第1章 教材拓展 異面直線的距離(教參獨(dú)具)2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步導(dǎo)學(xué)案配套教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版2019）

第1章教材拓展異面直線的距離(教參獨(dú)具)2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步導(dǎo)學(xué)案配套教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版2019）學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)《異面直線的距離》

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：2024-2025學(xué)年高中二年級(jí)

3.授課時(shí)間：[具體上課時(shí)間]

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。通過(guò)探究異面直線的距離，學(xué)生將能夠運(yùn)用空間幾何知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展幾何直觀和數(shù)學(xué)抽象思維，同時(shí)提升運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)幾何關(guān)系的能力。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生將學(xué)會(huì)如何分析問(wèn)題、設(shè)計(jì)方案、實(shí)施探究和反思總結(jié)，從而培養(yǎng)其創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是異面直線的距離的定義、性質(zhì)及其計(jì)算方法。具體包括：

-異面直線的概念：學(xué)生需要理解異面直線不在同一平面內(nèi)，且無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線。

舉例：如教室內(nèi)的兩根不同墻面的垂直棱，它們就是異面直線。

-異面直線距離的計(jì)算：掌握通過(guò)作公垂線段來(lái)求解異面直線間距離的方法。

舉例：給定兩條異面直線l1和l2，通過(guò)作l1上的點(diǎn)A到l2的垂線段AB，線段AB的長(zhǎng)度即為異面直線l1和l2的距離。

2.教學(xué)難點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)主要在于學(xué)生對(duì)空間幾何直觀感知的建立和復(fù)雜計(jì)算步驟的理解。具體包括：

-空間幾何直觀感知：學(xué)生可能難以在頭腦中構(gòu)建異面直線的空間關(guān)系。

難點(diǎn)解釋：例如，學(xué)生可能難以想象兩條不在同一平面內(nèi)的直線是如何存在的，以及它們之間的距離是如何確定的。

-計(jì)算方法的掌握：學(xué)生在使用向量或坐標(biāo)法求解異面直線距離時(shí)，可能會(huì)遇到計(jì)算錯(cuò)誤。

難點(diǎn)解釋：如使用坐標(biāo)法時(shí)，學(xué)生需要正確地建立空間直角坐標(biāo)系，并且能夠準(zhǔn)確地計(jì)算出坐標(biāo)值，然后運(yùn)用距離公式進(jìn)行計(jì)算。在這一過(guò)程中，任何一步的失誤都可能導(dǎo)致最終結(jié)果錯(cuò)誤。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：通過(guò)詳細(xì)講解異面直線距離的定義和計(jì)算方法，幫助學(xué)生建立空間幾何的概念。

2.案例分析法：通過(guò)分析具體例題，引導(dǎo)學(xué)生理解異面直線距離的計(jì)算過(guò)程和應(yīng)用。

3.小組討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，共同解決課堂練習(xí)題，促進(jìn)學(xué)生間的互動(dòng)和思考。

教學(xué)手段：

1.多媒體演示：使用PPT展示異面直線的三維模型和計(jì)算過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象力。

2.教學(xué)軟件輔助：利用教學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)時(shí)演示和解題，提高教學(xué)的互動(dòng)性和趣味性。

3.網(wǎng)絡(luò)資源：引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，拓寬知識(shí)獲取渠道。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

-創(chuàng)設(shè)情境：利用教室內(nèi)的實(shí)物，如兩根不同墻面的垂直棱，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考它們之間的關(guān)系。

-提出問(wèn)題：詢問(wèn)學(xué)生這兩根棱是否平行、是否相交，從而引出異面直線的概念。

2.講授新課（20分鐘）

-講解異面直線的定義和性質(zhì)，通過(guò)板書(shū)和PPT展示，讓學(xué)生直觀地理解異面直線不在同一平面內(nèi)，且無(wú)公共點(diǎn)的特點(diǎn)。

