2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1.2.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像的應(yīng)用課時素養(yǎng)評價含解析新人教B版必修第二冊

PAGE指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像的應(yīng)用(15分鐘30分)1.(2024·天津高一檢測)設(shè)m,n∈R,則“m<n”是“QUOTE>1”的 ()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選C.因為f(x)=QUOTE在R上遞減,所以若m<n,m-n<0,QUOTE>QUOTE=1,充分性成立,若QUOTE>1,則QUOTE>QUOTE,m-n<0,m<n,必要性成立,即“m<n”是“QUOTE>1”的充要條件.2.若a>1,則函數(shù)y=ax與y=(1-a)x2的圖像可能是下列四個選項中的 ()【解析】選C.因為a>1,所以函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞增,可解除選項B與D.y=(1-a)x2是開口向下的二次函數(shù),可解除選項A.【補償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=ax在(0,2)內(nèi)的值域是(a2,1),則函數(shù)y=f(x)的圖像是 ()【解析】選A.因為f(x)=ax在(0,2)內(nèi)的值域是(a2,1),所以f(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減.所以0<a<1.3.函數(shù)y=QUOTE的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[1,2] D.[1,3]【解析】選A.令u=-3+4x-x2,y=3u為增函數(shù),所以y=QUOTE的增區(qū)間就是u=-3+4x-x2的增區(qū)間(-∞,2].4.若函數(shù)f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域為[1,+∞),則f(-4)與f(1)的大小關(guān)系是()A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1)C.f(-4)<f(1) D.不能確定【解析】選A.因為|x+1|≥0,函數(shù)f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域為[1,+∞),所以a>1.由函數(shù)f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函數(shù),且它的圖像關(guān)于直線x=-1對稱,可得函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù).再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1).5.若函數(shù)y=QUOTE在區(qū)間(-∞,3)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是________.

若在區(qū)間QUOTE上不單調(diào),則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】y=QUOTE在(-∞,3)上遞增,即二次函數(shù)y=-x2+ax-1在(-∞,3)上遞增,因此須要對稱軸x=QUOTE≥3,解得a≥6.若函數(shù)在QUOTE上不單調(diào),則-1<QUOTE<1,解得-2<a<2.答案:a≥6-2<a<26.設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE,a是不為零的常數(shù).(1)若f(3)=QUOTE,求使f(x)≥4的x值的取值范圍.(2)當(dāng)x∈[-1,2]時,f(x)的最大值是16,求a的值.【解析】(1)由f(3)=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以10-3a=1,解得a=3.由f(x)=QUOTE≥4=QUOTE,即10-3x≤-2,解得x≥4.(2)當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)=QUOTE在x∈[-1,2]時為增函數(shù),則x=2時,函數(shù)取最大值QUOTE=16,即10-2a=-4,解得a=7,當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)=QUOTE在x∈[-1,2]時為減函數(shù),則x=-1時,函數(shù)取最大值QUOTE=16,即10+a=-4,解得a=-14,綜上可得:a=7或a=-14.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.(2024·新余高一檢測)函數(shù)y=QUOTE(0<a<1)的圖像的大致形態(tài)是 ()【解析】選D.當(dāng)x>0時,y=ax(0<a<1),故可解除A、B項;當(dāng)x<0時,y=-ax,它與y=ax(0<a<1,x<0)的圖像關(guān)于x軸對稱.2.若a=π-2,b=aa,c=QUOTE,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()A.c>b>a B.b>c>aC.b>a>c D.a>b>c【解析】選B.由題意得,0<a<1,故0<aa<1,a-1<0,所以QUOTE=QUOTE=aa-1>1,故b>a,QUOTE=QUOTE=QUOTE=aa-b>1,故b>c,QUOTE=QUOTE=QUOTE>1,故c>a,綜上知,b>c>a.3.已知函數(shù)f(x)=QUOTE是定義在R上的減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為f(x)是R上的減函數(shù),所以QUOTE解得QUOTE<a≤QUOTE.4.已知函數(shù)f(x)=QUOTE若f(a-1)≥f(-a),則實數(shù)a的取值范圍是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.當(dāng)x≤0時,f(x)=e-x是減函數(shù),且f(x)≥1,當(dāng)x>0時,f(x)=-x2-2x+1的對稱軸為x=-1,拋物線開口向下,此時f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)且f(x)<1,綜上,f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù),若f(a-1)≥f(-a),則a-1≤-a,即a≤QUOTE,則實數(shù)a的取值范圍是QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.函數(shù)f(x)=ax-b的圖像如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.a>1 B.b>0C.0<a<1 D.b<0【解析】選CD.從曲線的改變趨勢可以得到函數(shù)f(x)為減函數(shù),從而有0<a<1;從曲線位置看,是由函數(shù)y=ax(0<a<1)的圖像向左平移|-b|個單位而得到的,所以-b>0,即b<0.6.關(guān)于函數(shù)fQUOTE=QUOTE的說法中,正確的是 ()A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.在QUOTE上是增函數(shù)D.在QUOTE上是減函數(shù)【解析】選BC.fQUOTE=QUOTE=-QUOTE=-fQUOTE,所以函數(shù)fQUOTE為奇函數(shù);當(dāng)x增大時,ex-e-x增大,故fQUOTE增大,故函數(shù)fQUOTE為增函數(shù).【補償訓(xùn)練】(多選題)若方程ax-x-a=0有兩個解,則a的值可以是 ()A.QUOTEB.1C.QUOTED.2【解析】選CD.當(dāng)a>1時,y=x+a與y=ax的圖像有兩個交點;當(dāng)0<a<1時,y=x+a與y=ax的圖像有一個交點.三、填空題(每小題5分,共10分)7.若函數(shù)y=ax-m+n-3(a>0且a≠1)的圖像恒過定點(3,2),則m+n=________.

