷速度＝時(shí)間與7比較即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于C，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝PA?sinA＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，∠B＝45°，∴PB＝PC＝50≈70.7海里，答：B處距離燈塔P約70.7海里；（2）∵PB＝50海里，輪船的航速是每小時(shí)20海里，∴＝＜7，∴輪船不能在臺(tái)風(fēng)到來(lái)前趕到避風(fēng)港B處．7．（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）一路文明一路情，魅力輕軌輕松行，重慶軌道交通第三輪規(guī)劃線路正在如火如荼地建設(shè)中．如圖工程隊(duì)在由南向北的方向上將軌道線路鋪設(shè)到A處時(shí)，測(cè)得文史陳列館C在A北偏西26°方向的600米處，再鋪設(shè)276米到達(dá)B處．（1）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算確定C在B的什么方向上；（2）文史陳列館C周?chē)舾擅變?nèi)需要建設(shè)文化廣場(chǎng)，不能鋪設(shè)軌道，工程隊(duì)通過(guò)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，軌道線路鋪設(shè)到B處時(shí)，只需沿北偏東15°的BE方向繼續(xù)鋪設(shè)，就能使軌道線路恰好避開(kāi)文化廣場(chǎng)，請(qǐng)計(jì)算文史陳列館C周?chē)辽俣嗌倜變?nèi)不能鋪設(shè)軌道．（參考數(shù)據(jù)：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，，結(jié)果四舍五入精確到1米）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，連接BC，在Rt△ACF中，sin26°＝≈0.44，cos26°＝≈0.90，求出CF，AF的值，進(jìn)而可得BF的值，即可得CF＝BF，則∠CBF＝45°，根據(jù)方向角的定義可得答案．（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G，在Rt△BCF中，BF＝264米，∠CBF＝45°，可得BC＝BF＝米，由已知條件得∠DBE＝15°，則∠CBG＝60°，在Rt△BCG中，sin60°＝，求出CG的值，即可得出答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，連接BC，由題意得∠A＝26°，AC＝600米，AB＝276米，在Rt△ACF中，sin26°＝≈0.44，cos26°＝≈0.90，解得CF≈264，AF≈540，∴BF＝AF﹣AB＝264（米），∴CF＝BF，∴∠CBF＝45°，∴C在B的北偏西45°方向上．（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G，由（1）可知∠CBF＝45°，在Rt△BCF中，BF＝264米，則BC＝BF＝米，∵∠DBE＝15°，∴∠CBG＝60°，在Rt△BCG中，sin60°＝，解得CG＝≈323．∴文史陳列館C周?chē)辽?23米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道．8．（2022秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其與環(huán)城路AC的交叉路口分別是A，B，C．經(jīng)測(cè)量花卉市場(chǎng)D位于點(diǎn)A的北偏東45°方向，點(diǎn)B的北偏東30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．求花卉市場(chǎng)D點(diǎn)到環(huán)城路AC之間的距離．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，方向角的定義以及三角形外角的性質(zhì)求出∠ADB＝15°，再根據(jù)等角對(duì)等邊，證得BD＝AB，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，過(guò)D作DH⊥AB于H，由題意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC＝∠EAC＝60°．∵∠FBD＝30°，∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，∴∠ADB＝15°，∴∠DAB＝∠ADB，∴BD＝AB＝2km．∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB＝30°，∴DH＝BD＝1（km），答：花卉市場(chǎng)D點(diǎn)到環(huán)城路AC之間的距離為1km．9．（2022春?大渡口區(qū)校級(jí)月考）海洋安全預(yù)警系統(tǒng)為海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋監(jiān)控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C處，疑似有海盜船在沿CB方向行駛，C在B的北偏西30°方向上，監(jiān)控中心向A正西方向的B處海警船發(fā)出指令，海警船立即從B出發(fā)沿BC方向行駛，在距離A為60海里的D處攔截到該可疑船只．（1）求點(diǎn)A到直線CB的距離；（2）若海警船的速度是30海里/小時(shí)，那么海警船能否在1小時(shí)內(nèi)攔截到可疑船只？請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CB于點(diǎn)H，如圖．根據(jù)題意得到∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝180°﹣60°＝120°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理得到DH＝＝60海里，解直角三角形想即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CB于點(diǎn)H，如圖．