新人教版八年級下數(shù)學(xué)學(xué)案：第十六章 二次根式

第十六章二次根式

16.1二次根式

第1課時二次根式的概念

【學(xué)習(xí)目標】1.理解二次根式的概念，并利用右(a'O)的意義解答具體題目.

2.提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題

【學(xué)習(xí)過程】

一、復(fù)習(xí)回顧1、口答：4的平方根是多少？4的算術(shù)平方根是多少？

2、填空：聲的算術(shù)平方根是；廳=；

二、新知探究

(-)概念的形成

1、請同學(xué)們預(yù)習(xí)完成教材中的有關(guān)問題，寫出這些問題的結(jié)

果：;

2、觀察上述式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？

3、您能說說什么樣的式子叫二次根式？什么叫二次根號？什么叫被開方數(shù)？

4、請指出第一問所列式子的被開方數(shù)。

5、你知道在定義中為什么a00嗎？

特別提示：因為負數(shù)沒有平方根(算術(shù)平方根)，所以當a<0,《沒有意義。

(二)概念的應(yīng)用

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：五、冷、1、6(x>0)、

X

Vo>正、V4>y(x20,y?20).

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號；第二，被開方數(shù)是

正數(shù)或0.

解:二次根式有：、y/x(x>0)、、J?、Jx+y(x20,y20)；不

是二次根式的有：省、蚯.

X

例2.當X是多少時，J3X-1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3X-1N0,?

，3%-1才能有意義.

【學(xué)習(xí)流程】

①復(fù)習(xí)回顧：5分鐘；②新知探究：15分鐘；③鞏固練習(xí)：10分鐘

④拓展應(yīng)用：10分鐘；⑤課堂小結(jié)：3分鐘；⑥布置作業(yè)：2分鐘.

三、鞏固練習(xí)：教材練習(xí)

四、應(yīng)用拓展：例3.當x是多少時，J2X+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

X+1

分析：要使，2x+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足j2x+3中的

小0和」■一中的x+l#O.鞏固練習(xí)：10分鐘

X+1

例4已知y=J2—x+Jx—2+5,求一的值.（變式（x—1）~+—y+4=0,

y

求而的值）

五、歸納小結(jié)：本節(jié)課要掌握：

1.形如JZ（a》O）的式子叫做二次根式，稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù).

六、布置作業(yè)：

七、當堂檢測：

一、選擇題

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-幣B.y/lC.\[xD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.V4B.716C.況D.-

X

3.已知一個正方形的面積是5,那么它的邊長是（）

A.5B.石C.-D.以上皆不對

5

二、填空題：4.當+3在實數(shù)范圍內(nèi)有意義時,*的取值范圍是__________；

X

5.若，3-x+Jx-3有意義，則4'=_______.

第十六章二次根式

16.1二次根式

第2課時二次根式的性質(zhì)

一、學(xué)習(xí)目標：1.掌握二次根式的基本性質(zhì)：7^=|?|；

2.能利用上述性質(zhì)對二次根式進行化簡.

二、學(xué)習(xí)重點、難點

重點：二次根式的性質(zhì)行=時.

難點：綜合運用性質(zhì)叱=|?|進行化簡和計算。

三、學(xué)習(xí)過程

(-)自學(xué)導(dǎo)航(課前預(yù)習(xí))

(1)什么是二次根式，它有哪些性質(zhì)？

(2)二次根式]——有意義，Dx__________o

丫尤-5

(3)在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：X：2-6=x2-()2=(盧___)(尸______)

(二)合作交流(小組互助)

一杵=______屈二一

1.計算：6=_____屈7=_

2

觀察其結(jié)果與根號內(nèi)幕底數(shù)的關(guān)系,歸納得到：當a>0日寸,Jci=_______

2.計算：J(T)2=_J(—0.2)2=______J(_20>=—

觀察其結(jié)果與根號內(nèi)基底數(shù)的關(guān)系,歸納得到：當a<0時,、必=_______

3.計算：V02=_____當a=O時Va2=_______

(三)展示提升(質(zhì)疑點撥)

1.歸納總結(jié)

將上面做題過程中得到的結(jié)論綜合起來,得到二次根式的又一條非常重要的性質(zhì)：

aa>0

■\[a^=同=<00

—aa<0

2.化簡下列各式：

(1)、7^F=___(2)、J(—0.5)2=__(3)、J(-6)2=____(4)、J(2d=_____(?<0)

3.請大家思考、討論二次根式的性質(zhì)(布)220)與行=時有什么區(qū)別與聯(lián)系。

1.化簡下列各式

(1)V4?(x>0)(2)7?

