第04講圓與圓的對(duì)稱性（核心考點(diǎn)講與練）-2022年暑假新九年級(jí)數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)講與練（蘇科版）

第04講圓與圓的對(duì)稱性（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識(shí)】一．圓的認(rèn)識(shí)（1）圓的定義定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱性．②中心對(duì)稱性．二．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．三．垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．五．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．【考點(diǎn)剖析】一．圓的認(rèn)識(shí)（共5小題）1．（2022?興化市模擬）如圖所示，MN為⊙O的弦，∠N＝52°，則∠MON的度數(shù)為（）A．38° B．52° C．76° D．104°【分析】根據(jù)半徑相等得到OM＝ON，則∠M＝∠N＝52°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算∠MON的度數(shù)．【解答】解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝52°，∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．2．（2020秋?東麗區(qū)期末）已知⊙O的半徑是6cm，則⊙O中最長的弦長是（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解．【解答】解：∵圓的直徑為圓中最長的弦，∴⊙O中最長的弦長為12cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．3．（2020秋?白云區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∠BCD＝40°，則∠A＝20°．【分析】由半徑相等得CB＝CD，則∠B＝∠CDB，在根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠B=12（180°﹣∠BCD）＝70°，然后利用互余計(jì)算∠【解答】解：∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB，∵∠B+∠CDB+∠BCD＝180°，∴∠B=12（180°﹣∠BCD）=12（180°﹣40∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝20°．故答案為20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了三角形內(nèi)角和定理．4．（2019秋?宜興市期中）如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點(diǎn)E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度數(shù)．【分析】連接OD，如圖，由AB＝2DE，AB＝2OD得到OD＝DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠DOE＝∠E＝20°，再利用三角形外角性質(zhì)得到∠CDO＝40°，加上∠C＝∠ODC＝40°，然后再利用三角形外角性質(zhì)即可計(jì)算出∠AOC．【解答】解：連接OD，如圖，∵AB＝2DE，而AB＝2OD，∴OD＝DE，∴∠DOE＝∠E＝20°，∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，而OC＝OD，∴∠C＝∠ODC＝40°，∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．5．（2021春?巨野縣期末）已知⊙O的半徑是6cm，則⊙O中最長的弦長是12cm．【分析】利用圓的直徑為圓中最長的弦求解．【解答】解：∵圓的直徑為圓中最長的弦，∴⊙O中最長的弦長為2×6＝12（cm）．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．二．垂徑定理（共3小題）6．（2022?南沙區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑為10，弦AB＝8，P是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，那么OP長的取值范圍是3≤OP≤5．【分析】因?yàn)椤袿的直徑為10，所以半徑為5，則OP的最大值為5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的長，所以，過點(diǎn)O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM＝3，即OP的最小值為3，所以3≤OP≤5．【解答】解：如圖：連接OA，作OM⊥AB與M，∵⊙O的直徑為10，∴半徑為5，∴OP的最大值為5，∵OM⊥AB與M，∴AM＝BM，∵AB＝8，∴AM＝4，在Rt△AOM中，OM=5OM的長即為OP的最小值，∴3≤OP≤5．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是確定OP的最小值，所以求OP的范圍問題又被轉(zhuǎn)化為求弦的弦心距問題，而解決與弦有關(guān)的問題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2＝d2+（a2）27．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若BE＝5，CD＝6，求AE的長．【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出圓的半徑，進(jìn)而求出AE的長即可．【解答】解：如圖，連接OC，∵CD⊥AB，AB是直徑，∴CE＝DE=12在Rt△COE中，設(shè)半徑為r，則OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，OE2+CE2＝OC2，即（5﹣r）2+32＝r2，解得r＝3.4，∴AE＝AB﹣BE＝3.4×2﹣5＝1.8，答：AE的長為1.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理是正確解答的前提．8．（2022?南京一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣4）．