由題意得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∴∠C＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴AH＝AC＝×120＝60（海里）．答：點(diǎn)A到直線CB的距離是60海里；（2）海警船能否在1小時(shí)內(nèi)攔截到可疑船只，理由：在Rt△ADH中，AD＝60海里，AH＝60海里，∴DH＝＝60（海里），∵∠ABH＝∠BAC+∠C＝60°，在Rt△ABH中，∠BAH＝90°﹣∠ABH＝30°，∴BH＝AB，∴AB＝2BH，∵BH2+AH2＝AB2，∴BH2+602＝（2BH）2，∴BH＝20，∴BD＝DH﹣BH＝（60﹣20）海里，∵海警船的速度是30海里/小時(shí)，∴（60﹣20）÷30≈0.9＜1，答：海警船能否在1小時(shí)內(nèi)攔截到可疑船只．10．（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，A，B，C，D，E為同一地區(qū)的五個(gè)景點(diǎn)．已知景點(diǎn)B位于景點(diǎn)A的南偏西30°方向，位于景點(diǎn)C的東南方向800米處，若景點(diǎn)A，C與E，D都位于東西方向，且景點(diǎn)D位于景點(diǎn)C的北偏西30°方向1000米處，景點(diǎn)E位于景點(diǎn)A的西北方向．（1）求景點(diǎn)A與景點(diǎn)C相距多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）（2）為了方便旅客游覽，景區(qū)決定在景點(diǎn)D和E之間修一條筆直的道路，求道路DE的長(zhǎng)度．（參考數(shù)據(jù)：＝1.732，結(jié)果精確到1米）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，在Rt△CBF中，可得BF＝CF＝＝米，在Rt△ABF中，tan30°＝＝，求出AF，根據(jù)AC＝CF+AF可得答案．（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，在Rt△CDG中，sin30°＝，cos30°＝，解得DG＝500，CG＝，則EH＝米，在Rt△AEH中，可得EH＝AH＝米，則CH＝EG＝AC﹣AH＝（800+）米，最后根據(jù)DE＝DG+EG可得答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，由題意得，BC＝800米，∠CBF＝45°，∠ABF＝30°，∴BF＝CF＝＝＝（米），在Rt△ABF中，tan30°＝＝，解得AF＝800，∴AC＝CF+AF＝（800+）米．∴景點(diǎn)A與景點(diǎn)C相距（800+）米．（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，由題意得，CD＝1000米，∠DCG＝30°，∠AEH＝45°，CG＝EH，EG＝CH，在Rt△CDG中，sin30°＝，cos30°＝，解得DG＝500，CG＝，∴EH＝米，在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，可得EH＝AH＝米，∴CH＝EG＝AC﹣AH＝800+﹣＝（800+）米，∴DE＝DG+EG＝500+800+≈1820米．∴道路DE的長(zhǎng)度約為1820米．11．（2022?榮昌區(qū)自主招生）如圖，為學(xué)校創(chuàng)造安全環(huán)境，決定在A點(diǎn)東偏北30°方向直線延伸的主公路的旁邊修一條學(xué)生的步行路．測(cè)繪員在A處測(cè)學(xué)校M在A點(diǎn)東偏北60°方向，測(cè)繪員沿主公路步行2000米到達(dá)C處，測(cè)得學(xué)校M位于C的北偏西60°方向，請(qǐng)你在主公路上尋找點(diǎn)N，使到學(xué)校的路程最短，并求AN的長(zhǎng)．【分析】過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于N，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥東西方向與D，根據(jù)方向角的概念求出∠AMC＝90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出MC，根據(jù)余弦的定義求出CN，進(jìn)而求出AN．【解答】解：過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于N，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥東西方向與D，則MN為主公路到學(xué)校的路程最短距離，由題意得：∠MAD＝60°，∠CAD＝30°，∴∠MAC＝60°﹣30°＝30°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∴∠ACM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AMC＝90°，∴MC＝AC＝1000米，∴CN＝MC?cos∠ACM＝500（米），∴AN＝AC﹣CN＝1500（米），答：AN的長(zhǎng)為1500米．12．（2022春?江津區(qū)校級(jí)期中）某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為10（3+）海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東60°的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛20海里后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B處北偏東45°方向上．