2.化簡下列各式

(1)J(a-3>(a>3)(2)J(2X+3)2(X<-2)

(四)達標檢測

A組

1.填空：(1)、7(2-^-02-(A/2X-3)2(x>2)=.(2)、&兀-釬=

(3)a、b、c為三角形的三條邊，則&TZ=彳+|b—a—c|=.

2.已知2<xV3,化簡：、(x-2)~+|x—3|

B組

3.己知0<*<1,化簡：J(x—)'+4—不(XT—)"—4

4.把(2—x、一1—的根號外的(2—X)適當變形后移入根號內(nèi)，得(

)

Vx-2

A、V2—xB、—2C^—，2-xD、—dx-2

5.若二次根式J-2X+6有意義,化簡|六4|-|7-x|。

16.2二次根式的乘除

第1課時二次根式的乘法

一、學(xué)習(xí)目標

理解G,4b—4ab(aNO,b》O),4ab-y[a?、/(a》O,620),并利用它們進行

計算和化簡

二、學(xué)習(xí)重點、難點

重點：掌握和應(yīng)用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。

難點：正確依據(jù)二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡。

三、學(xué)習(xí)過程

(-)自學(xué)導(dǎo)航(課前預(yù)習(xí))

1.填空：(1)>/4X79=___,74x9=____；4X囪,4x9

(2)716x725=___,-6x25=—；716x725716x25

(3)7100x736=—,-00x36=—.V100X^7100x36

(二)合作交流(小組互助)

1、學(xué)生交流活動總結(jié)規(guī)律.

2、一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

\[a?y/b=>[cib.(aNO,bNO反過來：[4^=8?6(a20,b20)

例1、計算

(1)6X近(3)3娓X2屈(4)45a?

例2、化簡

(1)79x16(2)716x81(3),81x100(4)02y2(5)宿

鞏固練習(xí)

(1)計算:①A/16Xy/S②5百X2V15③71^7

(2)化簡：而；V18；V24;A;Jl2a2索

(三)展示提升(質(zhì)疑點撥)

判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正:

(1)J(T)x(-9)=Cx戶

(2)J4—XV25=4XXA/25=4X^25=4V12=8G

V25

展示學(xué)習(xí)成果后，請大家討論：對于百xj萬的運算中不必把它變成J市后再進行計

算，你有什么好辦法？

注：1、當二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘以單項式法則進行計算：即系數(shù)之積作

為積的系數(shù)，被開方數(shù)之積為被開方數(shù)。

2、化簡二次根式達到的要求：

(1)被開方數(shù)進行因數(shù)或因式分解。

(2)分解后把能開盡方的開出來。

(四)達標檢測A組

1、選擇題

(1)等式y(tǒng)[x+\?=7%2-1成立的條件是()

A.x21B.xNTC.D.xel或x〈一1

(2)下列各等式成立的是().

A.475X2V5=8A/5B.56X4行=20括

C.4A/3X3-j2=7V5D.573X4A/2=20A/6

(3)二次根式［(—2)2x6的計算結(jié)果是()A.2V6B.-25/6C.6D.12

2、化簡與計算:

(2)V327Mx?。?/p>

(1)V36O；;(3)(4)V3x

B組

1、選擇題

(1)若—2|++4b+4+J。？—c+—=0,則Vb~?~/ct?-\[c=()

A.4B.2C.-2D.1

(2)下列各式的計算中，不正確的是()

A.=V-4xV-6=(-2)X(-4)=8

42

B.J4a=xJ，=^2^xJ(a。)。=2a

C.打+42=,9+16=后=5

D.V132-122=7(13+12)(13-12)=713+12x713-12=后x1

2、計算：(1)6任X(-2遙)；(2)J8ab義指加；

3、不改變式子的值，把根號外的非負因式適當變形后移入根號內(nèi)。

16.2二次根式的乘除

第2課時二次根式的除法

一、學(xué)習(xí)目標

1、掌握二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)；

2、能熟練進行二次根式的除法運算及化簡.

二、學(xué)習(xí)重點、難點

重點：掌握和應(yīng)用二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì).

難點：正確依據(jù)二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡.