【分析】設(shè)圓心為P，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，先根據(jù)垂徑定理可得EA＝EB＝4，F(xiàn)C＝FD，進(jìn)而可求出OE＝2，再設(shè)P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，進(jìn)而可得點(diǎn)D坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)圓心為P，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，則EA＝EB=AB2=4，F(xiàn)C∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），設(shè)P（2，m），則F（0，m），連接PC、PA，在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m=±∴F（0，-1∴CF＝DF=3-∴OD＝OF+DF=1∴D（0，﹣4），故答案為：（0，﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，涉及到平面直角坐標(biāo)系，勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用半徑相等列方程．三．垂徑定理的應(yīng)用（共3小題）9．（2020秋?伊通縣期末）在直徑為200cm的圓柱形油箱內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖（油面在圓心下）：若油面的寬AB＝160cm，則油的最大深度為40cm．【分析】連接OA，過點(diǎn)O作OE⊥AB，交AB于點(diǎn)M，由垂徑定理求出AM的長，再根據(jù)勾股定理求出OM的長，進(jìn)而可得出ME的長．【解答】40cm解：連接OA，過點(diǎn)O作OE⊥AB，交AB于點(diǎn)M，∵直徑為200cm，AB＝160cm，∴OA＝OE＝100cm，AM＝80cm，∴OM=OA2∴ME＝OE﹣OM＝100﹣60＝40cm．故答案為40cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．10．（2021秋?姜堰區(qū)期末）《九章算術(shù)》記載：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？翻譯：現(xiàn)有圓柱形木材，埋在墻壁里（如圖①），不知道其直徑的大小，于是用鋸子（沿橫截面）鋸它（如圖②），當(dāng)量得深度CE為1寸時(shí)，鋸開的寬度AB為1尺，問木材的直徑CD是26寸．（1尺＝10寸）【分析】連接OA，設(shè)⊙O的半徑為x寸，則OE＝（x﹣1）寸，由垂徑定理得AD＝BD=12AB＝5寸，再在Rt△【解答】解：連接OA，如圖：設(shè)⊙O的半徑為x寸，則OE＝（x﹣1）寸，∵OE⊥AB，AB＝10寸，∴AD＝BD=12在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+52，解得：x＝13，∴⊙O的直徑AC＝2x＝26（寸），即木材的直徑CD是26寸，故答案為：26．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．11．（2021?裕華區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C為AB的中點(diǎn)，D為弧AB的中點(diǎn)）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，求橋墩的高度．【分析】（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點(diǎn)，CD⊥AB于C，延長DC經(jīng)過O點(diǎn)，設(shè)⊙O的半徑為R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂徑定理以及勾股定理得出AO的長，再求出EF的長即可．【解答】解：（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點(diǎn)，CD⊥AB于C，延長DC經(jīng)過O點(diǎn)，設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣8）2+162，解得R＝20；（2）OH⊥FE于H，則OH＝CE＝16﹣4＝12，OF′＝R＝20，在Rt△OHF中，HF=2∵HE＝OC＝OD﹣CD＝20﹣8＝12，EF＝HF﹣HE＝16﹣12＝4（米），∴在離橋的一端4米處，橋墩高4米．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形結(jié)合勾股定理得出是解題關(guān)鍵．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共3小題）12．（2021秋?臨邑縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是⊙O上的點(diǎn)，若∠CAB＝25°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．65° B．55° C．60° D．75°【分析】由AB為⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠CAB＝25°，得出∠B的度數(shù)，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等繼而求得∠ADC的度數(shù)．【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝25°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，∴∠ADC＝∠ABC＝65°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）下列說法中，不正確的是（）A．在同圓或等圓中，若兩弧相等，則他們所對(duì)的弦相等 B．在同一個(gè)圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對(duì)的劣弧的度數(shù)為60° C．在同一個(gè)圓中，若兩弧不等，則大弧所對(duì)的圓心角較大 D．若兩弧的度數(shù)相等，則這兩條弧是等弧【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、在同圓或等圓中，若兩弧相等，則他們所對(duì)的弦相等，正確；B、在同一個(gè)圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對(duì)的劣弧的度數(shù)為60°，正確；C、在同一個(gè)圓中，若兩弧不等，則大弧所對(duì)的圓心角較大，正確；D、若兩弧的度數(shù)相等，則這兩條弧不一定是等弧，錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等，注意在同圓和等圓中這個(gè)條件不能忽略．14．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點(diǎn)F，D，G，且D是FG的中點(diǎn)．（1）求證AB＝AC；（2）連接DF，當(dāng)DF∥AC時(shí)，若AB＝10，BC＝12，求CE的長．