【解析】因為對于函數(shù)y=ax-m+n-3(a>0且a≠1)的圖像恒過定點,令x-m=0,可得x=m,y=n-2,可得函數(shù)的圖像恒過定點(m,n-2).再依據(jù)函數(shù)的圖像恒過定點(3,2),所以m=3,n-2=2,解得m=3,n=4,則m+n=7.答案:78.若函數(shù)y=0.5|1-x|+m的圖像與x軸有公共點,則m的取值范圍是________.

【解析】因為函數(shù)y=0.5|1-x|+m的圖像與x軸有公共點,所以就是求函數(shù)m=-0.5|1-x|的值域問題.因為m=-0.5|1-x|的值域為[-1,0).故實數(shù)m的取值范圍是[-1,0).答案:[-1,0)【補償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=2|x-a|(a為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是________.

【解析】由函數(shù)f(x)=2|x-a|=QUOTE可得,當(dāng)x≥a時,函數(shù)f(x)為增函數(shù),而已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),所以a≤1,即a的取值范圍為(-∞,1].答案:(-∞,1]四、解答題(每小題10分,共20分)9.函數(shù)f(x)=QUOTE.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間.(2)x∈[-1,2]時,求f(x)的值域.【解析】(1)令t=x2-2x,則f(x)=h(t)=QUOTE,因為h(t)=QUOTE在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,t=x2-2x在(-∞,1]內(nèi)單調(diào)遞減,在[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1].(2)由t=x2-2x,則f(x)=h(t)=QUOTE,因為-1≤x≤2,所以t∈[-1,3],所以f(x)∈QUOTE.10.(2024·北京高一檢測)已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1],當(dāng)x∈[-1,0)時,f(x)=-QUOTE.(1)求函數(shù)f(x)在QUOTE上的值域;(2)若x∈(0,1]時,函數(shù)y=QUOTEf2(x)-QUOTEf(x)+1的最小值為-2,求實數(shù)λ的值.【解析】(1)設(shè)x∈(0,1],則-x∈[-1,0),所以f(-x)=-QUOTE=-2x.又因為f(x)為奇函數(shù),所以有f(-x)=-f(x),所以當(dāng)x∈(0,1]時,f(x)=-f(-x)=2x,所以f(x)在QUOTE上的值域為(1,2],(2)由(1)知當(dāng)x∈(0,1]時,f(x)∈(1,2],所以QUOTEf(x)∈(QUOTE,1].令t=QUOTEf(x),則QUOTE<t≤1,g(t)=QUOTEf2(x)-QUOTEf(x)+1=t2-λt+1=QUOTE+1-QUOTE,①當(dāng)QUOTE≤QUOTE,即λ≤1時g(t)>g(QUOTE),無最小值,②當(dāng)QUOTE<QUOTE≤1,即1<λ≤2時,g(t)min=g(QUOTE)=1-QUOTE=-2,解得λ=±2QUOTE(舍去).③當(dāng)QUOTE>1,即λ>2時,g(t)min=g(1)=-2,解得λ=4,綜上所述,λ=4.1.若ea+πb≥e-b+π-a,則有 ()A.a+b≤0 B.a-b≥0C.a-b≤0 D.a+b≥0【解析】選D.方法一:取特別值解除,當(dāng)a=0,b=1時,1+π≥QUOTE+1,成立,解除A,B.當(dāng)a=1,b=0,e+1≥1+QUOTE成立,解除C.方法二:構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性:令f(x)=ex-π-x,則f(x)是增函數(shù),因為ea-π-a≥e-b-πb,所以f(a)≥f(-b),即a+b≥0.2.定義在D上的函數(shù)f(x),假如滿意:對隨意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=1+aQUOTE+QUOTE.(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并推斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由.(2)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的最大值.【解析】(1)當(dāng)a=1時,f(x)=1+QUOTE+QUOTE.令t=QUOTE,由x<0可得t>1,f(x)=h(t)=t2+t+1=QUOTE+QUOTE,因為h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故f(t)>f(1)=3,故不存在常數(shù)M>0,使|f