專題06相似三角形的判定與性質(zhì)重難點題型專訓(xùn)（10大題型）（原卷版）2

專題06相似三角形的判定與性質(zhì)（10大題型）【題型目錄】題型一證明兩三角形相似題型二選擇或補充條件使兩個三角形相似題型三重心的有關(guān)性質(zhì)題型四相似三角形的判定與性質(zhì)綜合題型五利用相似三角形的性質(zhì)求解題型六證明三角形的對應(yīng)線段成比例題型七利用相似求坐標(biāo)題型八在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形題型九相似三角形——動點問題題型十相似三角形的綜合問題【知識梳理】知識點一、相似三角形的判定預(yù)備定理平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．判定1有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．判定2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似．判定3三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似直角三角形的特殊判定若一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．知識點二、相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。性質(zhì)2相似三角形的周長比等于相似比?！祝瑒t由比例性質(zhì)可得：類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長的比等于相似比。性質(zhì)3相似三角形的面積比等于相似比的平方?！?，則分別作出與的高和，則要點詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的。如果把兩個相似多邊形分成若干個相似的三角形，我們還可以得到：相似多邊形面積的比等于相似比的平方。性質(zhì)4相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線之比等于相似比。要點詮釋：要特別注意“對應(yīng)”兩個字，在應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段。【經(jīng)典例題一證明兩三角形相似】1．（2023上·北京石景山·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，E，F(xiàn)分別是，上的點，若，則一定有（

）．A． B． C． D．2．（2023上·上海閔行·九年級校考期中）如圖，已知是中的邊上的一點，，的平分線交邊于，交于，那么下列結(jié)論中錯誤的個數(shù)是（

）（a）；（b）；（c）；（d）．A．0 B．1 C．2 D．33．（2023下·九年級課時練習(xí)）如圖，不等長的兩條對角線相交于點，且將四邊形分成甲、乙、丙、丁四個三角形．若，則甲、乙、丙、丁這4個三角形中，一定相似的有．4．（2023下·河北衡水·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，點E在上，，與相交于點O，與相交于點F．

（1）若平分，則與是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）圖中與相似的三角形有（寫出兩個即可）5．（2023上·河北滄州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形中，，，點為邊上一動點，交于點．

(1)求證：；(2)當(dāng)時，求的長．【經(jīng)典例題二選擇或補充條件使兩個三角形相似】1．（2023上·北京延慶·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點是的邊上一點，要使得與相似，添加一個條件，不正確的是（）A． B．C． D．2．（2023上·山東濱州·九年級?？计谀┤鐖D，在中，是上一點，連接，添加下列條件中的一個，不能判斷的是（）A． B． C． D．3．（2022上·黑龍江雞西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是邊上一點，連接，要使與相似，應(yīng)添加的條件是．

4．（2023上·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，直角邊上有一動點（不與點重合）．過點作直線截，使截得的三角形與相似，則滿足這樣條件的直線共有條．

5．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）在①，②，③這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，使命題正確，并證明．問題：如圖，四邊形的兩條對角線交于點，若（填序號）求證：．【經(jīng)典例題三重心的有關(guān)性質(zhì)】1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，點P是的重心，點D是邊的中點，交于點E，交于點F，若四邊形的面積為6，則的面積為（）

A．15 B．18 C．24 D．362．（2022上·上海徐匯·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，中線相交于點G，下列說法錯誤的是（

）

A．點G為的重心 B．C．當(dāng)為等邊三角形時， D．3．（2023上·浙江寧波·九年級寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）若拋物線經(jīng)過原點和點及點，點C是x軸上一點，當(dāng)?shù)闹匦腉落在拋物線上時，則點G的坐標(biāo)是．4．（2023上·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，點F是的重心，，則．5．（2023上·浙江金華·九年級?？计谥校┤鐖D在的網(wǎng)格中，的頂點都在格點上，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中分別按下列要求畫圖．（請保留畫圖痕跡，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示）

(1)在圖1中，畫出的重心G；(2)在圖2中，畫線段，點E在上，使得；(3)圖3中，在內(nèi)尋找一格點N，使，并標(biāo)注點N的位置．【經(jīng)典例題四相似三角形的判定與性質(zhì)綜合】1．（2023上·遼寧朝陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形中，對角線、交于點O，于點E，，，（

）cmA．10 B．8 C．9 D．122．（2023上·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點E在正方形的對角線上，于點F，連接并延長，交邊于點M，交邊的延長線于點G．若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023上·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點為邊上一動點（不與點重合），過點作射線交于點，使．當(dāng)為直角三角形時，則的長為．

