山東省濟(jì)寧市2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題含答案

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）A.至少有一個(gè)白球與都是紅球 B.恰好有一個(gè)白球與都是紅球C.至少有一個(gè)白球與都是白球 D.至少有一個(gè)白球與至少一個(gè)紅球【答案】B【解析】【分析】列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可.【詳解】解：對(duì)于A，事件：“至少有一個(gè)白球”與事件：“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但是對(duì)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件：“恰好有一個(gè)白球”與事件：“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋內(nèi)任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是白球，所以兩個(gè)事件互斥而不對(duì)立，故B正確；對(duì)于C，事件：“至少有一個(gè)白球”與事件：“都是白球”可以同時(shí)發(fā)生，所以這兩個(gè)事件不是互斥的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，事件：“至少有一個(gè)白球”與事件：“至少一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，即“一個(gè)白球，一個(gè)紅球”，所以這兩個(gè)事件不是互斥的，故D錯(cuò)誤.故選：B.2.若兩條平行直線與之間的距離是，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩直線平行可求出的值，利用平行線間的距離公式可求出的值，即可得出的值.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，則，且這兩條直線間的距離為，解得，故.故選：A.3.如圖，二面角的度數(shù)為，其棱上有兩點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，則線段的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，，，，，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得線段的長(zhǎng).【詳解】由題意可知，，，，，，則，因?yàn)?，所以，，因此?故選：D.4.已知平面的一個(gè)法向量為，其中，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.【詳解】由題意可得：，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：C.5.在正四棱錐中，為頂點(diǎn)S在底面內(nèi)的射影，為側(cè)棱的中點(diǎn)，且，則直線與平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解．【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，，,設(shè)平面PAC一個(gè)法向量為，則，令，則，可得，則，設(shè)直線BC與平面PAC的夾角為，可得直線BC與平面PAC的夾角的正弦值為，所以直線BC與平面PAC的夾角的余弦值.故選：C6.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立【答案】B【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷【詳解】，故選：B【點(diǎn)睛】判斷事件是否獨(dú)立，先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，再判斷是否成立

7.已知圓的方程為，直線，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離最小時(shí)，切線的長(zhǎng)度最小，此時(shí)四邊形的面積最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為直徑的圓的方程，兩圓相減得到直線的方程.【詳解】由圓的方程為可知圓心，半徑，點(diǎn)到圓心的距離最小時(shí)，切線的長(zhǎng)度最小，此時(shí)四邊形的面積最小，所以，，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，以為直徑，以中點(diǎn)為圓心的圓方程為，兩圓方程相減可得直線的方程，故選：D8.在棱長(zhǎng)為的正方體中，是正方體外接球的直徑，點(diǎn)是正方體表面上的一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)正方體的外接球的球心為，球的半徑為，分析可得，求出的取值范圍，即可得出的取值范圍.【詳解】設(shè)正方體的外接球的球心為，球的半徑為，則，可得，所以，又，當(dāng)為正方體某個(gè)面的中心時(shí)，取最小值；當(dāng)與正方體的頂點(diǎn)重合時(shí)，取最大值.則，所以.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.已知直線過點(diǎn)，且在，軸上截距相等，則直線的方程為B.直線的傾斜角為120°C.，，“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件D.若直線沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來的位置，則該直線的斜率為【答案】BCD【解析】【分析】考慮直線截距為0時(shí)可以判斷A；先求出斜率，進(jìn)而求出傾斜角，然后判斷B；先求出直線與直線垂直的等價(jià)結(jié)論，進(jìn)而判斷C；設(shè)出原直線方程，再求出平移后的直線方程，進(jìn)而通過兩條直線重合求出答案，進(jìn)而判斷D.【詳解】對(duì)A，若直線過原點(diǎn)，則方程為：，A錯(cuò)誤；對(duì)B，直線斜率：，則傾斜角為120°，B正確；對(duì)C，直線與直線垂直，等價(jià)于或a=3，C正確；對(duì)D，若直線斜率不存，設(shè)直線，它沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到：，不與原來重合，舍去；若直線斜率存在，設(shè)直線，它沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到：，因?yàn)樗氐皆瓉淼奈恢?，所以，D正確.故選：BCD10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.已知兩個(gè)向量，且，則B.已知，則在上的投影向量為C.設(shè)是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底D.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線的知識(shí)判斷A；根據(jù)投影向量計(jì)算公式判斷B；根據(jù)空間向量共面的知識(shí)判斷C和D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，解得，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，，所以在上的投影向量為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)是空間中的一組基底，則不共面，假設(shè)共面，則，顯然無解，所以不共面，則也是空間的一組基底，故C正確；對(duì)于D，，但，則四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.下列說法正確的是（）A.圓與圓的公共弦長(zhǎng)為B.過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為C.圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱D.圓心為，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是【答案】AC【解析】【分析】求出兩圓公共弦所在直線方程，再求出弦長(zhǎng)判斷A；由直線與圓相切判斷B；求出兩圓連心線的中垂線方程判斷C；求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷D.【詳解】對(duì)于A，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，即兩圓相交，把兩個(gè)圓的方程相減得公共弦所在直線方程，點(diǎn)到此直線距離，因此公共弦長(zhǎng)為，A正確；對(duì)于B，直線過點(diǎn)，且與相切，即切線的方程可以為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓的圓心，圓的圓心，顯然這兩個(gè)圓是等圓，則它們關(guān)于線段的中垂線對(duì)稱，而線段的中點(diǎn)，直線的斜率為，于是線段的中垂線方程為，即，C正確；對(duì)于D，圓心為，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，D錯(cuò)誤.故選：AC12.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．

三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.假如，，且與相互獨(dú)立，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出，再借助全概率公式即可計(jì)算作答.【詳解】因與相互獨(dú)立，且，，則，所以.故答案為：14.直線經(jīng)過點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量為，若直線與軸交于點(diǎn)，則______.【答案】##【解析】【分析】利用方向向量可得斜率為，求得直線的方程代入點(diǎn)可得.【詳解】由的一個(gè)方向向量為可得直線斜率為，所以直線的方程為，即，將代入直線方程可得，可得.故答案為：15.寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.

