專題23特殊平行四邊形中的最小值問題(原卷版+解析)

專題23特殊平行四邊形中的最小值問題解題思路解題思路【類型一利用幾何基本事實確定最值】【基本事實1垂線段最短】垂線線段最短：如圖1：直線l外有一定點A，點P是l上一動點，當AP⊥l時，線段AP最短?！净臼聦?兩點間，線段最短】兩點間，線段最短根據(jù)線段的基本事實可知：AB≤AC+BC當A,C,B三點在一條直線上時，【類型二利用軸對稱變換確定最值】線段和最?。喝鐖D2，A、B時直線m同側(cè)的兩個定點，P時直線m上一動點，作點A關于直線m的對稱點A′，直線BA′交直線m于點P，此時PA+PB最小，等于BA′典例分析典例分析【典例1】（2021春?龍口市期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點P為對角線AC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，則EF的最小值為（）A． B． C．4 D．3【變式1】（2021春?鄂州期末）在邊長為2的等邊△ABC中，D是AC上一動點，連接BD，以BD、AD為鄰邊作平行四邊形BDAE，則對角線DE的最小值為（）A． B．1 C． D．2【典例2】（2021?內(nèi)江）如圖，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上．當點A在x軸上運動時，點D也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的最大距離為．【變式2-1】（2020?北碚區(qū)校級開學）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且S△PAB＝S△PCD，則PC+PD的最小值是（）A． B． C． D．【典例3】（2019春?江州區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，∠ABC＝60°，且M為BC的中點，P是對角線BD上的一動點，則PM+PC的最小值為（）A．4cm B．cm C．2cm D．2cm【變式3-1】（河西區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點，BE＝1，F(xiàn)為AB的中點，P為AC上一個動點，則PF+PE的最小值為（）A．2 B．4 C． D．2【變式3-2】（2020?棗莊三模）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且S△PAB＝S△PCD，則PC+PD的最小值為．夯實基礎夯實基礎1．（春?惠山區(qū)期末）如圖，菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝6，CE＝2，點P是線段AC上一動點，點F是線段AB上一動點，則PE+PF的最小值是（）A．3 B．6 C．2 D．32.（秋?無為縣期末）如圖，在長方形ABCD的邊AD上找一點P，使得點P到B、C兩點的距離之和最短，則點P的位置應該在．3．（銅仁地區(qū)）以邊長為2的正方形的中心O為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點，則線段AB的最小值．4．（2021?威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點．連接DE和AF交于點G，連接BG．若AE＝BF，則BG的最小值為．5．如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，M是BC的中點，CM＝2．點P是BD上一動點，則PM+PC的最小值．能力提升能力提升6．（2021秋?江漢區(qū)月考）已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點，連接DM，EM．（1）如圖1，點E在CD上，點G在BC的延長線上，請判斷DM，EM的數(shù)量關系與位置關系，并證明；（2）如圖2，點E在DC的延長線上，點G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；（3）如圖3，連接BG，N為BG中點，若AB＝13，CE＝5，則MN的最大值為9．專題23特殊平行四邊形中的最小值問題解題思路解題思路【類型一利用幾何基本事實確定最值】【基本事實1垂線段最短】垂線線段最短：如圖1：直線l外有一定點A，點P是l上一動點，當AP⊥l時，線段AP最短。【基本事實2兩點間，線段最短】兩點間，線段最短根據(jù)線段的基本事實可知：AB≤AC+BC當A,C,B三點在一條直線上時，【類型二利用軸對稱變換確定最值】線段和最?。喝鐖D2，A、B時直線m同側(cè)的兩個定點，P時直線m上一動點，作點A關于直線m的對稱點A′，直線BA′交直線m于點P，此時PA+PB最小，等于BA′典例分析典例分析【典例1】（2021春?龍口市期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點P為對角線AC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，則EF的最小值為（）A． B． C．4 D．3【答案】B【解答】解：連接BP，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴四邊形PEBF為矩形，∴EF＝BP，當BP⊥AC，BP最短，在Rt△BPC中，BP＝PC，BC＝6，根據(jù)勾股定理可解得BP＝3，∴EF得最小值為3．故選：B．【變式1】（2021春?鄂州期末）在邊長為2的等邊△ABC中，D是AC上一動點，連接BD，以BD、AD為鄰邊作平行四邊形BDAE，則對角線DE的最小值為（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解答】解：如圖，AB與DE相交于點O，在△ABC中，∠BAC＝60°，∵四邊形ADBE是平行四邊形，∴OD＝OE，OA＝OB．∴當OD取最小值時，線段DE最短，此時OD⊥AC．∵點O是AB的中點，∴OA＝AB＝1，∵∠ODA＝90°，OA＝1，∠BAC＝60°，∴OD＝，∴ED＝2OD＝，故選：C．【典例2】（2021?內(nèi)江）如圖，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上．當點A在x軸上運動時，點D也隨之在y軸上運動，在這個運動過程中，點C到原點O的最大距離為．【答案】+1【解答】解：如圖，取AD的中點H，連接CH，OH，∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，∵點H是AD的中點，∴AH＝DH＝1，∴CH＝＝＝，∵∠AOD＝90°，點H是AD的中點，∴OH＝AD＝1，在△OCH中，CO＜OH+CH，當點H在OC上時，CO＝OH+CH，∴CO的最大值為OH+CH＝+1，故答案為：+1【變式2-1】（2020?北碚區(qū)校級開學）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且S△PAB＝S△PCD，則PC+PD的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，作PM⊥AD于M，作點D關于直線PM的對稱點E，連接PE，EC．設AM＝x．∵四邊形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，∵S△PAB＝S△PCD，∴×4×x＝××4×（6﹣x），∴x＝2，∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC＝＝4，∵PM垂直平分線段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值為4．