【分析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠EDA＝90°，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得到∠BAD＝∠CAD，進(jìn)而證明∠B＝∠C，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論；（2）連接DF，DG，證明△AEC∽△DGC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)勾股定理求出DE，進(jìn)而求出CE．【解答】（1）證明：連接AD，∵AE是⊙O的直徑，∴∠EDA＝90°，∵D是FG的中點(diǎn)，∴FD=∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：連接DF，DG．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝10，CD＝6，由勾股定理得：AD=A∵DF∥AC，∴BFFA∴BF＝FA，在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，∴DG＝DF=12∴DG＝DF＝5，∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，∴△AEC∽△DGC，∴ACDC=AE解得：AE=25在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE=253，∴DE=A∴EC＝CD﹣DE=11【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，根據(jù)△AEC∽△DGC求出AE是解題的關(guān)鍵．五．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共3小題）15．（2021秋?沭陽縣期末）若⊙O的直徑為10，點(diǎn)A到圓心O的距離為6，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在圓外 B．點(diǎn)A在圓上 C．點(diǎn)A在圓內(nèi) D．不能確定【分析】根據(jù)題意得⊙O的半徑為5cm，則點(diǎn)A到圓心O的距離小于圓的半徑，則根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷點(diǎn)A在⊙O內(nèi)．【解答】解：∵⊙O的直徑為10，∴⊙O的半徑為5，而圓心O的距離為6，∴點(diǎn)A在⊙O外．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．16．（2022?常州模擬）如圖，A，B，C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點(diǎn)D處建一個(gè)5G基站，其覆蓋半徑為300m，則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理證得△ABC是直角三角形，可以根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得BD的長，然后與300m比較大小，即可解答本題．【解答】解：∵AB＝300cm，BC＝400cm，AC＝500cm，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∵點(diǎn)D是斜邊AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝250cm，BD=12AC＝250∵250＜300，∴點(diǎn)A、B、C都在圓內(nèi)，∴這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是A，B，C．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是求出三角形三個(gè)頂點(diǎn)到D點(diǎn)的距離．17．（2021秋?贛榆區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝25，BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，若以點(diǎn)D為圓心，r為半徑作⊙D，使點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，點(diǎn)C在⊙D外，試求r的取值范圍．【分析】連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，顯然DF∥AE，解直角三角形求出CD，BD即可判斷．【解答】解：連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，顯然DF∥AE，∵AB＝AC＝25，BC＝4，∴BE=12∴AE=A∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，即DF是中位線∴DF=12AE＝2，BF=∴CF＝3，∴CD=D又DB=12AB∴r的取值范圍是5＜r＜【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．

【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2021·江蘇泰州市·）的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在內(nèi) B．點(diǎn)在上 C．點(diǎn)在外 D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得．【詳解】解：，點(diǎn)在外，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（江蘇泰州市·八年級(jí)期中）如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點(diǎn)，且OM最小值為4，⊙O的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】當(dāng)OM⊥AB時(shí)值最?。鶕?jù)垂徑定理和勾股定理求解．【詳解】解：根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的線段中，垂線段最短，知：當(dāng)OM⊥AB時(shí)，為最小值4，連接OA，根據(jù)垂徑定理，得：BM=AB=3，根據(jù)勾股定理，得：OA==5，即⊙O的半徑為5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，主要運(yùn)用了垂徑定理、勾股定理求得半徑．特別注意能夠分析出OM的最小值．3．（2020·射陽縣第二初級(jí)中學(xué)）平面內(nèi)，若⊙O的半徑為3，OP＝2，則點(diǎn)P在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能【答案】A【分析】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；點(diǎn)與圓心的距離d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】∵OP＜3，∴點(diǎn)P在⊙O內(nèi)部．