三、學(xué)習(xí)過程

(-)自學(xué)導(dǎo)航(課前預(yù)習(xí))

1、計算：(1)3aX(-4-76)(2)Jl2abxJ6ab'

79V9

2、填空:(1)規(guī)律:

>V16

V16叵

736V36

41±

V16V16

3單3673636

V81而V818?

一般地，對二次根式的除法規(guī)定:

Vaa@=(a20,b>0)

(a20,b>0)反過來,

b&

（-）合作交流（小組互助）

1、計算：（1）三=（2）⑷卑

V3瓜

注：1、當二次根式前面有系數(shù)時，類比單項式除以單項式法則進行計算：即系數(shù)之商作為

商的系數(shù)，被開方數(shù)之商為被開方數(shù)。

2、化簡二次根式達到的要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）分母中不含有二次根式。

（三）展示提升（質(zhì)疑點撥）

閱讀下列運算過程：

1_-2_275_2A/5

百一&x百一3'6一石x石一5

數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”。

利用上述方法化簡：

2Vio

⑴(2)—產(chǎn)-(4)

3V2275

（四）達標檢測A組

1、選擇題

的結(jié)果是（).

2V2

A.-V5B.-C.V2D.

777

(2)化簡號=的結(jié)果是()

V27

A.-也B.金C.-逅D.-V2

3J33

B組

用兩種方法計算:

V6

⑴苧(2)

473

16.3二次根式的加減

第1課時二次根式的加減

一、學(xué)習(xí)目標

1、理解同類二次根式，并能判定哪些是同類二次根式；

2、理解和掌握二次根式加減的方法；

3、先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解.再

總結(jié)經(jīng)驗，用它來指導(dǎo)根式的計算和化簡.

二、學(xué)習(xí)重點、難點

1、重點：二次根式化簡為最簡根式.

2、難點：會判定是否是最簡二次根式.

三、學(xué)習(xí)過程

（-）自學(xué)導(dǎo)航（課前預(yù)習(xí)）

計算.（1）2,x+3x；（2）2x"—3x~+5x~；（3）x+2,x+3y；（4）3ci~—2a~

（二）合作交流（小組互助）

學(xué)生活動：計算下列各式.

（1）20+30=(2)2瓜T瓜+5瓜=

(3)y/l+2幣+3J9x7=(4)3\[?>-2>/3+\[2=

由此可見，二次根式的被開方數(shù)相同也是可以合并的，如2近與此表面上看是不相

同的，但它們可以合并嗎？也可以.（與整數(shù)中同類項的意義相類似我們把30與-2百，

、-2右與4石這樣的幾個二次根式，稱為同類二次根式）

3&+J=3&+2夜=5近36+a=36+36=66

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式進

行合并.

例1.計算（1）^+718（2）V16x+V64x

例2.計算（1）3J羽-9J；+3疝(2)(A+亞)+(V12-V5)

歸納：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式;

第二步，將相同的最簡二次根式進行合并.

（三）展示提升（質(zhì)疑點撥）

(2)(748+720)+(712-75)

2__

例3.已知[4x2+y2-4x-6y+10=0,求(—X\/9x

(四)達標檢測

一、選擇題

1.以下二次根式：①m；②后;③?:④厲中，與6是同類二次根式的

是().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式:①3-^3+3=6-^3；②—幣=1；③+V6=\/S=2>/2；④,=2V2,

其中錯誤的有().

A.3個B.2個C.1個D.0個

3.在下列各組根式中，是同類二次根式的是()

(A)省和Jli(B)百和(0-j^b和(D)Ja+1和Ja-1

4.下列各式的計算中，成立的是()

(A)2+V5=2A/5(B)4V5-3V5=1(0y/x2+y2^x+y(D)V45-V20=75

H1,1

5.右Q=—j=—,b=—=---的值為()

V2-1V2+1

(A)2(B)-2(C)V2(D)2V2

二、填空題

1.在瓜、-/15a.詬、7125>2癡'、3J近、-2、口中，與J荒是同

33aV8

類二次根式的有.

2.計算二次根式5&-3揚-14^1+9揚的最后結(jié)果是.

3.若最簡二次根式3j2x+l與J3x-1是同類二次根式,則彳=.

4.若最簡二次根式癡法與"瘍是同類二次根式，則a=,b=.

5.計算：

(1)-727a3-a23+--V108a(2)V32-+V75-7(X5

3a4

16.3二次根式的加減

第2課時二次根式的混合運算

一、學(xué)習(xí)目標

熟練應(yīng)用二次根式的加減乘除法法則及乘法公式進行二次根式的