實際問題與一元二次方程（銷售問題、圖表問題、動點問題）（教學(xué)設(shè)計）-九年級數(shù)學(xué)上冊同步備課系列

21.3實際問題與一元二次方程教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》九年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.3實際問題與一元二次方程第3課時，內(nèi)容包括：利用一元二次方程解決銷售問題、圖表問題和動點問題。2.內(nèi)容解析本節(jié)課學(xué)習(xí)如何利用一元二次方程解決銷售問題、圖表問題和動點問題。與銷售問題有關(guān)的題目中通常會出現(xiàn)“每降低多少單價，每次就增加多少銷量”或“每增加多少單價，每次就減少多少銷量”的問題，注意兩個“每次”。銷售問題中，每次漲（降）價，會引起定價和銷量的變化，定價的變化又影響單件利潤。該類問題的等量關(guān)系式一般是：單件利潤×銷售量=總利潤。銷售問題中要注意題設(shè)中“在顧客得實惠的前提下”“減少庫存壓力”等語句，這是進(jìn)行答案取舍的重要信息。圖表信息問題是近幾年中考的熱點題型，解決圖表信息題的關(guān)鍵是：準(zhǔn)確理解圖表所提供的信息。以圖表形式給出條件，列一元二次方程解決現(xiàn)實生活中的相關(guān)問題是此類考題的一個重要方面。想要解決動點問題，首先要搞清楚圖形的變化過程，正確分析變量和其他量之間的聯(lián)系，動中窺靜，以靜制動。動態(tài)幾何問題中常關(guān)心“不變量”，在求某個特定位置或特定值時，經(jīng)常建立方程模型求解。通過列方程解應(yīng)用題體會一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用，經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和運用一元二次方程解決實際問題的能力?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：找出實際問題中的等量關(guān)系，正確列出一元二次方程。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)1）根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系，正確列出一元二次方程。2）通過列方程解應(yīng)用題體會一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用，經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)1)的標(biāo)志是：通過審題，根據(jù)“銷售問題”中每次漲（降）價，會引起定價和銷量的變化，定價的變化又影響單件利潤從而根據(jù)等量關(guān)系構(gòu)建一元二次方程。根據(jù)“圖表問題”中圖表所提供的信息構(gòu)建一元二次方程。根據(jù)“動點問題”中圖形的變化過程構(gòu)建一元二次方程。找等量關(guān)系，正確列出方程并求解，從而解決實際問題。達(dá)成目標(biāo)2）的標(biāo)志是：對用方程解決實際問題的步驟（審、設(shè)、列、解、驗、答）進(jìn)行回顧、總結(jié)和深化，體會一元二次方程是解決實際問題的一種數(shù)學(xué)模型。三、教學(xué)問題診斷分析九年級學(xué)生已具備一定的建模思想，也接觸了一些實際問題，了解將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的一般步驟，積累了一定的解題經(jīng)驗和方法。學(xué)生解決“銷售問題”的困難是：根據(jù)每次漲（降）價，會引起定價和銷量的變化，定價的變化又影響單件利潤從而根據(jù)等量關(guān)系構(gòu)建一元二次方程，再結(jié)合題設(shè)中“在顧客得實惠的前提下”“減少庫存壓力”等語句選擇合適的答案。學(xué)生解決“圖表問題”的困難是：準(zhǔn)確理解圖表所提供的信息。學(xué)生解決“動點問題”的困難是：搞清楚圖形的變化過程?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：發(fā)現(xiàn)實際問題的等量關(guān)系。四、教學(xué)過程設(shè)計（一）復(fù)習(xí)舊知，引入新課【提問】回顧列方程解決實際問題的基本步驟?師生活動：教師提問，學(xué)生回答?！驹O(shè)計意圖】先回顧列方程解決實際問題的相關(guān)知識，為本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)利用一元二次方程解決銷售問題、圖表問題、動點問題做好鋪墊。（二）探究新知【問題】九年級學(xué)生小明在暑假期間勤工儉學(xué)。1）他每天在批發(fā)市場以每斤2.5元買進(jìn)黃瓜，再到市場以每斤4元賣掉黃瓜，那么他每賣1斤黃瓜可以賺到元；2）如果他每天都能賣完50斤黃瓜，則他每天收入是元。3）他每天外面吃飯需花費20元，則他每天實際可以獲得_____________元。師生活動：學(xué)生獨立思考，嘗試給出答案?！咎釂枴扛鶕?jù)上述問題，你能售價、進(jìn)價、利潤、支出之間存在的關(guān)系嗎?1）單件售價-單件進(jìn)價=單件利潤2）單件利潤×銷量=總利潤3）總利潤-支出=實際利潤（或：銷售總額-成本總額-支出=實際利潤)師：你們知道與銷售問題有關(guān)的其它等量關(guān)系嗎？師生活動：學(xué)生獨立思考，嘗試給出答案。