專題02 復(fù)數(shù)-2024年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁(yè)專題02復(fù)數(shù)命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查，重點(diǎn)是復(fù)數(shù)的運(yùn)算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義等，難度較低.共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算2022·新高考Ⅰ卷，22023·新高考Ⅰ卷，22024新高考Ⅰ卷，2復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算2022·新高考Ⅱ卷，2復(fù)數(shù)的幾何意義2023新高考Ⅱ卷，1復(fù)數(shù)的模2024·新高考Ⅱ卷，1命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，但是需要一些運(yùn)算技巧，否則有些計(jì)算量。Ⅱ卷考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)考查。復(fù)數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義．（2）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義、復(fù)數(shù)的模。試題精講1．（2024新高考Ⅰ卷·2）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.2．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.【詳解】若，則.故選：C.1．（2022新高考Ⅰ卷·2）若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D2．（2023新高考Ⅰ卷·2）已知，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因?yàn)椋?，即．故選：A．3．（2022新高考Ⅱ卷·2）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.4．（2023新高考Ⅱ卷·1）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.一、復(fù)數(shù)的概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時(shí)，．（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．=1\*GB3①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）．兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．=2\*GB3②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，顯然，．二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則1、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義以復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對(duì)角線表示的向量就是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量．對(duì)應(yīng)的向量是．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．三、實(shí)系數(shù)一元二次方程1、實(shí)系數(shù)一元二次方程中的為根的判別式，那么（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；（3）方程有兩個(gè)共軛虛根，求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：①設(shè)化歸為實(shí)數(shù)方程來(lái)解決．②把看成一個(gè)未知數(shù)（而不是實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)未知數(shù)），用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來(lái)變形．③對(duì)二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）（1）當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根滿足韋達(dá)定理，。（2）當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)共軛虛數(shù)根、，則，。綜上所述，無(wú)論方程的判別式的符號(hào)如何，韋達(dá)定理都成立，于是韋達(dá)定理能被推廣到復(fù)數(shù)根的情況，即實(shí)系數(shù)一元二次方程（、、且）的兩個(gè)根與系數(shù)滿足關(guān)系，一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，且是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則的值是（

）A． B．3 C．5 D．9【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求出，最后得解.【詳解】，，.故選：C2．（2024·北京·三模）已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及共軛復(fù)數(shù)的定義得到，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，故選：C.3．（2024·河南·三模）已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】解復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程可得及的值即可得解.【詳解】由可得，故，，即.故選：C.4．（2024·河南·三模）已知為虛數(shù)單位，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：D5．（2024·山東德州·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，計(jì)算即可.【詳解】由，可得，所以，故選：B.6．（2024·重慶·三模）已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)相等求出，再由共軛復(fù)數(shù)概念即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故，所以?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故選：A.7．（2024·河南鄭州·三模）復(fù)數(shù)（且），若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，根據(jù)為純虛數(shù)即可求解.【詳解】，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，所以.故選：A.8．（2024·四川遂寧·三模）若復(fù)數(shù)（其中，i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出，結(jié)合已知求出值即可得解.【詳解】依題意，，由為純虛數(shù)，得，解得，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限．故選：B9．（2024·江蘇南通·三模）已知為復(fù)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【分析】正向可得，則正向成立，反向利用待定系數(shù)法計(jì)算即可得或，則必要性不成立.【詳解】若，則，則，故充分性成立；若，設(shè)，則，，則，或與不一定相等，則必要性不成立，則“”是“”的充分非必要條件，故選：A10．（2024·山東濰坊·三模）設(shè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，將四個(gè)選項(xiàng)代入檢驗(yàn)，得到答案.【詳解】由題意得，A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，不合題意，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，不合要求，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：C11．（2024·黑龍江·三模）若，則的虛部為（

）A． B．1 C．3 D．【答案】A【分析】先利用乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后化簡(jiǎn)得，即可求出其虛部.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，則的虛部為.故選：A12．（2024·貴州畢節(jié)·三模）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求出，再由復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，即，故.故選：B.二、多選題13．（2024·湖北荊州·三模）已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若為純虛數(shù)，則B．若為實(shí)數(shù)，則C．若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限【答案】BD【分析】首先得到復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求出參數(shù)的值，即可判斷A、B，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷C、D.【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)于A：若為純虛數(shù)，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若為實(shí)數(shù)，則，解得，則，故B正確；對(duì)于C：若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，所以，解得或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，即，不等式組無(wú)解，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第三象限，故D正確.故選：BD.14．（2024·河北衡水·三模）復(fù)數(shù)，其中，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．對(duì)任意，點(diǎn)均在第一象限 D．存在，使得點(diǎn)在第二象限【答案】AC【分析】當(dāng)時(shí)，代入計(jì)算可判斷A、B；由判斷的實(shí)部和虛部范圍可判斷C、D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，故選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，故對(duì)任意，點(diǎn)均在第一象限，故C選項(xiàng)正確；不存在，使得點(diǎn)在第二象限，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．15．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判定A、C，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則結(jié)合模長(zhǎng)公式可判定B、D.【詳解】對(duì)于A，由，得，則A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），則B正確.對(duì)于C，設(shè)（，且），則，所以，則C正確.對(duì)于D，由，得.設(shè)（，且），則，，從而，則D正確.故選：BCD16．（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，，則（

）A．的最小值是1 B．的最大值是2C．的最大值是3 D．的最大值是4【答案】ABC【分析】對(duì)于A，設(shè)，依題意可得，可知復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可判斷A；對(duì)于B，根據(jù)題意可得，表示復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，根據(jù)圖形和可判斷B；對(duì)于C，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模公式證明，結(jié)合圖形求得，然后可判斷C；對(duì)于D，根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知，結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化為求的最值，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.【詳解】設(shè)，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，?fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，由圖可知，點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為1，即的最小值是1，A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，?fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上，由橢圓幾何性質(zhì)可知，點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為2，即的最大值為2，又，所以的最大值是2，B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，由圖可知，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值3，C正確；

對(duì)于D，因?yàn)楸硎镜木嚯x，所以的最大值為，設(shè)，則，即，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，D錯(cuò)誤.

故選：ABC三、填空題17．（2024·山西臨汾·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，則．【答案】/【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算直接求得，進(jìn)而求得即可.【詳解】由，得，所以.故答案為：.18．（2024·北京·三模）若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為.【答案】【分析】求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求解即可.【詳解】，因?yàn)槭羌兲?/p>