山東省濟寧市2023-2024學年第一學期期中質量檢測高二數學試題含答案

2023-2024學年第一學期期中質量檢測高二數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個白球與都是紅球 B.恰好有一個白球與都是紅球C.至少有一個白球與都是白球 D.至少有一個白球與至少一個紅球【答案】B【解析】【分析】列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.【詳解】解：對于A，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是對立，故A錯誤；對于B，事件：“恰好有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但從口袋內任取兩個球時還有可能是兩個都是白球，所以兩個事件互斥而不對立，故B正確；對于C，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是白球”可以同時發(fā)生，所以這兩個事件不是互斥的，故C錯誤；對于D，事件：“至少有一個白球”與事件：“至少一個紅球”可以同時發(fā)生，即“一個白球，一個紅球”，所以這兩個事件不是互斥的，故D錯誤.故選：B.2.若兩條平行直線與之間的距離是，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩直線平行可求出的值，利用平行線間的距離公式可求出的值，即可得出的值.【詳解】因為直線與平行，則，且這兩條直線間的距離為，解得，故.故選：A.3.如圖，二面角的度數為，其棱上有兩點、，線段、分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱，若，，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，，，，，利用空間向量數量積的運算性質可求得線段的長.【詳解】由題意可知，，，，，，則，因為，所以，，因此，.故選：D.4.已知平面的一個法向量為，其中，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量求點到面的距離.【詳解】由題意可得：，所以點到平面的距離為.故選：C.5.在正四棱錐中，為頂點S在底面內的射影，為側棱的中點，且，則直線與平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以O為坐標原點，以OA為x軸，以OB為y軸，以OS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求解．【詳解】如圖，以O為坐標原點，以OA為x軸，以OB為y軸，以OS為z軸，建立空間直角坐標系，設，則，則，，,設平面PAC一個法向量為，則，令，則，可得，則，設直線BC與平面PAC的夾角為，可得直線BC與平面PAC的夾角的正弦值為，所以直線BC與平面PAC的夾角的余弦值.故選：C6.有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立【答案】B【解析】【分析】根據獨立事件概率關系逐一判斷【詳解】，故選：B【點睛】判斷事件是否獨立，先計算對應概率，再判斷是否成立

7.已知圓的方程為，直線，點是直線上的一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，當四邊形的面積最小時，直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得當點到圓心的距離最小時，切線的長度最小，此時四邊形的面積最小，求出點的坐標，以為直徑的圓的方程，兩圓相減得到直線的方程.【詳解】由圓的方程為可知圓心，半徑，點到圓心的距離最小時，切線的長度最小，此時四邊形的面積最小，所以，，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，以為直徑，以中點為圓心的圓方程為，兩圓方程相減可得直線的方程，故選：D8.在棱長為的正方體中，是正方體外接球的直徑，點是正方體表面上的一點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設正方體的外接球的球心為，球的半徑為，分析可得，求出的取值范圍，即可得出的取值范圍.【詳解】設正方體的外接球的球心為，球的半徑為，則，可得，所以，又，當為正方體某個面的中心時，取最小值；當與正方體的頂點重合時，取最大值.則，所以.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.