教師負(fù)責(zé)引導(dǎo)與補充，最后給出其它等量關(guān)系：4）利潤率=商品利潤商品進(jìn)價5）商品售價=標(biāo)價×折扣數(shù)6）商品售價=商品進(jìn)價×(1+利潤率)【設(shè)計意圖】將學(xué)生放置在實際問題的背景下，針對具體情景分析其中的數(shù)量關(guān)系，以及與銷售問題有關(guān)的其它等量關(guān)系，為接下來學(xué)習(xí)利用一元二次方程解決銷售問題打好基礎(chǔ)。【問題】某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售，增加盈利，盡快減小庫存，商場采取了降價措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件.如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價降了多少元？師生活動：學(xué)生獨立思考，嘗試給出答案。教師在學(xué)生活動過程中可提出如下提示性問題：【提問1】如果設(shè)襯衫單價應(yīng)降x元，根據(jù)題目信息補充表格答案：【設(shè)計意圖】學(xué)生解題的難點就是如何用x表示降價后襯衫的單件利潤和銷量。因此在此設(shè)問，以幫助學(xué)生理解?！咎釂?】本題中的等量關(guān)系是什么？你能解決這個問題嗎?師生活動：學(xué)生獨立思考，給出答案。等量關(guān)系:單件利潤（降價后）設(shè)襯衫單價應(yīng)降x元由題意得(40-x)(20+2x)=1200解方程得x1=20，x2=10（舍去）答：襯衫的單價降了20元【提問3】站在商家角度你覺得如何降價合適？為了盡快減小庫存，所以降價幅度越大越好，因此x=20【設(shè)計意圖】通過找等量關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力?！締栴}】某商店進(jìn)了一批服裝，進(jìn)貨單價為50元，若按每件60元出售，則可銷售800件；若每件再提價1元出售，則其銷售量就減少20件?，F(xiàn)在預(yù)算要獲利潤12000元，應(yīng)按每件多少元出售？師生活動：學(xué)生獨立思考，嘗試給出答案。教師在學(xué)生活動過程中可提出如下提示性問題：【提問1】如果設(shè)應(yīng)按每件x元出售，根據(jù)題目信息補充表格答案：【設(shè)計意圖】學(xué)生解題的難點就是如何用x表示提價后服裝的單件利潤和銷量。因此在此設(shè)問，以幫助學(xué)生理解。【提問2】本題中的等量關(guān)系是什么？你能解決這個問題嗎?師生活動：學(xué)生獨立思考，給出答案。等量關(guān)系:單件利潤（提價后）設(shè)應(yīng)按每件x元出售由題意得（x-50）[800-20（x-60）]=12000解方程得x1=70，x2=80當(dāng)x=70時，50×（800-20×

10）=30000>24000舍去當(dāng)x=80時，50×（800-20×

20）=20000<24000答：應(yīng)按每件80元出售，進(jìn)貨數(shù)量400件【易錯點】忽略了題干中給出的進(jìn)貨成本不超過24000元的條件。【設(shè)計意圖】通過找等量關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力?！締栴}】如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面問題？請你試一試。師生活動：學(xué)生獨立思考，嘗試給出答案。教師在學(xué)生活動過程中可提出如下提示性問題：【提問3】如果設(shè)提價x元，你能根據(jù)提示信息列出方程嗎？師生活動：學(xué)生獨立思考，給出答案。設(shè)提價x元由題意得(10+x)(800-20x)=12000解方程得x1=10，x2=20當(dāng)x=10時，50×（800-20×

10）=30000>24000舍去當(dāng)x=20時，50×（800-20×

20）=20000<24000當(dāng)x=20時,60+x=60+20=80元答：應(yīng)按每件80元出售，進(jìn)貨數(shù)量400件【設(shè)計意圖】通過換一種設(shè)未知數(shù)的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力。（三）典例分析例1某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按供需要求分為十個檔次．若生產(chǎn)第一檔次（最低檔次）的產(chǎn)品，一天可生產(chǎn)76件，每件的利潤為10元，每提高一個檔次，每件的利潤增加2元，每天的產(chǎn)量將減少4件．設(shè)該產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個檔次的產(chǎn)品）為x，請解答下列問題．1）用含x的代數(shù)式表示：一天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為_______件，每件產(chǎn)品的利潤為________元；2）若該產(chǎn)品一天的總利潤為1080元，求這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值。【解析】解（1）一天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為[76-4（x-1）]=（80-4x）件，每件產(chǎn)品的利潤為[10+2（x-1）]=（8+2x）元，（2）當(dāng)利潤是1080元時，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080，整理得：-8x2+128x+640=1080，解得：x1=5，x2=11，∵x=11＞10，不符合題意，舍去?！