-用時(shí)5分鐘

-通過(guò)實(shí)例講解異面直線距離的計(jì)算方法，包括作公垂線段、向量法和坐標(biāo)法。

-用時(shí)10分鐘

-分析例題，展示解題步驟，確保學(xué)生理解和掌握新知識(shí)。

-用時(shí)5分鐘

3.鞏固練習(xí)（10分鐘）

-分組練習(xí)：將學(xué)生分成小組，每組解決一個(gè)異面直線距離的計(jì)算問(wèn)題，鼓勵(lì)小組成員之間的討論和合作。

-用時(shí)5分鐘

-全班分享：邀請(qǐng)幾組學(xué)生分享他們的解題過(guò)程和答案，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和總結(jié)。

-用時(shí)5分鐘

4.師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（10分鐘）

-課堂提問(wèn)：教師提出與異面直線距離相關(guān)的問(wèn)題，學(xué)生回答，教師給予反饋。

-用時(shí)5分鐘

-小組討論：針對(duì)課堂提問(wèn)中的問(wèn)題，學(xué)生進(jìn)行小組討論，形成共識(shí)后向全班展示。

-用時(shí)5分鐘

5.拓展提升（5分鐘）

-提供一些更具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，讓學(xué)生思考異面直線距離在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，如建筑設(shè)計(jì)、工程測(cè)量等。

-鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，教師進(jìn)行解答，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

6.總結(jié)與布置作業(yè)（5分鐘）

-總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)異面直線距離的計(jì)算方法和應(yīng)用。

-布置作業(yè)：讓學(xué)生回家后完成一些異面直線距離的計(jì)算題目，鞏固所學(xué)知識(shí)。

整個(gè)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)注重學(xué)生的參與和思考，通過(guò)師生互動(dòng)和小組討論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)緊扣教學(xué)重難點(diǎn)，確保學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和掌握。通過(guò)拓展提升環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《空間幾何學(xué)導(dǎo)論》：該書(shū)詳細(xì)介紹了空間幾何的基本概念和性質(zhì)，包括直線、平面和空間幾何圖形的關(guān)系，適合對(duì)空間幾何有更深入興趣的學(xué)生閱讀。

-《高等幾何》：針對(duì)有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生，這本書(shū)涵蓋了空間幾何的高級(jí)內(nèi)容，包括射影幾何和微分幾何等，有助于學(xué)生從更高角度理解空間幾何。

-《工程力學(xué)中的空間幾何應(yīng)用》：本書(shū)通過(guò)實(shí)際工程案例，展示了空間幾何在工程力學(xué)中的應(yīng)用，如力的分解與合成、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析等，有助于學(xué)生理解空間幾何在實(shí)際工程中的重要性。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-探索空間幾何的其他應(yīng)用領(lǐng)域：學(xué)生在課后可以查閱資料，了解空間幾何在物理學(xué)、天文學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，拓寬知識(shí)視野。

-制作空間幾何模型：學(xué)生可以嘗試使用紙張、塑料板等材料，制作異面直線和其他空間幾何圖形的模型，加深對(duì)空間幾何概念的理解。

-進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：學(xué)生可以使用計(jì)算機(jī)軟件，如幾何畫(huà)板或CAD軟件，進(jìn)行空間幾何的實(shí)驗(yàn)，如模擬異面直線距離的計(jì)算過(guò)程，觀察不同幾何圖形的性質(zhì)。

-小組研究項(xiàng)目：學(xué)生可以組成小組，選擇一個(gè)與空間幾何相關(guān)的課題進(jìn)行研究，如“空間幾何在建筑設(shè)計(jì)的應(yīng)用”，通過(guò)收集資料、討論和分析，完成一個(gè)小型研究報(bào)告。

-參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，這些競(jìng)賽往往需要運(yùn)用空間幾何知識(shí)解決問(wèn)題，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。板書(shū)設(shè)計(jì)①異面直線距離的定義