16.如圖，在直三棱柱中，，、分別是線段、上的點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足平面，且、不是三棱柱的頂點(diǎn)，則長(zhǎng)的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)平行、垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示，和空間距離的坐標(biāo)表示求解.【詳解】如圖，由已知，，兩兩互相垂直，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，設(shè)，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，，因?yàn)槠矫妫?,又，，可得，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為.故答案為:.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè).（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先把表示出來，然后由點(diǎn)E為的中點(diǎn)得，化簡(jiǎn)即得結(jié)果；（2）把、用表示，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合已知條件即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以.【小問2詳解】因?yàn)椋?，所?18.袋中有7只大小形狀相同顏色不全相同的小貓擺件，分別為黑貓、白貓、紅貓，某同學(xué)從中任意取一只小貓擺件，得到黑貓或白貓的概率是，得到白貓或紅貓的概率是，試求：（1）某同學(xué)從中任取一只小貓擺件，得到黑貓、白貓、紅貓的概率各是多少？（2）某同學(xué)從中任取兩只小貓擺件，得到的兩只小貓顏色不相同的概率是多少？【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）從中任取一只小貓擺件，分別記得到黑貓、白貓、紅貓為事件，由已知列出的方程組即可得解；（2）求出從只小貓擺件中取出兩只小貓擺件的基本事件總數(shù)，再求出兩只小貓顏色相同的基本事件總數(shù)，從而利用古典概型與對(duì)立事件的概率公式即可得解.【小問1詳解】從中任取一只小貓擺件，分別記得到黑貓、白貓、紅貓為事件，由于為互斥事件，所以由題意得，，解得，所以任取一只小貓擺件，得到黑貓、白貓、紅貓的概率分別是，，.【小問2詳解】由（1）知黑貓、白貓、紅貓擺件的個(gè)數(shù)別為，記黑貓擺件為，白貓擺件為，紅貓擺件為，則從只小貓擺件中取出兩只小貓擺件的基本事件有：，，，，，共有件，其中兩只擺件是黑貓的基本事件有：，共3件，兩只白貓的基本事件有：，共1件，兩只紅貓的基本事件有：，共1件，于是兩只小貓擺件同色的概率為，則兩只小貓擺件顏色不相同的概率是.19.已知圓，直線（）恒過定點(diǎn).（1）求定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線被圓截得弦長(zhǎng)最短時(shí)的值、直線的方程以及最短弦長(zhǎng).【答案】（1）（2），，【解析】【分析】（1）由直線l的方程變形為，聯(lián)立即可求得直線恒過的定點(diǎn)；（2）要使直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短，則，化圓C的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，得到，再由兩直線垂直與斜率的關(guān)系列式求解m值及弦長(zhǎng).【小問1詳解】直線的方程整理得，該方程對(duì)于任意實(shí)數(shù)成立，則，解得，所以直線恒過定點(diǎn).【小問2詳解】因?yàn)橹本€恒經(jīng)過圓內(nèi)的定點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于時(shí)被截得的弦長(zhǎng)最短.由，可知，所以當(dāng)直線被圓截得的弦最短時(shí)，直線的斜率為2，于是有，解得，此時(shí)直線的方程為，即，又因?yàn)?，所以最短弦長(zhǎng)為.20.甲，乙兩人進(jìn)行游戲比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分先達(dá)到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為，負(fù)的概率為，且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．（1）求第三局結(jié)束時(shí)甲獲勝的概率；（2）求乙最終以分獲勝的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)甲來說共有兩種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）,根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.（2）以比賽結(jié)束時(shí)的場(chǎng)數(shù)進(jìn)行分類，在每一類中根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.【小問1詳解】設(shè)事件為“第三局結(jié)束甲獲勝”，由題意知，甲每局獲勝的概率為，不獲勝的概率為．若第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．故.【小問2詳解】由題知，每局比賽中，乙獲勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，設(shè)事件為“乙最終以分獲勝”．若第二局結(jié)束乙獲勝，則乙兩局連勝，此時(shí)的概率．若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．此時(shí)的概率．若第四局結(jié)束乙以分獲勝，則乙第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負(fù)，總共有9種情況：（勝，平，平，勝），（平，勝，平，勝），（平，平，勝，勝），（勝，平，負(fù)，勝），（勝，負(fù)，平，勝），（平，勝，負(fù)，勝），（負(fù)，勝，平，勝），（平，負(fù)，勝，勝），（負(fù)，平，勝，勝）．此時(shí)的概率故.21.如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．【答案】（1）證明見解析；（2）1【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.【小問2詳解】設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡(jiǎn)可得，，解得或，或，.22.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草