鄕=5，答：當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量檔次是在第5檔次時，一天的總利潤為1080元。師生活動：請學(xué)生板演，然后師生共同糾錯，使學(xué)生明確自己的錯誤與薄弱環(huán)節(jié)，在后續(xù)的解題過程中做到有的放矢，對癥下藥。[針對訓(xùn)練]1．李華網(wǎng)上開了一家羽毛球拍專賣店，平均每天可銷售20副，每個盈利40元，若每副降價1元，則每天可多銷售5副.如果每天要盈利1700元，每副應(yīng)降價______元(要求每個降價幅度不超過15元)【詳解】解：設(shè)每副羽毛球拍降價x元，由題意得：（40-x）（20+5x）=1700，整理得：x2-36x+180=0，解方程得：x1=6，x2=30，因為每副降價幅度不超過15元，所以x=6符合題意，故答案是：6．2．山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：1）每千克核桃應(yīng)降價多少元？2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？【詳解】解：1）設(shè)每千克核桃應(yīng)降價x元根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+x2化簡，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃應(yīng)降價4元或6元.2）由1）可知每千克核桃可降價4元或6元.∵要盡可能讓利于顧客，∴每千克核桃應(yīng)降價6元此時，售價為：60﹣6=54（元），54答：該店應(yīng)按原售價的九折出售．【設(shè)計意圖】檢測“銷售問題”的掌握情況。（四）探究新知【問題】某公司組織一批員工到龍灣風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社28000元，你能確定參加這次旅游的人數(shù)嗎？師生活動：學(xué)生獨立思考，嘗試給出答案。教師在學(xué)生活動過程中可提出如下提示性問題：【提問1】公司支付給旅行社28000元，說明了什么？參加這次旅游人數(shù)大于30人【提問2】設(shè)參加旅游人數(shù)共有x人，你用含x的代數(shù)式表示人均收費嗎？[800-10（x-30）]元【設(shè)計意圖】學(xué)生解題的難點就是如何用x表示人均消費。因此在此設(shè)問，以幫助學(xué)生理解。【提問3】本題中的等量關(guān)系是什么？你能解決這個問題嗎?師生活動：學(xué)生獨立思考，給出答案。等量關(guān)系:參加旅游人數(shù)×人均消費=支付總額解：設(shè)參加旅游人數(shù)共有x人，∵800×30=24000<28000，∴參加人數(shù)x>30,根據(jù)題意，得x×[800-10（x-30）]=28000.整理，得x解得，x1=40，x2=70當(dāng)x=40時，[800-10（x-30）]=800-10（40-30）=700>500當(dāng)x=70時，[800-10（x-30）]=800-10（70-30）=400<500（不符合題意，舍去）答：參加人數(shù)共有40人【設(shè)計意圖】通過找等量關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力。【問題】為了節(jié)約用水，某水廠規(guī)定：某單元居民如果一個月的用水量不超過x噸，那么這個月該單元居民只交10元水費．如果超過x噸，則這個月除了仍要交10元水費外，超過那部分按每噸x1001）該單元居民8月份用水80噸，超過了“規(guī)定的x噸”，則超過部分應(yīng)交水費元（用含x的式子表示）．2）下表是該單元居民9月、10月的用水情況和交費情況：根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該x噸是多少？【詳解】解：（1）超過的用水量為（80-x）噸，所以，超過部分應(yīng)交水費x100（2）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，可以知道x≥50，根據(jù)9月份用水情況可以列出方程：10+x解得，x1=60，x2=25因為x≥50，所以x=60答：該水廠規(guī)定的x噸是60噸．師生活動：學(xué)生獨立思考，給出答案。師生活動：學(xué)生獨立思考，給出答案。（五）典例分析例2某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下（規(guī)定：四舍五入，精確到元，N≤15）N是走步價，李先生乘坐出租車打出的電子收費單是：里程11公里，應(yīng)收29．1元，你能依據(jù)以上信息，推算出起步價N的值嗎?【詳解】由題意，可列出方程N+整理得N2—29.1N+191=0．解方程得N1=10，N2=19.1（不合題意舍去）答：起步價是10元．師生活動：請學(xué)生板演，然后師生共同糾錯，使學(xué)生明確自己的錯誤與薄弱環(huán)節(jié)，在后續(xù)的解題過程中做到有的放矢，對癥下藥。[針對訓(xùn)練]某公司組織一批員工到該風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社2800元．A公司參加這次旅游的員工有多少人？某風(fēng)景區(qū)的旅游信息如下：【解析】設(shè)參加這次旅游的員工有x人，∵30×80=2400<2800，∴x>30．根據(jù)題意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．