專題09特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬模型（原卷版）

專題09特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問(wèn)題從本質(zhì)上來(lái)看是由軸對(duì)稱衍生而來(lái)，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問(wèn)題主要依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最?。唬?）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。例1．（2023·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)．若，則的最小值為（）A． B． C． D．例2．（2023·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，正方形中，，連接，的平分線交于點(diǎn)E，在上截取，連接，分別交于點(diǎn)G，H，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)Q，連接，以下結(jié)論：①；②；③；④的最小值是，其中正確的結(jié)論有（

）．A．1 B．2 C．3 D．4例3．（2022·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為______．例4．（2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知菱形的面積為20，邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接、，、和點(diǎn)不重合，則的最小值為（

）

A． B． C．10 D．例5．（2023上·福建漳州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)．點(diǎn)為對(duì)角線上的一動(dòng)點(diǎn)．則的最小值等于（）

A． B．6 C． D．8例6．（2022上·重慶大渡口·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在矩形中，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，連結(jié)，則的最小值為．

例7．（2023上·福建龍巖·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)E是邊上且．F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值．模型2.求多條線段和（周長(zhǎng)）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在邊上且，點(diǎn)P，Q分別是邊，的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形的面積是（

）A． B． C． D．例2．（2023.無(wú)錫市初三數(shù)學(xué)期中試卷）方法感悟：如圖①，在矩形中，，是否在邊上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形的周長(zhǎng)最小？若存在，求出它周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：例3．（2023春·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的最小值是________；例4．（2022上·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，是邊的中點(diǎn)，，，，若，則線段長(zhǎng)度的最大值是．模型3.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’AP’B＜AB，而PAPB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PAPB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2023·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，點(diǎn)M、N分別為BD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是線段AB、MN上的動(dòng)點(diǎn)，則AP﹣PQ的最大值為．例2．（2023春·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上，且，點(diǎn)Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．例3．（2023·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，點(diǎn)為直線左側(cè)平面上一點(diǎn)，的面積為則的最大值為．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．2．（2022下·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，菱形中，P為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為中點(diǎn)，若，，則的最小值為（

）

A．3 B． C．5 D．3．（2023上·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·福建廈門·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點(diǎn)P、Q分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．45．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，連結(jié)，，則的最小值為（

）A．26 B．25 C．24 D．226．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且，點(diǎn)G為直線上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值是．

7．（2023春·成都市九年級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，，，E、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，M為EF中點(diǎn)，P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．8．（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，，在的同側(cè)，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的最大值是．

9．（2023·湖北孝感·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，四邊形是矩形紙片，，對(duì)折矩形紙片，使與重合，折痕為．展平后再過(guò)點(diǎn)B折疊矩形紙片，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)N，折痕與相交于點(diǎn)Q，再次展平，延長(zhǎng)交與點(diǎn)G，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，有如下結(jié)論①；②；③是等邊三角形；④若H是的中點(diǎn)，則的最小值是．其中正確結(jié)論是（填序號(hào)）10．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，點(diǎn)E、F分別邊上的點(diǎn)，且，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

12．（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）長(zhǎng)方形中，，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．

13．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，則的最小值是_________________14．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________．15．（遼寧省鐵嶺市20222023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在矩形的各邊上，且，，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為．16．（2023·廣東惠州·校考三模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別是對(duì)角線的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________.

17．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考三模）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．18．（2023·山東德州·?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，，，，分別是邊和對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為______．19．（2023·北京海淀·九年級(jí)人大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，中，，過(guò)A點(diǎn)作的平行線與的平分線交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)過(guò)點(diǎn)作的平行線交直線于點(diǎn)，連接，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出的最小值．20．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)校考階段練習(xí)）【問(wèn)題情境】（1）我們?cè)?jīng)研究過(guò)這樣的問(wèn)題：已知正方形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，以為一邊構(gòu)造正方形，連接和，如圖1所示，則和的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______【繼續(xù)探究】（2）如圖2所示，若正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為一邊在的右側(cè)作正方形，連接、，連接，若，求線段的長(zhǎng)度．【拓展提升】（3）在（2）的條件下，如圖3，當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最小值為______21．（2023·安徽宿州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）小明同學(xué)在做作業(yè)時(shí)，遇到如下問(wèn)題：如圖1，已知：等