（1）求A、P之間的距離AP；（2）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于C，設(shè)PC＝x海里，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用x表示出BC，根據(jù)正切的定義用x表示出AC，根據(jù)題意列出方程，解方程求出x，進(jìn)而求出PA；（2）比較PC與半徑的大小，得到答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于C，設(shè)PC＝x海里，在Rt△PBC中，∠PBC＝45°，則BC＝PC＝x海里，在Rt△PAC中，∠PAC＝30°，則PA＝2PC＝2x海里，AC＝＝x（海里），由題意得：AC﹣BC＝AB，即x﹣x＝20，解得：x＝10+10，則AP＝20+20，答：A、P之間的距離AP為（20+20）海里；（2）海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)，理由如下：∵10+10＞10（3+），∴海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．13．（2022?渝北區(qū)校級(jí)模擬）3月份，長(zhǎng)江重慶段開(kāi)始進(jìn)入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開(kāi)始慢慢增加．為及時(shí)掌握轄區(qū)通航環(huán)境實(shí)時(shí)情況，嚴(yán)防船舶擱淺、觸礁等險(xiǎn)情事故發(fā)生，沿江海事執(zhí)法人員持續(xù)開(kāi)展巡航檢查，確保近七百公里的長(zhǎng)江干線通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的A處發(fā)現(xiàn)，航標(biāo)B在A處的北偏東45°方向200米處，以航標(biāo)B為圓心，150米長(zhǎng)為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，會(huì)使過(guò)往船舶有危險(xiǎn)．（1）由于水位下降，巡航船還發(fā)現(xiàn)在A處北偏西15°方向300米的C處，露出一片礁石，求B、C兩地的距離；（精確到1米）（2）為保證航道暢通，航道維護(hù)項(xiàng)目部會(huì)組織挖泥船對(duì)該條航道被淺灘影響的航段進(jìn)行保航施工．請(qǐng)判斷該條航道是否被這片淺灘區(qū)域影響？如果有被影響，請(qǐng)求出被影響的航道長(zhǎng)度為多少米？如果沒(méi)有被影響，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈2.646）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，由題意可得∠BAC＝60°，在Rt△ABD中，由三角函數(shù)可求得BD＝米，AD＝100米，則CD＝AC﹣AD＝200米，再根據(jù)勾股定理BC＝可得出答案．（2）過(guò)點(diǎn)B作航道的垂線BE，在Rt△ABE中，sin45°＝，求出BE的值，與150作比較，可得結(jié)論；設(shè)BF＝150米，利用勾股定理求出EF，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得被影響的航道長(zhǎng)度．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，由題意得，∠BAC＝15°+45°＝60°，AB＝200米，AC＝300米，在Rt△ABD中，sin60°＝，cos60°＝，解得BD＝，AD＝100，∴CD＝AC﹣AD＝200米，∴由勾股定理得，BC＝＝≈265米．∴B、C兩地的距離約為265米．（2）該條航道會(huì)被這片淺灘區(qū)域影響，長(zhǎng)度為100米，理由如下：過(guò)點(diǎn)B作航道的垂線BE，由題意得，AB＝200米，∠BAE＝45°，在Rt△ABE中，sin45°＝，解得BE＝≈141，∵141＜150，∴該條航道會(huì)被這片淺灘區(qū)域影響．設(shè)BF＝150米，在Rt△BEF中，EF＝＝＝50（米），根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，被影響的航道長(zhǎng)度為100米．14．（2022?岳麓區(qū)校級(jí)三模）湘江流經(jīng)永州、衡陽(yáng)、株洲、湘潭、長(zhǎng)沙等市，至岳陽(yáng)注入洞庭湖，干流全長(zhǎng)844公里，是湖南省內(nèi)最大的河流，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)量湘江某段的寬度（假設(shè)兩岸是平行的），如圖，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)A處觀測(cè)河對(duì)岸水邊點(diǎn)C，測(cè)得C在A北偏西30°的方向上，沿河岸向北前行400米到達(dá)B處，測(cè)得C在B北偏西60°的方向上．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求此段湘江的寬度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意得∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，則∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，即可得BC＝AB＝400米．（2）在Rt△BCD中，sin60°＝，解方程即可得出答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意得，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝400米，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，∴∠ACB＝∠CAB，∴BC＝AB＝400米．即BC的長(zhǎng)為400米．（2）由（1）得，BC＝400米，在Rt△BCD中，sin60°＝，解得CD＝≈346.4．∴此段湘江的寬度約為346.4米．15．（2022?秀英區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在一條東西走向的公路MN的同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，村莊B位于村莊A的北偏東60°的方向上，公路旁的貨站P位于村莊A的北偏東15°的方向上，已知PA平分∠BPN，AP＝2km．（1）填空：∠PAB＝45度；（2）求村莊A，B之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】（1）根據(jù)∠PAB＝∠QAB﹣∠QAP可得出答案．