-重點(diǎn)詞：異面直線、公垂線段、距離

-重點(diǎn)句：異面直線的距離是指兩條異面直線之間最短的線段，即公垂線段的長(zhǎng)度。

②異面直線距離的計(jì)算方法

-重點(diǎn)詞：向量法、坐標(biāo)法、空間直角坐標(biāo)系

-重點(diǎn)句：向量法通過(guò)計(jì)算向量的模長(zhǎng)來(lái)求解距離；坐標(biāo)法通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)值計(jì)算距離。

③異面直線距離的性質(zhì)與應(yīng)用

-重點(diǎn)詞：性質(zhì)、應(yīng)用、幾何圖形

-重點(diǎn)句：異面直線距離的性質(zhì)包括唯一性和不變性；在幾何圖形中，異面直線距離可用于求解體積、表面積等。典型例題講解例題1：

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1的長(zhǎng)度為2，棱AB的長(zhǎng)度為3，棱AD的長(zhǎng)度為4。求異面直線AB與A1C1的距離。

解答：首先，連接AC和A1C1，由于長(zhǎng)方體的性質(zhì)，AC與A1C1平行。然后，作線段B1D1，交A1C1于點(diǎn)E。根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，B1D1垂直于平面A1C1CD1，因此B1D1垂直于A1C1。接下來(lái)，連接BE，由于BE在平面ABCD上，而A1C1不在該平面上，所以異面直線AB與A1C1的距離就是BE的長(zhǎng)度。利用勾股定理計(jì)算BE的長(zhǎng)度，得到BE=√(AB^2+AD^2)=√(3^2+4^2)=5。

例題2：

在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2,3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,5,6)。求異面直線AB與x軸的距離。

解答：由于x軸的方向向量是(1,0,0)，我們可以找到點(diǎn)A到x軸的垂線，該垂線與x軸的交點(diǎn)為C。點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0,0)，因?yàn)樗莤軸上的點(diǎn)。異面直線AB與x軸的距離就是點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離，即AC=√[(1-1)^2+(2-0)^2+(3-0)^2]=√(0+4+9)=√13。

例題3：

在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)。將三角形ABC沿BC邊翻折，使得點(diǎn)A落在平面ABC外的一點(diǎn)A'。求異面直線AA'與BC的距離。

解答：由于D是BC的中點(diǎn)，因此AD垂直于BC，且AD=√(AB^2-BD^2)=√(5^2-3^2)=√(25-9)=√16=4。當(dāng)三角形ABC沿BC邊翻折時(shí)，A點(diǎn)到A'點(diǎn)的距離AA'等于AD的長(zhǎng)度，即AA'=4。因此，異面直線AA'與BC的距離就是AA'的長(zhǎng)度，即4。

例題4：

已知空間四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，且AB與CD的距離為2。求異面直線AB與CD的距離。

解答：首先，連接AD，并假設(shè)AD與BC的交點(diǎn)為E。由于AB與CD的距離為2，我們可以作線段EF，垂直于CD，且EF的長(zhǎng)度為2。接下來(lái)，連接AF，由于EF垂直于CD，AF也垂直于CD。因此，異面直線AB與CD的距離就是AF的長(zhǎng)度。利用勾股定理計(jì)算AF的長(zhǎng)度，得到AF=√(AB^2-BF^2)=√(3^2-2^2)=√(9-4)=√5。

例題5：

在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2,3)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,5,6)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(7,8,9)。求異面直線AB與平面BCO的距離，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)。