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．解題關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．4．（2020·江蘇宿遷市·八年級(jí)期中）直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的（）A．三角形內(nèi) B．三角形外 C．斜邊的中點(diǎn) D．不能確定【答案】C【分析】垂直平分線的交點(diǎn)是三角形外接圓的圓心，由此可得出此交點(diǎn)在斜邊中點(diǎn)．【詳解】∵直角三角形的外接圓圓心在斜邊中點(diǎn)，∴直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的斜邊中點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外接圓的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.5．（2020·鎮(zhèn)江市江南學(xué)校八年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)是分別為（0,3）、（4,3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．6個(gè)C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三種情況（①若AC＝AB，②若BC＝BA，③若CA＝CB）討論，通過畫圖就可解決問題．【詳解】解：如圖：①若AC＝AB，則以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)；②若BC＝BA，則以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)除外）；③若CA＝CB，則點(diǎn)C在AB的垂直平分線上，∵A（0，3），B（4，3），∴AB∥x軸，∴AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸只有1個(gè)交點(diǎn)．綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有7個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定、圓的定義、垂直平分線的性質(zhì)的逆定理等知識(shí)，還考查了動(dòng)手操作的能力，運(yùn)用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．6．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，根據(jù)垂徑定理即可求得AD的長，又由⊙O的直徑為，求得OA的長，然后根據(jù)勾股定理，即可求得OD的長，進(jìn)而求得油的最大深度的長．【詳解】解：過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，連接OA，由垂徑定理得：，∵⊙O的直徑為，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴油的最大深度為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理的知識(shí)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決．7．（2020·江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，1)、B(0，3)、C(0，1)、D(4，4)，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（）A．10 B．8 C．7 D．9【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足，得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑是2的圓，可得當(dāng)線段過圓心時(shí)，的值最大，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，，三點(diǎn)的坐標(biāo)為：(0，1)，(0，3)，(0，1)，則有：，又∵點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑是2的圓，如圖示，當(dāng)線段過圓心時(shí)，的值最大，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，4)，點(diǎn)的坐標(biāo)是(0，1)，∴，，則：∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，平面坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)的距離，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2020·射陽縣第二初級(jí)中學(xué)）下列說法①直徑是弦；②圓心相同，半徑相同的兩個(gè)圓是同心圓；③兩個(gè)半圓是等?。虎芙?jīng)過圓內(nèi)一定點(diǎn)可以作無數(shù)條直徑．正確的是______填序號(hào)．【答案】①【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).【詳解】解：直徑是弦，但弦不是直徑，故①正確；圓心相同但半徑不同的兩個(gè)圓是同心圓，故②錯(cuò)誤；若兩個(gè)半圓的半徑不等，則這兩個(gè)半圓的弧長不相等，故③錯(cuò)誤；經(jīng)過圓的圓心可以作無數(shù)條的直徑，故④錯(cuò)誤.綜上，正確的只有①.故答案為：①【點(diǎn)睛】本題考查了圓的知識(shí)，了解有關(guān)圓的定義及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，難度不大.9．（2020·江蘇蘇州市·蘇州草橋中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以點(diǎn)為圓心，5為半徑作圓，則該圓與軸分別交于點(diǎn)，則三角形的面積為________．【答案】12【分析】過P點(diǎn)作PH⊥AB于H點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可知：HA=HB，根據(jù)勾股定理求出HB，即可求解．