4．（2023上·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，是的中點，并按以下步驟作圖：分別以和為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作直線交于點，則的長為．5．（2023上·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）（1）問題如圖1，在四邊形中，點為上一點，．求證：．（2）探究如圖，在四邊形中，點為上一點，當(dāng)時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．（3）應(yīng)用請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗解決問題如圖3，在中，，，點以每秒個單位長度的速度，由點出發(fā)，沿邊向點運動，且滿足．設(shè)點的運動時間為（秒），當(dāng)以為圓心，為半徑的圓與相切時，請直接寫出所滿足的等量關(guān)系式．【經(jīng)典例題五利用相似三角形的性質(zhì)求解】1．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在紙片中，，分別在上，連結(jié)，將沿翻折，使點的對應(yīng)點落在的延長線上，若平分，則(

)A． B． C． D．2．（2023上·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期中）將一張三角形彩紙按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊上，記為點F，折痕為．已知，，若以點C，D，F(xiàn)為頂點的三角形與相似，則的長是（）

A． B． C．或4 D．或43．（2011·浙江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，動點從點出發(fā)到點止，動點從點出發(fā)到點止，點的運動速度為，點的運動速度為．若兩點同時出發(fā)，則當(dāng)以點為頂點的三角形與相似時，運動時間為s．4．（2023上·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，點D在邊上．連接，將沿直線翻折，點B落在點E處，交邊于點F．已知，若為直角三角形，則的面積為．5．（2023上·廣西百色·九年級統(tǒng)考期中）在矩形中，E為邊上一點，把沿翻折，使點D恰好落在邊上的點F處．(1)求證：；(2)若，，求的長．【經(jīng)典例題六證明三角形的對應(yīng)線段成比例】1．（2023下·浙江嘉興·九年級?？奸_學(xué)考試）《笛卡爾幾何學(xué)》一書中引入單位線段1來表示線段的乘除．如圖，已知，則，若規(guī)定為單位線段1，則，若規(guī)定為單位線段1，則為（

）

A． B． C． D．2．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）如圖，在中，AC和BC上分別有一點E和點H，過點E和點H分別作BC和AC的平行線交于點D，DE交AB于點G，DH交AB于點F，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B． C． D．3．（2015·山東棗莊·九年級學(xué)業(yè)考試）如圖，在中，若，，，則的長為.

4．（2021·四川自貢·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt中，，，，以點為圓心，2為半徑的圓與交于點，過點作交于點．點是邊上的動點．當(dāng)最小時，的長為．5．（2023·吉林四平·校聯(lián)考三模）在中，，分別為，上一點，，交于點．

(1)設(shè)的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫出的值．【經(jīng)典例題七利用相似求坐標(biāo)】1．（2022·九年級單元測試）平面直角坐標(biāo)系中有一直線，先將其向右平移3個單位得到，再將作關(guān)于x軸的對稱圖形，最后將繞與y軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則直線的解析式為（

）.A． B． C． D．2．（2022·海南·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC在x軸上，頂點A，B的坐標(biāo)分別為（－2，6）和（7，0）．將正方形OCDE沿x軸向右平移，當(dāng)點E落在AB邊上時，平移的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2021春·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為、，連接．動點P從點A開始在折線段上以每秒2個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段上以每秒3個單位長度的速度向點A移動．設(shè)點P、Q移動的時間為t秒，當(dāng)與相似時，點P的坐標(biāo)是．4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸交于點，已知點，，，是線段上一點，連接，若與相似，則的長為．5．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，是軸上一點．

(1)上求作點，使得∽要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；(2)在（1）的條件下，，是的中線，過點的直線交于點，交軸于點，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．【經(jīng)典例題八在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】1．（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格上有個斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，與①相似的三角形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022秋·河南周口·九年級?？计谥校┤鐖D，在5×6的方格紙中，畫有格點△EFG，下列選項中的格點，與E，G兩點構(gòu)成的三角形中和△EFG相似的是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D3．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在邊長相等的正方形網(wǎng)格中，A、B、C為小正方形的頂點，則∠ABC=．4．（2021春·全國·九年級專題練習(xí)）在方格紙中，每個小格的頂點叫做格點，以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形．如圖，請在邊長為1個單位的2×3的方格紙中，找出一個格點三角形DEF．如果△DEF與△ABC相似（相似比不為1），那么△DEF的面積為．5．（2023秋·北京通州·九年級校考階段練習(xí)）在中，