解答：首先，找到平面BCO的法向量n。由于點(diǎn)B和點(diǎn)C都在平面上，我們可以用向量BC和向量BO的叉積來(lái)找到法向量n。向量BC=(7-4,8-5,9-6)=(3,3,3)，向量BO=(4-0,5-0,6-0)=(4,5,6)。計(jì)算叉積n=BC×BO=|ijk|=(3*6-3*5,3*4-3*7,3*5-3*4)=(18-15,12-21,15-12)=(3,-9,3)。然后，找到點(diǎn)A到平面BCO的距離d，使用公式d=|(A-O)·n|/|n|，其中(A-O)是向量AO。向量AO=(1-0,2-0,3-0)=(1,2,3)。計(jì)算點(diǎn)A到平面BCO的距離，得到d=|(1,2,3)·(3,-9,3)|/√(3^2+(-9)^2+3^2)=|3+(-18)+9|/√(9+81+9)=|-6|/√99=6/√99=6/3√11=2/√11。課堂1.課堂評(píng)價(jià)

-提問(wèn)：在課堂教學(xué)中，教師通過(guò)提問(wèn)的方式檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)異面直線距離概念的理解。例如，教師可以詢問(wèn)學(xué)生異面直線距離的定義、計(jì)算方法以及在哪些情況下會(huì)用到異面直線距離。通過(guò)學(xué)生的回答，教師可以判斷學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度。

-觀察：教師在授課過(guò)程中，應(yīng)密切觀察學(xué)生的反應(yīng)和參與程度。例如，在講解異面直線距離的計(jì)算方法時(shí)，教師應(yīng)觀察學(xué)生是否能夠跟隨講解思路，是否在積極參與課堂討論。

-測(cè)試：在課堂的最后，教師可以通過(guò)小測(cè)驗(yàn)或口頭測(cè)試的方式，檢查學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的掌握情況。測(cè)試可以包括計(jì)算異面直線距離的題目，以及分析異面直線距離性質(zhì)的問(wèn)題。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)

-批改：教師應(yīng)認(rèn)真批改學(xué)生的作業(yè)，注意學(xué)生在解題過(guò)程中是否理解了異面直線距離的概念，是否能夠正確應(yīng)用計(jì)算方法。同時(shí)，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否能夠清晰地表達(dá)解題思路。

-點(diǎn)評(píng)：在作業(yè)批改后，教師應(yīng)及時(shí)給予學(xué)生反饋。對(duì)于普遍存在的問(wèn)題，教師可以在課堂上集中講解；對(duì)于個(gè)別學(xué)生的問(wèn)題，教師可以單獨(dú)進(jìn)行輔導(dǎo)。教師的點(diǎn)評(píng)應(yīng)具體、明確，旨在幫助學(xué)生理解錯(cuò)誤原因，并指導(dǎo)學(xué)生如何改進(jìn)。

-鼓勵(lì)：對(duì)于在作業(yè)中表現(xiàn)出色的學(xué)生，教師應(yīng)給予表?yè)P(yáng)和鼓勵(lì)，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。同時(shí)，教師也應(yīng)鼓勵(lì)那些在作業(yè)中遇到困難的學(xué)生，鼓勵(lì)他們繼續(xù)努力，克服學(xué)習(xí)中的難題。

教學(xué)評(píng)價(jià)的目的是為了更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。通過(guò)課堂評(píng)價(jià)和作業(yè)評(píng)價(jià)，教師可以全面了解學(xué)生對(duì)異面直線距離知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，為下一步的教學(xué)提供依據(jù)。反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.引入實(shí)際問(wèn)題：在教學(xué)過(guò)程中，結(jié)合實(shí)際案例，如建筑設(shè)計(jì)、工程測(cè)量等，讓學(xué)生了解異面直線距離在實(shí)際生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力。

2.多媒體輔助教學(xué)：充分利用多媒體設(shè)備，如PPT、幾何畫(huà)板等，展示空間幾何圖形，幫助學(xué)生建立空間想象能力。

（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生的空間想象能力不足：部分學(xué)生在理解異面直線距離的概念時(shí)，存在空間想象能力不足的問(wèn)題，難以在頭腦中構(gòu)建空間幾何圖形。

2.計(jì)算能力有待提高：學(xué)生在使用向量法或坐標(biāo)法求解異面直線距離時(shí)，容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，需要加強(qiáng)