【詳解】解：過P點(diǎn)作PH⊥AB于H點(diǎn)，如下圖所示：根據(jù)垂徑定理可知：HA=HB，且，∴PH=3，，∴AB=2HB=8，∴，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，平面直角坐標(biāo)系等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握垂徑定理及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．10．（2021·江蘇泰州市·）如圖，的直徑，弦，垂足為，，則的長為______．【答案】24【分析】連接，先根據(jù)求出的長，再在中，利用勾股定理可得的長，然后利用垂徑定理即可得．【詳解】解：如圖，連接，的直徑，，，，，，，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．11．（2021·江蘇鹽城市·景山中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，且1≤OP≤2，則弦AB所對(duì)的圓心角的度數(shù)是__________．【答案】【分析】作OD⊥AB，由1≤OP≤2，證得，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出答案即可．【詳解】解：作OD⊥AB，∵P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，且1≤OP≤2，∴OD=1，∵⊙O的半徑是2，∴，∵OA=OB，∴，∴弦AB所對(duì)的圓心角，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形直角邊等于斜邊一半的性質(zhì)，圓的半徑相等的性質(zhì)，等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．12．（2020·揚(yáng)州市江都區(qū)國際學(xué)校八年級(jí)期中）如圖是一個(gè)俱樂部的徽章.徽章的圖案是一個(gè)金色的圓圈，中間是一個(gè)矩形，矩形中間又有一個(gè)藍(lán)色的菱形，徽章的直徑為10cm，則徽章內(nèi)的菱形的邊長為_____cm．【答案】5【分析】連接圓心和矩形鄰邊的兩個(gè)中點(diǎn)，易得一個(gè)矩形，那么菱形的邊長為圓的半徑．【詳解】如圖，連接圓心和矩形鄰邊的兩個(gè)中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，可得過圓心的這兩條線段，分別垂直于矩形的兩邊，則組成的四邊形是矩形，因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以徽章內(nèi)的菱形的邊長等于半徑的長，即5cm．故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查垂徑定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難點(diǎn)是作出輔助線，構(gòu)造出矩形．13．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，AB為的直徑，弦于點(diǎn)H，若，，則OH的長度為__．【答案】3【分析】連接OC，由垂徑定理可求出CH的長度，在Rt△OCH中，根據(jù)CH和⊙O的半徑，即可由勾股定理求出OH的長．【詳解】連接OC，Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；由勾股定理，得：OH=；即線段OH的長為3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了勾股定理．14．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）已知⊙O的半徑為13cm，弦AB的長為10cm，則圓心O到AB的距離為_____cm．【答案】12【分析】如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理計(jì)算OC的長即可．【詳解】解：如圖，作OC⊥AB于C，連接OA，則AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圓心O到AB的距離為12cm．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?5．（2017·江蘇鹽城市·東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是________【答案】2+2試題解析：如圖，取CA的中點(diǎn)D，連接OD、BD，則OD=CD=AC=×4=2，由勾股定理得，BD=，所以，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是2+2．16．（2019·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)八年級(jí)期末）已知以點(diǎn)C（a，b）為圓心，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－a）2＋（y－b）2＝r2.例如：以A（2，3）為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－2）2＋（y－3）2＝4，則以原點(diǎn)為圓心，過點(diǎn)P（1，0）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____.【答案】x2＋y2＝1【詳解】因?yàn)樵c(diǎn)為圓心,過點(diǎn)P（1,0）的圓即是以（0,0）半徑為1的圓,則標(biāo)準(zhǔn)方程為:（x－0）2＋（y－0）2＝1,即x2＋y2＝1,故答案為:x2＋y2＝1.17．（2019·江蘇揚(yáng)州市·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B/CP，連接B/A，B/A長度的最小值是m，B/A長度的最大值是n，則m+n的值等于______.【答案】16【分析】先判斷出長度的最大值與長度的最小值相應(yīng)的位置，然后進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】如圖，以C點(diǎn)為圓心，BC長為半徑畫圓，交AC于N點(diǎn)，延長AC交圓于M點(diǎn)，∵點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，△BCP沿CP所在的直線翻折得到△，∴點(diǎn)B落在以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓上，∴CM=CN=BC=6，∵圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離最大和最小的點(diǎn)是圓外一點(diǎn)過圓心的直線與圓的交點(diǎn)，∴長度的最小值m=AN=ACCN=86=2，且長度的最大值n=AM=AC+CM=8+6=14，∴m+n=16，所以答案為16.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形動(dòng)點(diǎn)問題與圓的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.18．