已知直線過點，且在，軸上截距相等，則直線的方程為B.直線的傾斜角為120°C.，，“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件D.若直線沿軸向左平移3個單位長度，再沿軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線的斜率為【答案】BCD【解析】【分析】考慮直線截距為0時可以判斷A；先求出斜率，進而求出傾斜角，然后判斷B；先求出直線與直線垂直的等價結論，進而判斷C；設出原直線方程，再求出平移后的直線方程，進而通過兩條直線重合求出答案，進而判斷D.【詳解】對A，若直線過原點，則方程為：，A錯誤；對B，直線斜率：，則傾斜角為120°，B正確；對C，直線與直線垂直，等價于或a=3，C正確；對D，若直線斜率不存，設直線，它沿軸向左平移3個單位長度，再沿軸向上平移2個單位長度后得到：，不與原來重合，舍去；若直線斜率存在，設直線，它沿軸向左平移3個單位長度，再沿軸向上平移2個單位長度后得到：，因為它回到原來的位置，所以，D正確.故選：BCD10.關于空間向量，以下說法正確的是（）A.已知兩個向量，且，則B.已知，則在上的投影向量為C.設是空間的一個基底，則也是空間的一個基底D.若對空間中任意一點，有，則四點共面【答案】ABC【解析】【分析】根據空間向量共線的知識判斷A；根據投影向量計算公式判斷B；根據空間向量共面的知識判斷C和D.【詳解】對于A，因為，所以，因為，所以，解得，所以，故A正確；對于B，因為，所以，，所以在上的投影向量為，故B正確；對于C，設是空間中的一組基底，則不共面，假設共面，則，顯然無解，所以不共面，則也是空間的一組基底，故C正確；對于D，，但，則四點不共面，故D錯誤.故選：ABC.11.下列說法正確的是（）A.圓與圓的公共弦長為B.過點作圓的切線，則切線的方程為C.圓與圓關于直線對稱D.圓心為，半徑為5的圓的標準方程是【答案】AC【解析】【分析】求出兩圓公共弦所在直線方程，再求出弦長判斷A；由直線與圓相切判斷B；求出兩圓連心線的中垂線方程判斷C；求出圓的標準方程判斷D.【詳解】對于A，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，即兩圓相交，把兩個圓的方程相減得公共弦所在直線方程，點到此直線距離，因此公共弦長為，A正確；對于B，直線過點，且與相切，即切線的方程可以為，B錯誤；對于C，圓的圓心，圓的圓心，顯然這兩個圓是等圓，則它們關于線段的中垂線對稱，而線段的中點，直線的斜率為，于是線段的中垂線方程為，即，C正確；對于D，圓心為，半徑為5的圓的標準方程是，D錯誤.故選：AC12.在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（）A.當時，的周長為定值B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【解析】【分析】對于A，由于等價向量關系，聯(lián)系到一個三角形內，進而確定點的坐標；對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內，確定路線，進而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數；對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數．【詳解】易知，點在矩形內部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．【點睛】本題主要考查向量的等價替換，關鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內．

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.13.假如，，且與相互獨立，則___________．【答案】【解析】【分析】根據給定條件求出，再借助全概率公式即可計算作答.【詳解】因與相互獨立，且，，則，所以.故答案為：14.直線經過點，且直線的一個方向向量為，若直線與軸交于點，則______.【答案】##【解析】【分析】利用方向向量可得斜率為，求得直線的方程代入點可得.【詳解】由的一個方向向量為可得直線斜率為，所以直線的方程為，即，將代入直線方程可得，可得.故答案為：15.寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設直線方程為，于是，故①，于是或，再結合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.