當(dāng)x=40時，80-（x-30）=70>55，當(dāng)x=70時，80-（x-30）=40<55，舍去．答：A公司參加這次旅游的員工有40人．【設(shè)計意圖】檢測“圖表問題”的掌握情況。（六）新知講解【問題】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C移動．幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm2？師生活動：學(xué)生獨立思考，嘗試給出答案。教師在學(xué)生活動過程中可提出如下提示性問題：【提問1】設(shè)xs后△DPQ的面積等于28cm2，則AP、PB、BQ、QC的長度如何用含x的代數(shù)式表示？AP、PB、BQ、QC的長度分別為x、6-x、2x、12-2x【提問2】Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面積如何用含x的代數(shù)式表示。設(shè)xs后△DPQ的面積等于28cm2，則S△APD=12×S△PBQ=12×2x×(6【設(shè)計意圖】學(xué)生解題的難點就是如何先用含未知數(shù)的式子表示AP、PB、BQ、QC的長度，再通過含未知數(shù)的式子表示Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面積。因此在此設(shè)問，以幫助學(xué)生理解?！咎釂?】你能解決這個問題嗎？設(shè)xs后△DPQ的面積等于28cm2，根據(jù)題意得：12×x解這個方程得，xx1=2，x2=4答：2s或4s后△DPQ的面積等于28cm2【設(shè)計意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷完整的解題過程，提高分析問題和解決問題的能力。（七）典例分析例3如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達(dá)B為止；點Q以2cm/s的速度向點D移動。經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？【解析】設(shè)經(jīng)過xs時間P、Q兩點之間的距離是10cm。由題意得16解方程得x1=1.6，x2=4.8答：1.6s或4.8s后P、Q距離是10cm師生活動：請學(xué)生板演，然后師生共同糾錯，使學(xué)生明確自己的錯誤與薄弱環(huán)節(jié)，在后續(xù)的解題過程中做到有的放矢，對癥下藥。[針對訓(xùn)練]如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達(dá)B為止；點Q以2cm/s的速度向點D移動。1)當(dāng)運動時間為2s時，P，Q兩點的距離為多少？2)當(dāng)運動時間為4s時，P，Q兩點的距離為多少？【解析】1）x=2時，由運動可知AP＝3×2＝6cm，CQ＝2×2＝4cm，∴四邊形ABCD是矩形，∴QE＝AD＝6，∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，根據(jù)勾股定理得PQ=PE∴當(dāng)x＝2s時，P，Q兩點的距離為62cm；2）x=4時，由運動知AP′＝3×4＝12cm，CQ′＝2×4＝8cm，∴四邊形ABCD是矩形，∴P′E＝AD＝6P′B=CE=AB-AP′=16-12=4∴Q′E＝Q′C﹣CE＝8﹣4＝4，根據(jù)勾股定理得P′Q′=P'E∴當(dāng)x＝4s時，P，Q兩點的距離為213【設(shè)計意圖】檢測“動點問題”的掌握情況。（八）直擊中考1．（2021·山東日照真題）某藥店新進(jìn)一批桶裝消毒液，每桶進(jìn)價35元，原計劃以每桶55元的價格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價銷售．已知這種消毒液銷售量y（桶）與每桶降價x（元）（0<x<20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在這次助力疫情防控活動中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實際售價多少元？【詳解】解：（1）設(shè)y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，將點（1，110）、（3，130）代入一次函數(shù)表達(dá)式得：110=k+b130=3k+b，解得：k=10b=100，故函數(shù)的表達(dá)式為：（2）由題意得：（10x+100）（55-x-35）=1760，整理，得x2解得x1=12，x2答：這種消毒液每桶實際售價43元．2．（2018·江蘇鹽城真題）某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為________件；（2）當(dāng)每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？【詳解】（1）若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為20+2×3=26件．（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價x元時，該商店每天銷售利潤為1200元．根據(jù)題意，得（40-x）（20+2x）=1200，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20應(yīng)舍去，∴x=10．答：每件商品應(yīng)降價10元時，該商