故選：B．【典例3】（2019春?江州區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，∠ABC＝60°，且M為BC的中點，P是對角線BD上的一動點，則PM+PC的最小值為（）A．4cm B．cm C．2cm D．2cm【答案】D【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴點A、C關于BD對稱，連接AM，AM即為PM+PC的最小值，∵M是BC的中點，BC＝2，∴CM＝BM＝2，∴AB＝BC＝2×2＝4，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴△ABM是直角三角形，∴AM＝AB＝2，即PM+PC的最小值．故選：D．【變式3-1】（河西區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上的一點，BE＝1，F(xiàn)為AB的中點，P為AC上一個動點，則PF+PE的最小值為（）A．2 B．4 C． D．2【答案】C【解答】解：作E關于直線AC的對稱點E′，連接E′F，則E′F即為所求，過F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，GE′＝CD﹣BE﹣BF＝4﹣1﹣2＝1，GF＝4，所以E′F＝＝．故選：C．【變式3-2】（2020?棗莊三模）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且S△PAB＝S△PCD，則PC+PD的最小值為．【答案】2【解答】解：∵點P是矩形ABCD內(nèi)一動點，且S△PAB＝S△PCD，AB＝CD，∴點P到AB的距離等于點P到CD的距離，∴點P在BC的垂直平分線上，∴PB＝PC，∴PC+PD＝BP+PD，當點B，P，D在同一直線上時，BP+PD的最小值等于對角線BD的長，又∵AB＝CD＝4，BC＝6，∴對角線BD＝＝＝2，∴PC+PD的最小值為2，故答案為：2夯實基礎夯實基礎1．（春?惠山區(qū)期末）如圖，菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝6，CE＝2，點P是線段AC上一動點，點F是線段AB上一動點，則PE+PF的最小值是（）A．3 B．6 C．2 D．3【答案】C【解答】解：作點E關于AC的對稱點點G，連接PG、PE，則PE＝PG，CE＝CG＝2，連接BG，過點B作BH⊥CD于H，則∠BCH＝∠CBH＝45°，∴Rt△BHC中，BH＝CH＝＝3，∴HG＝3﹣2＝，∴Rt△BHG中，BG＝＝＝2，∵當點F與點B重合時，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），∴PE+PF的最小值是2．故選：C．2.（秋?無為縣期末）如圖，在長方形ABCD的邊AD上找一點P，使得點P到B、C兩點的距離之和最短，則點P的位置應該在．【答案】AD的中點【解答】解：作出B關于AD的對稱點B'，連接CB'，如圖；∵長方形ABCD，∴AB＝CD，∠B'AP＝∠PDC＝90°，∵AB'＝AB，∴AB'＝CD，在△B'AP與△CDP中，∴△B'AP≌△CDP（AAS），∴AP＝PD，故答案為：AD的中點．3．（銅仁地區(qū)）以邊長為2的正方形的中心O為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點，則線段AB的最小值．【答案】【解答】解：∵四邊形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD，∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠COA+∠AOD＝90°，∠AOD+∠DOB＝90°，∴∠COA＝∠DOB，∵在△COA和△DOB中，∴△COA≌△DOB（ASA），∴OA＝OB，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB＝＝OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，根據(jù)垂線段最短，OA⊥CD時，OA最小，∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，OD＝OF，∴CA＝DA，∴OA＝CF＝1，即AB＝，故答案為：．4．（2021?威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點．連接DE和AF交于點G，連接BG．若AE＝BF，則BG的最小值為．【答案】﹣1【解答】解：如圖，取AD的中點T，連接BT，GT，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EDA+∠DAF＝90°，∴∠AGD＝90°，∵DT＝AT，∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，∴BG≥BT﹣GT，∴BG≥﹣1，∴BG的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．5．如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，M是BC的中點，CM＝2．點P是BD上一動點，則PM+PC的最小值．【答案】2【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴點A、C關于BD對稱，連接AM，AM即為PM+PC的最小值，∵M是BC的中點，CM＝2，∴AB＝BC＝2×2＝4，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴△ABM是直角三角形，∴AM＝AB＝×4＝2，即PM+PC的最小值．故答案為：2．能力提升能力提升6．（2021秋?江漢區(qū)月考）已知正方形ABCD與正方形CEFG，M是AF的中點，連接DM，EM．（1）如圖1，點E在CD上，點G在BC的延長線上，請判斷DM，EM的數(shù)量關系與位置關系，并證明；（2）如圖2，點E在DC的延長線上，點G在BC上，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；（3）如圖3，連接BG，N為BG中點，若AB＝13，CE＝5，則MN的最大值為9．【答案】（1）DM⊥EM，DM＝ME（2）結(jié)論仍然成立，DM⊥EM，DM＝EM（3）9【解答】解：（1）結(jié)論：DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：如圖1中，延長EM交AD于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEFG是正方形，∴∠ADE＝∠CEF＝∠DEF＝90°，AD＝CD，∴AD∥EF，∴∠MAH＝∠MFE，∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，∴△AMH≌△FME（ASA），∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，∴DH＝DE，∵∠EDH＝90°，∴DM⊥EM，DM＝ME；（2）如圖2中，結(jié)論仍然成立，DM⊥EM，DM＝EM，理由如下：如圖2中，延長EM交DA的延長線于H，