專題15基本作圖能力問題

決勝2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘（）專題15基本作圖能力問題1．（2019?湖州）在數(shù)學(xué)拓展課上，小明發(fā)現(xiàn)：若一條直線經(jīng)過平行四邊形對角線的交點，則這條直線平分該平行四邊形的面積．如圖是由5個邊長為1的小正方形拼成的圖形，P是其中4個小正方形的公共頂點，小強在小明的啟發(fā)下，將該圖形沿著過點P的某條直線剪一刀，把它剪成了面積相等的兩部分，則剪痕的長度是（）A．22 B．5 C．352 D【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)即可作出剪痕，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可證得PM＝AB，利用勾股定理即可求得．【解析】如圖，經(jīng)過P、Q的直線則把它剪成了面積相等的兩部分，由圖形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，∴AM＝PB，∴PM＝AB，∵PM=3∴AB=10故選：D．2．（2019?舟山）在6×6的方格紙中，點A，B，C都在格點上，按要求畫圖：（1）在圖1中找一個格點D，使以點A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形．（2）在圖2中僅用無刻度的直尺，把線段AB三等分（保留畫圖痕跡，不寫畫法）．【分析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'=5，BD＝AC＝BD''=13，AD'＝BC＝AD''（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理畫出圖形即可．【解析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'=5，BD＝AC＝BD''=AD'＝BC＝AD''=10畫出圖形如圖1所示；（2）如圖2所示．3．（2019?衢州）如圖，在4×4的方格子中，△ABC的三個頂點都在格點上．（1）在圖1中畫出線段CD，使CD⊥CB，其中D是格點．（2）在圖2中畫出平行四邊形ABEC，其中E是格點．【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．（2）根據(jù)平行四邊形的判定即可解決問題．【解析】（1）線段CD即為所求．（2）平行四邊形ABEC即為所求．4．（2019?溫州）如圖，在7×5的方格紙ABCD中，請按要求畫圖，且所畫格點三角形與格點四邊形的頂點均不與點A，B，C，D重合．（1）在圖1中畫一個格點△EFG，使點E，F(xiàn)，G分別落在邊AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．（2）在圖2中畫一個格點四邊形MNPQ，使點M，N，P，Q分別落在邊AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想構(gòu)造全等三角形或等腰直角三角形解決問題即可．（2）如圖3中，構(gòu)造矩形即可解決問題．如圖4中，構(gòu)造MP＝NQ＝52即可．【解析】（1）滿足條件的△EFG，如圖1，2所示．（2）滿足條件的四邊形MNPQ如圖所示．5．（2019?金華）如圖，在7×6的方格中，△ABC的頂點均在格點上．試按要求畫出線段EF（E，F(xiàn)均為格點），各畫出一條即可．【分析】圖1，從圖中可得到AC邊的中點在格點上設(shè)為E，過E作AB的平行線即可在格點上找到F；圖2，EC=5，EF=5，F(xiàn)C=10，借助勾股定理確定F【解析】如圖：1．（2020?寧波模擬）如圖1是五個小正方形拼成的圖形，請你移動其中一個小正方形，重新拼一個圖形，使得所拼成的新圖形：（1）是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．（2）既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．（請將兩個小題依次作答在圖①、②中，均只需畫出符合條件的一種情形，內(nèi)部涂上陰影）【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，即可畫出是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；（2）根據(jù)軸對稱和中心對稱的性質(zhì)即可畫出既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【解析】（1）如圖1，陰影部分是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．（2）如圖2，陰影部分既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．2．（2020?溫州模擬）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長都為1，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上．（1）以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1，畫出△AB1C1．（2）畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A2B2C2，若點C的坐標為（﹣4，﹣1），則點C2的坐標為（4，1）．