（2）過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，由題意可得∠APN＝∠APB＝75°，進(jìn)而可得∠BPC＝30°，在Rt△ACP中，sin45°＝，解得PC＝，則PC＝AC＝km，在Rt△BCP中，tan30°＝＝，解得BC＝，由AB＝AC+BC可得出答案．【解答】解：（1）由題意得，∠BAQ＝60°，∠PAQ＝15°，∴∠PAB＝∠QAB﹣∠QAP＝45°，故答案為：45．（2）過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，由題意可得∠APN＝75°，∠PAC＝∠APC＝45°，∵PA平分∠BPN，∴∠APN＝∠APB＝75°，∴∠BPC＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ACP中，∠PAC＝45°，AP＝2km，sin45°＝，解得PC＝，∴PC＝AC＝km，在Rt△BCP中，tan30°＝＝，解得BC＝，∴AB＝AC+BC＝（+）km．∴村莊A，B之間的距離為（+）km．16．（2022?南山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，海島A為物資供應(yīng)處，海上事務(wù)處理中心B島在A島的南偏西63.4°方向．一艘漁船在行駛到B島正東方向30海里的點(diǎn)C處時(shí)發(fā)生故障，同時(shí)向A、B島發(fā)出求助信號(hào)，此時(shí)漁船在A島南偏東53.1°位置．（參考數(shù)據(jù)：tan53.1≈，sin53.1°≈，cos53.1°≈，tan63.4°≈2，sin63.4°≈，cos63.4°≈．（1）求C點(diǎn)到A島的距離；（2）在收到求助信號(hào)后，A、B兩島同時(shí)派人員出發(fā)增援，由于A島所派快艇裝運(yùn)物資較多，速度比B島所派快艇慢25海里/小時(shí)，若兩島派出的快艇同時(shí)到達(dá)C處，求A處所派快艇的速度．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)AD＝x海里，在Rt△ADC中，tan53.1°＝≈，cos53.1°＝≈，解得CD＝，AC＝，在Rt△ADB中，tan63.4°＝≈2，解得BD＝2x，則可得2x+＝30，求出x的值，進(jìn)而可得出答案．（2）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間列出分式方程，即可求解．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)AD＝x海里，在Rt△ADC中，tan53.1°＝≈，cos53.1°＝≈，解得CD＝，AC＝，在Rt△ADB中，tan63.4°＝≈2，解得BD＝2x，∴2x+＝30，解得x＝9，∴AC＝15海里．∴C點(diǎn)到A島的距離約為15海里．（2）設(shè)A島所派快艇的速度為y海里/小時(shí)，則B島所派快艇的速度為（y+25）海里/小時(shí)，由題意得，，解得y＝25，經(jīng)檢驗(yàn)，y＝25為原方程的解，且符合題意．答：A島所派快艇的速度為25海里/小時(shí)．17．（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測(cè)站，A在B的正東方向．有一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從B處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得B，P兩點(diǎn)之間的距離為20海里．（1）求觀測(cè)站A，B之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）漁船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從B測(cè)得漁船在北偏西15°的方向．在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往C處，請(qǐng)問(wèn)補(bǔ)給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D點(diǎn)，可得∠BDP＝∠ADP＝90°，然后在Rt△PBD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BD，DP的長(zhǎng)，再在Rt△PAD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，根據(jù)題意得：∠ABC＝105°，∠PAD＝30°，從而求出∠C＝45°，然后在Rt△ABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長(zhǎng)，再在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D點(diǎn)，∴∠BDP＝∠ADP＝90°，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，∴DP＝BP?sin45°＝20×＝10（海里），BD＝BP?cos45°＝20×＝10（海里），在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝＝＝10（海里），∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，∴觀測(cè)站A，B之間的距離為（10+10）海里；（2）補(bǔ)給船能在82分鐘之內(nèi)到達(dá)C處，理由：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，∴∠AFB＝∠CFB＝90°由題意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，∴BF＝AB＝（5+5）海里，在Rt△BCF中，∠C＝45°，∴BC＝＝＝（10+10）海里，∴補(bǔ)給船從B到C處的航行時(shí)間＝×60＝30+30≈81.9（分鐘）＜83分鐘，∴補(bǔ)給船能在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處．18．