16.如圖，在直三棱柱中，，、分別是線段、上的點，是直線上的點，滿足平面，且、不是三棱柱的頂點，則長的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】利用空間向量的坐標運算，根據平行、垂直關系的坐標表示，和空間距離的坐標表示求解.【詳解】如圖，由已知，，兩兩互相垂直，以點A為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，可得，，，，設，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，，因為平面，所以,,又，，可得，，，，當時，取最小值，最小值為.故答案為:.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.如圖，在空間四邊形中，，點為的中點，設.（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先把表示出來，然后由點E為的中點得，化簡即得結果；（2）把、用表示，然后利用數量積的運算律結合已知條件即可求出結果.【小問1詳解】因為，所以，所以，因為點E為的中點，所以.【小問2詳解】因為，，所以=18.袋中有7只大小形狀相同顏色不全相同的小貓擺件，分別為黑貓、白貓、紅貓，某同學從中任意取一只小貓擺件，得到黑貓或白貓的概率是，得到白貓或紅貓的概率是，試求：（1）某同學從中任取一只小貓擺件，得到黑貓、白貓、紅貓的概率各是多少？（2）某同學從中任取兩只小貓擺件，得到的兩只小貓顏色不相同的概率是多少？【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）從中任取一只小貓擺件，分別記得到黑貓、白貓、紅貓為事件，由已知列出的方程組即可得解；（2）求出從只小貓擺件中取出兩只小貓擺件的基本事件總數，再求出兩只小貓顏色相同的基本事件總數，從而利用古典概型與對立事件的概率公式即可得解.【小問1詳解】從中任取一只小貓擺件，分別記得到黑貓、白貓、紅貓為事件，由于為互斥事件，所以由題意得，，解得，所以任取一只小貓擺件，得到黑貓、白貓、紅貓的概率分別是，，.【小問2詳解】由（1）知黑貓、白貓、紅貓擺件的個數別為，記黑貓擺件為，白貓擺件為，紅貓擺件為，則從只小貓擺件中取出兩只小貓擺件的基本事件有：，，，，，共有件，其中兩只擺件是黑貓的基本事件有：，共3件，兩只白貓的基本事件有：，共1件，兩只紅貓的基本事件有：，共1件，于是兩只小貓擺件同色的概率為，則兩只小貓擺件顏色不相同的概率是.19.已知圓，直線（）恒過定點.（1）求定點的坐標；（2）求直線被圓截得弦長最短時的值、直線的方程以及最短弦長.【答案】（1）（2），，【解析】【分析】（1）由直線l的方程變形為，聯(lián)立即可求得直線恒過的定點；（2）要使直線l被圓C所截得的弦長最短，則，化圓C的方程為標準方程，求出圓心坐標，得到，再由兩直線垂直與斜率的關系列式求解m值及弦長.【小問1詳解】直線的方程整理得，該方程對于任意實數成立，則，解得，所以直線恒過定點.【小問2詳解】因為直線恒經過圓內的定點，當直線垂直于時被截得的弦長最短.由，可知，所以當直線被圓截得的弦最短時，直線的斜率為2，于是有，解得，此時直線的方程為，即，又因為，所以最短弦長為.20.甲，乙兩人進行游戲比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負1局或平局都不得分，積分先達到2分者獲勝；若第四局結束，沒有人積分達到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結束，沒有人積分達到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設在每局比賽中，甲勝的概率為，負的概率為，且每局比賽之間的勝負相互獨立．（1）求第三局結束時甲獲勝的概率；（2）求乙最終以分獲勝的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對甲來說共有兩種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）,根據獨立事件的乘法公式即可求解.（2）以比賽結束時的場數進行分類，在每一類中根據相互獨立事件的乘法公式即可求解.【小問1詳解】設事件為“第三局結束甲獲勝”，由題意知，甲每局獲勝的概率為，不獲勝的概率為．若第三局結束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．故.【小問2詳解】由題知，每局比賽中，乙獲勝的概率為，平的概率為，負的概率為，設事件為“乙最終以分獲勝”．若第二局結束乙獲勝，則乙兩局連勝，此時的概率．若第三局結束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．此時的概率．若第四局結束乙以分獲勝，則乙第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負，總共有9種情況：（勝，平，平，勝），（平，勝，平，勝），（平，平，勝，勝），（勝，平，負，勝），（勝，負，平，勝），（平，勝，負，勝），（負，勝，平，勝），（平，負，勝，勝），（負，平，勝，勝）．此時的概率故.21.如圖，在正四棱柱中，．點分別在棱,上，．（1）證明：；（2）點在棱上，當二面角為時，求．【答案】（1）證明見解析；（2）1【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量坐標相等證明；（2）設，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小問1詳解】以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.【小問2詳解】設，則，設平面的法向量，則，令，得，，設平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.22.中國古代數學名著《九章算術》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草