【分析】（1）讓三角形的各頂點都繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到對應(yīng)點，順次連接即可；（2）根據(jù)△ABC的各頂點關(guān)于原點的中心對稱，得出A2、B2、C2的坐標，連接各點，即可得到結(jié)論．【解析】（1）所畫圖形如下所示，△A1B1C1即為所求；（2）所畫圖形如下所示，△AB2C2即為所求．點C2的坐標為（4，1），故答案為：（4，1）．3．（2019?寧波模擬）在7×9的方格紙中，△ABC的三個頂點都在格點上．（1）在圖①中畫出△ABC以直線AC為對稱軸的軸對稱圖形；（2）將圖②中的△ABC繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的三角形．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可在圖①中畫出△ABC以直線AC為對稱軸的軸對稱圖形；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可將圖②中的△ABC繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的三角形．【解析】（1）如圖①，△AB′C即為所求作的圖形；（2）如圖②，△AB′C′即為旋轉(zhuǎn)后的三角形．4．（2020?寧波模擬）小軍是這樣完成“過直線AB上的點O作直線AB的垂線OP”這項任務(wù)的．“如圖，①以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點M，N；②分別以M，N為圓心，大于OM的長為半徑在直線AB同側(cè)作弧，交于點P；③作直線OP，則OP⊥AB．你認為小軍的作法正確嗎？如果正確，請你給出證明；如果不正確，請指出錯在哪里．【分析】根據(jù)“過直線AB上的點O作直線AB的垂線OP”的尺規(guī)作圖過程即可判斷．【解析】小軍的作法錯誤，錯誤在：大于OM的長為半徑在直線AB同側(cè)作弧，應(yīng)該是：大于12OM的長為半徑在直線AB證明：如圖，連接PM，PN，根據(jù)作圖過程可知：OM＝ON，PM＝PN，又PO＝PO，∴△PMO≌△PNO（SSS），∴∠POM＝∠PON，∵∠POM+∠PON＝180°，∴∠POM＝∠PON＝90°，∴PO⊥AB．5．（2020?寧波模擬）如圖，在6×6的菱形網(wǎng)格中，每個銳角都是60°，已有一條線段AD，其中點A，D在格點上，請分別按下列要求作△ABC（作出一個即可，B，C在格點上），使AD成為△ABC的中線．（1）在圖1中，使△ABC為等腰三角形（非等邊）；（2）在圖2中，使△ABC為等邊三角形；（3）在圖3中，使△ABC為鈍角三角形．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)鈍角三角形的定義即可得到結(jié)論．【解析】（1）在圖1中，△ABC即為所求；（2）在圖2中，△ABC即為所求；（3）在圖3中，△ABC即為所求．6．（2020?永嘉縣模擬）如圖，在6×6的方格紙中，A，B，C均為格點，按要求畫圖：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的畫圖痕跡；③標注相關(guān)字母．（1）作CD⊥AB，使得D為格點．（2）在AB上取一點E，使得∠AEC＝45°．【分析】（1）取格點D，連接CD即可．（2）取格點M，N，連接MN交AB于點E，連接EC，點E即為所求．【解析】（1）如圖，線段CD即為所求．（2）如圖，點E即為所求．7．（2020?東陽市模擬）如圖是6×6的方格紙，點A、B、C都在格點上，按要求畫圖：（1）在圖1中找到一個格點D，使以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形；（2）在圖2中僅用無刻度直尺，在線段AC取一點P，使得AP=14【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定方法解決問題即可（有三種情形）．（2）利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【解析】（1）如圖，點D，D′，D″即為所求．（2）如圖，取格點M，N，連接MN交AC于點P，點P即為所求．8．（2020?永康市一模）如圖，在8×4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都是格點（小正方形的頂點），完成下列畫圖．（1）畫出△ABC的重心P．（2）在已知網(wǎng)格中找出所有格點D，使點D與△ABC的其中兩個頂點構(gòu)成的三角形的面積與△ABC的面積相等．【分析】（1）重心是三角形的中線的交點，作△ABCD的中線CE，BF交于點P，點P即為所求．（2）根據(jù)等高模型解決問題即可．【解析】（1）如圖1中，點P即為所求．（2）如圖2中，點D，D′，D″即為所求．9．（2020?溫州一模）如圖，在5×5的方格紙中，點A，B均在格點上，請按要求畫圖．（1）在圖1中畫個面積為2的格點△ABC．（2）在圖2中畫一個格點Rt△ADE，使AB是△ADE的中線．【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．（2）根據(jù)三角形的中線的定義畫出圖形即可．【解析】（1）如圖1中，△ABC即為所求（答案不唯一）．（2）如圖2中，△ADE即為所求（答案不唯一）．10．（2020?黃巖區(qū)模擬）如圖，點A、B、C是方格紙中的格點，請用無刻度的直尺作圖．（1）在圖1中畫出一個以A、B、C、D為頂點的平行四邊形；（2）在圖2中過點C作出AB的垂線．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格即可在圖1中畫出一個以A、B、C、D為頂點的平行四邊形；（2）根據(jù)網(wǎng)格即可在圖2中過點C作出AB的垂線．