(1)如圖1，P是上的點，過點P作直線截，使截得的三角形與相似．例如：過點P作交于D，則截得的與相似．請你在圖中畫出所有滿足條件的直線．(2)如圖2，Q是上異于點B，C的動點，過點Q作直線截，使截得的三角形與相似，直接寫出滿足條件的直線的條數(shù)．（不要求畫出具體的直線）【經(jīng)典例題九相似三角形——動點問題】1．（2023春·重慶渝中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，D為的中點，若動點E以的速度從A點出發(fā)，沿著A→B的方向運動，設(shè)E點的運動時間為t秒（），連接，當(dāng)以B、D、E為頂點的三角形與相似時，t的值為（

）

A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.52．（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）如圖1，在中，，動點從點出發(fā)，沿折線勻速運動至點停止．點的運動速度為，設(shè)點的運動時間為（），的長度為（），與的函數(shù)圖像如圖2所示．當(dāng)恰好平分時，的長為（

）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇南通·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知矩形，長，寬，P、Q分別是、上運動的兩點．若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿方向運動，則經(jīng)過秒，以P、B、Q為頂點的三角形與相似．

4．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在鈍角中，，，點從點出發(fā)沿以的速度向點移動，點從點出發(fā)沿以的速度向點移動，如果兩點同時移動，經(jīng)過秒時，與相似．

5．（2023秋·福建泉州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，于點D．點P從點D出發(fā)，沿線段向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段向點A運動．兩點同時出發(fā)．速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點都停止．設(shè)運動時間為t秒．

(1)求線段的長；(2)設(shè)的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．【經(jīng)典例題十相似三角形的綜合問題】1．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，矩形，分別以、為邊向內(nèi)作等邊三角形（圖1）；分別以、為邊向內(nèi)作等邊三角形（圖2），兩個等邊三角形的重疊部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為．若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿對角線AC剪開（如圖①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如圖②），當(dāng)兩個三角形重疊部分的面積最大時，移動的距離AA′等于（

）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.23．（2023春·四川達州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，連結(jié)AE，將△ABE沿直線AE翻折得到△AFE，EF與AC相交于點M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，則點F到直線AD的距離為．4．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）在邊長為4的正方形中，E是邊上一動點(不與端點重合)，將沿翻折，點A落在點H處，直線交于點F，連接，，分別與AC交于點P、Q，連接，．則以下結(jié)論中正確的有________

(寫出所有正確結(jié)論的序號)．①；②；③；④為等腰直角三角形；⑤若連接，則的最小值為．5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）【問題探究】課外興趣小組活動時，同學(xué)們正在解決如下問題：如圖1，在矩形中，點，分別是邊，上的點，連接，，且于點，若，，求的值．

(1)請你幫助同學(xué)們解決上述問題，并說明理由．【初步運用】(2)如圖2，在中，，，點為的中點，連接，過點作于點，交于點，求的值．【靈活運用】(3)如圖3，在四邊形中，，，，，點，分別在邊，上，且，垂足為，則__________________．【重難點訓(xùn)練】1．（2023上·浙江紹興·九年級?？计谥校┤鐖D，C是半圓上一點，是直徑，將弓形沿翻折交于點D，若，，則的長為（）A． B． C． D．2．（2023上·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，為坐標(biāo)原點，直角頂點在軸的正半軸上，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過的中點，交于點，連接．若，則直線的解析式為（

）A． B． C． D．3．（2023上·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，是斜邊的中點，是線段延長線上的一點，連接與交于點．給出下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，則．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．（2023上·湖南衡陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，點，分別在邊，上，且，若以，，為頂點的三角形與相似，則的長度為（

）A．3 B． C．或4 D．4或5．（2023上·安徽蚌埠·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點，連結(jié)，，與相交于點F，若，則（

）

A． B． C． D．6．（2023上·山東青島·九年級校考期中）如圖，在中，于點M，于點N，P為邊中點，連接，則下列結(jié)論：①；②；③若，為等邊三角形：④當(dāng)時，．其中正確的是（

）A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④7．（2023上·上海松江·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，則與的面積之比為．

8．（2023上·河南鄭州·九年級?？计谥校┤鐖D，平行四邊形中，點E是邊上一點，若，，的面積是8，則的面積為．

9．（2023上·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知中，D，E分別是邊上的點，，，與的延長線交于點F，，則．10．（2023上·河南許昌·九年級統(tǒng)考期中）如圖，等腰三角形中，，底邊，點O為的中點．將線段繞點O旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，的長為．11．（2023上·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中?？计谥校┤鐖D，在中，．是中線，過點作，垂足為點，與相交于點，若，，則的長是．

12．（2021上·廣東深圳·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，以為腰向正方形內(nèi)部作等腰（），