（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要停靠到碼頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【分析】過(guò)B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：過(guò)B作BD⊥AC于D，由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．19．（2022?丹東）如圖，我國(guó)某海域有A，B，C三個(gè)港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是單位“海里”的符號(hào)）處，A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點(diǎn)D處有一艘貨船，求貨船與A港口之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，根據(jù)題意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，從而可得∠ADC＝53°，然后在Rt△AEF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長(zhǎng)，從而求出AE的長(zhǎng)，最后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，由題意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD＝∠ADC＝53°，在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，∴AF＝AB?sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），∴AE＝AF+EF＝64（海里），在Rt△ADE中，AD＝≈＝80（海里），∴貨船與A港口之間的距離約為80海里．20．（2022?渠縣一模）如圖，在某港口M的正南方向有一漁船在A處作業(yè)，到了上午11：00時(shí)漁船發(fā)出求救信號(hào)，港口指揮中心指示位于港口東南方向距離50海里B處的巡邏船去營(yíng)救，并且最遲在中午12：00趕到，此時(shí)巡邏船發(fā)現(xiàn)漁船在它的南偏西30°方向，同時(shí)正南方向C處有觸礁警示．如果巡邏船沿BA前去營(yíng)救，行駛20海里到D處，測(cè)得DA與DC的夾角為45°，請(qǐng)問(wèn)仍按原航線行駛是否有觸礁的危險(xiǎn)？若無(wú)危險(xiǎn)，巡邏船的速度至少要達(dá)到每小是多少海里？【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AM于點(diǎn)F，設(shè)CE的長(zhǎng)為x海里，由題意得：∠ABC＝30°，∠CDE＝45°，BD＝20海里，∠AMB＝45°，MB＝50海里，BF⊥AM，然后利用特殊角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AM于點(diǎn)F，設(shè)CE的長(zhǎng)為x海里，由題意知：∠ABC＝30°，∠CDE＝45°，BD＝20海里，∵CE⊥AB，∴CE＝DE＝x海里，∴BE＝（x+20）海里，∵BE＝CE＝x（海里），∴x+20＝x，.解得x＝10√+10，∵10+10≈27.3＞25，∴巡邏船按原航線行駛沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)；∵BC∥AM，∴∠ABC＝∠A＝30°，由題意知：∠AMB＝45°，MB＝50海里，BF⊥AM，∴MF＝BF＝50海里，∵∠A＝30°，∠BFA＝90°，∴AB＝2BF＝100（海里）．∵上午11：00時(shí)漁船發(fā)出求救信號(hào)，最遲在中午12：00趕到，巡邏船的速度至少要達(dá)到每小時(shí)100海里，∴巡邏船按原航線行駛沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)；速度至少要達(dá)到每小時(shí)100海里．21．（2022?睢陽(yáng)區(qū)二模）長(zhǎng)征18號(hào)已于2021年4月23日在海南三亞某軍港交接入列，如圖，某日長(zhǎng)征18號(hào)艇從點(diǎn)A出發(fā)沿正東方向巡航，在點(diǎn)A處測(cè)得島嶼D在點(diǎn)A的北偏東42°方向上，航行4海里后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得島嶼C在點(diǎn)B的北偏東57°方向上，此時(shí)長(zhǎng)征18號(hào)艇與島嶼C相距18海里．已知島嶼D在島嶼C的正北方向上，求島嶼C，D之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin57°≈0.84，cos57°≈0.54，tan57°≈1.54）．【分析】延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)題意利用銳角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題．【解答】解：延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)題意，得∠BEC＝90°，∠ADC＝42°，∠BCE＝57°，AB＝4海里．在Rt△BCE中，BE＝BC×sin∠BCE＝18×sin57°≈15.12（海里），∴CE＝BC?cos∠BCE＝18×cos57°≈9.72（海里），∴AE＝AB+BE≈19.12（海里）．在Rt△ADE中，（海里），∴CD＝DE﹣CE≈21.24﹣9.72≈12（海里）．答：島嶼C、D之間的距離約為12海里．22．（2022春?永州期末）如圖，一條筆直的公路l經(jīng)過(guò)某水廠A和寶塔B，我區(qū)某鎮(zhèn)準(zhǔn)備開(kāi)發(fā)桑葚基地C，經(jīng)測(cè)量C位于A北偏東60°，B的北偏東30°上，且AB＝20km．（1）求寶塔B到桑葚基地C的距離．（2）為了方便游客到桑葚基地C采摘桑葚，鎮(zhèn)里決定由C向公路l修建一條距離最短的公路，不考慮其他因數(shù)，求出這條最短公路的長(zhǎng)．【分析】（1）先根據(jù)方向角的定義得出∠CAB＝30°，∠ABC＝120