【解析】（1）如圖1，四邊形ABCD即為所求；（2）如圖2，CD即為所求．11．（2020?永嘉縣模擬）如圖，A，B，C是方格紙中的格點，請按要求作圖．（1）在圖1中畫出一個以A，B，C，D為頂點的格點平行四邊形．（2）在圖2中畫出一個格點P，使得∠BPC=12∠【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的定義，畫出圖形即可（答案不唯一）．（2）利用輔助圓結(jié)合圓周角定理畫出圖形即可（答案不唯一）．【解析】（1）如圖1中，平行四邊形ABCD，平行四邊形ADBC即為所求．（2）如圖2中，點P即為所求．12．（2020?瑞安市一模）6×6的方格圖中，按要求作格點三角形ABC．（1）在圖1中，作等腰直角△ABC，使得∠BAC＝45°；（畫出一個即可）（2）在圖2中，作平行四邊形ABCD，使得∠BAD＝45°．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形即可．（2）根據(jù)平行四邊形的定義，利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形即可．【解析】（1）如圖1中，△ABC即為所求．（2）如圖2中，13．（2020?樂清市一模）如圖，點A，B，C是5×5的方格紙中的三個格點，按下列要求作出格點四邊形（頂點在格點上）．（1）在圖1中畫出一個以A，C為頂點的菱形，使點B在該圖形內(nèi)部（不包括在邊界上）．（2）在圖2中畫出一個以A，C為頂點的平行四邊形，使該圖形的一邊所在直線與AB夾角為45°．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格即可在圖1中畫出一個以A，C為頂點的菱形，使點B在該圖形內(nèi)部；（2）根據(jù)網(wǎng)格即可在圖2中畫出一個以A，C為頂點的平行四邊形，使該圖形的一邊所在直線與AB夾角為45°．【解析】（1）如圖1，即為以A，C為頂點的菱形；（2）如圖2，即為以A，C為頂點的平行四邊形．14．（2020?龍灣區(qū)一模）如圖，在5×5的方格紙中，△ABC的頂點都在格點上．請按要求畫圖：①僅用無刻度直尺，且不能用直尺中的直角：②保留畫圖痕跡（1）在圖1中畫出AC邊上的中線BD；（2）在圖2中找出到點A，B，C距離相等的點E．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格即可在圖1中畫出AC邊上的中線BD；（2）根據(jù)網(wǎng)格在圖2中找出到點A，B，C距離相等的點E．【解析】如圖，（1）在圖1的中線BD即為所求；（2）在圖2中點E即為所求．15．（2020?溫州模擬）如圖，在6×6的方格紙中，△ABC的頂點均在格點上，請按要求作圖．（1）在圖1中畫一個格點四邊形ABCD，使它的面積是△ABC的2倍．（2）在圖2中畫一個格點四邊形ABCE，使AB，BC，CE，AE的中點構(gòu)成一個矩形．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格即可在圖1中畫一個格點四邊形ABCD，使它的面積是△ABC的2倍；（2）根據(jù)網(wǎng)格先畫AC的垂線，即可在圖2中畫一個格點四邊形ABCE，使AB，BC，CE，AE的中點構(gòu)成一個矩形．【解析】如圖，（1）在圖1中四邊形ABCD即為所求；（2）在圖2中四邊形ABCE即為所求．16．（2020?甌海區(qū)二模）如圖，在8×6的方格紙ABCD中，AB＝6，每個小方格紙的頂點為格點，請按要求畫出格點多邊形，且所畫格點多邊形的頂點均不與點A，B，C，D重合．（1）在圖1中畫一個格點三角形EFG，使得點E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，AD上，且∠EFG＝90°，（2）在圖2中畫一個四邊形EFGH，使點F為邊BC的中點，E，G，H分別落在邊AB，CD，DA上，且EG⊥FH，∠AEG≠90°．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格即可畫一個格點三角形EFG，使得點E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，AD上，且∠EFG＝90°；（2）根據(jù)網(wǎng)格即可畫一個四邊形EFGH，使點F為邊BC的中點，E，G，H分別落在邊AB，CD，DA上，且EG⊥FH，∠AEG≠90°．【解析】（1）△EFG即為所求，如圖1所示．（2）四邊形EFGH即為所求，如圖2所示．17．（2020?余姚市模擬）圖1，圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，△ABC為格點三角形．請僅用無刻度直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖．（1）在圖1中，畫出△ABC中AB邊上的中線CM；（2）在圖2中，畫出∠APC，使∠APC＝∠ABC，且點P是格點（畫出一個即可）．【分析】（1）根據(jù)三角形中線的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【解析】（1）如圖所示，線段CM即為所求．（2）如圖所示，點P即為所求．18．（2020?鄞州區(qū)模擬）如圖，在4×5的方格中，點A，B，C為格點．（1）利用無刻度的直尺在圖1中畫△ABC的中線BE和重心G；（2）在圖2中標注△ABC的外心O并畫出外接圓及切線CP．【分析】（1）根據(jù)中線的概念作圖；（2）根據(jù)線段垂直平分線的定義作圖．【解析】（1）如圖所示，BE和點G即為所求；（2