（2021·江蘇八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，由AB=AC即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵A(8，0)，B(0，6)，∴OA=8，OB=6，∴，∴AC=AB=10，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：810=2，縱坐標(biāo)為：0，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，0)，故答案為(2，0)．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、同圓半徑相等和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出OC的長，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．19．（2021·江蘇鹽城市·）如圖，在矩形紙片ABCD中，邊AB=12，AD=5，點(diǎn)P為DC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D，C重合，將紙片沿AP折疊，則CD′的最小值為___．【答案】8【分析】先分析出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以A為圓心，5為半徑的圓弧，要求的最小值，只要求出點(diǎn)C到圓心的距離再減去半徑即可．【詳解】解：∵折疊，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以A為圓心，5為半徑的圓弧，∵，，∴由勾股定理得，∴．故答案是：8．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊，線段最值的求解，解題的關(guān)鍵是分析出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最短距離的求解方法進(jìn)行求解．三、解答題20．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）已知四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，判斷E、F、G、H四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上，如果在同一圓上，找到圓心，并證明四點(diǎn)共圓；如果不在，說明理由．【答案】點(diǎn)E、F、G、H四點(diǎn)是以AC，BD的交點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上，證明見解析.【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直，以及直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出E、F、G、H到O點(diǎn)距離都等于定長即可.【詳解】解：如圖，連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接OE，OF，OG，OH，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴OE＝AB，同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴點(diǎn)E、F、G、H四點(diǎn)是以AC，BD的交點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四點(diǎn)共圓的條件，用到了菱形的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.21．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，求弦BD的長【答案】2【分析】作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中利用30度性質(zhì)即可求出BE，再根據(jù)垂徑定理可以求出BD.【詳解】解：如圖，作CE⊥AB于E．∵∠B=180°∠A∠ACB=180°20°130°=30°，在Rt△BCE中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，∴CE=BC=1，BE=CE=，∵CE⊥BD，∴DE=EB，∴BD=2EB=2.【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理添加輔助線，記住直角三角形30度角性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型.22．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，求線段AE的長．【答案】2【分析】連接OC，利用直徑AB=10，則OC=OA=5，再由CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得CE=DE=CD=4，然后利用勾股定理計(jì)算出OE，再利用AE=OAOE進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】連接OC，如圖，∵AB是⊙O的直徑，AB＝10，∴OC＝OA＝5，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，∴OE＝＝3，∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，掌握垂徑定理及勾股定理是關(guān)鍵．23．（2019·江蘇揚(yáng)州市·八年級(jí)期中）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)A為一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為兩個(gè)定點(diǎn)，且BC=a，AB=b.（a>b）填空：當(dāng)點(diǎn)A位于______時(shí)，線段AC的長取得最小值，且最小值為______(用含a，b的式子表示)（2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE.①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；②直接寫出線段BE長的最小值.③如圖3所示，分別以AB，AC為邊，作正方形ADEB和正方形ACFG，連接CD，BG.圖中線段CD，BG的關(guān)系是____________，線段BG的最大值是__________.【答案】（1）線段BC上，ab；（2）①BE=CD，證明見解析；②2；③相等且垂直，.【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A為一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，可得當(dāng)點(diǎn)A