期中重難點(diǎn)特訓(xùn)（二）之特殊的平行四邊形壓軸大題專訓(xùn)

期中重難點(diǎn)特訓(xùn)（二）之特殊的平行四邊形壓軸大題專訓(xùn)【重難點(diǎn)題型】1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形中，，，且，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，如此進(jìn)行下去，得到四邊形．下列結(jié)論正確的是（

）．①四邊形是菱形；②四邊形是矩形；③四邊形周長(zhǎng)為；④四邊形面積為．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長(zhǎng)與四邊形中各邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度關(guān)系規(guī)律，然后對(duì)選項(xiàng)作出分析判斷：①②根據(jù)三角形的中位線定理、平行四邊形的判定定理、菱形和矩形的判定與性質(zhì)作出判斷；③根據(jù)三角形的中位線定理和四邊形周長(zhǎng)公式作出判斷；④找到每得到的四邊形與原四邊形面積關(guān)系規(guī)律，即可求得四邊形的面積．【詳解】解：①連接，，∵在四邊形中，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，∴，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形；∵，∴，∴四邊形是矩形，∴（矩形的兩條對(duì)角線相等）；∴（三角形的中位線定理），∴四邊形是菱形；∴四邊形是矩形；∴根據(jù)中位線定理知，四邊形是菱形；故①②正確；③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，，，∴四邊形的周長(zhǎng)是，故③正確；④∵四邊形中，，，且，∴；由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉?lái)的一半，四邊形的面積是，故④錯(cuò)誤；綜上所述，①②③正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題是一道規(guī)律題，考查了中點(diǎn)四邊形、平行四邊形的判定、三角形的中位線定理、菱形和矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理清題意，熟練并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)解題．2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為B（，），C（，）．任意一點(diǎn)A都滿足．作的內(nèi)角平分線，過點(diǎn)B作的垂線交于點(diǎn)F，已知當(dāng)點(diǎn)A在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】過C作，垂足為M，交于D，證明，得出，再連接并延長(zhǎng)，交于N，證明四邊形是個(gè)平行四邊形，利用全等三角形得出，利用斜邊中線等于斜邊一半求出即可．【詳解】解：如圖：過C作，垂足為M，交于D，∵平分，且是邊上的高，∴，，∵，∴，∴，，∴，即長(zhǎng)為定值，連接并延長(zhǎng)，交于N，∵，，∴，∴，∵B（，），C（，），∴，在和中，，∴，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和斜邊中線的性質(zhì)及平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)構(gòu)建全等三角形和平行四邊形，得出．3．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)順次在直線l上，．以為底向下作等腰直角三角形，以為底向上作等腰三角形，且．連接，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度變化時(shí)，與的面積之差保持不變，則a與b需滿足（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，利用勾股定理可得，再利用三角形的面積公式可得與的面積之差，然后根據(jù)“當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度變化時(shí)，與的面積之差保持不變”建立等式，化簡(jiǎn)即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，是等腰直角三角形，且，，是等腰三角形，且，，，，與的面積之差為，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度變化時(shí)，與的面積之差保持不變，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，連接、，則的最小值為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】連接，則的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，在的延長(zhǎng)線上截取，連接、，則，再根據(jù)勾股定理求解．【詳解】解：如圖，連接，在矩形中，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，則，則的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，在的延長(zhǎng)線上截取，連接，則，，是的垂直平分線，，，連接，則，，的最小值為26，即的最小值為26，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證出．5．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，．O為中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．若，則下列結(jié)論正確的（）①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先根據(jù)等腰直角三角形得性質(zhì)和平行線得性質(zhì)得出，，即可證明，得，即可判斷①；由，，，可證明，得，則，所以，即可判斷②；由，即可判斷③；連接，設(shè)，由，可推導(dǎo)出，，則，得，所以,即可判斷④．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵O為中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，故①正確；∵于點(diǎn)F，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，故③錯(cuò)誤；連接，設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形得判斷和性質(zhì)、同角的余角相等，全等三角形得判斷和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．6．（2023秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，、分別是，的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【答案】C【分析】證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，故①正確；求得，根據(jù)垂直的定義得到，故②正確；假設(shè)，根據(jù)，可得，結(jié)合，，可得，即有，進(jìn)而可得，則有，顯然，即假設(shè)不成立，即可判斷③錯(cuò)誤．延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由是斜邊的中線，得到，求得，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，故④正確．【詳解】解：①∵四邊形是正方形，∴，，∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴，在與中，，∴，∴，，故①正確；②∵，∴，∴，∴，故②正確；③若成立，∵，∴，∵，，∴，∴，∴在中，有，∵，∴，顯然，∴假設(shè)不成立，∴，故③錯(cuò)誤，④根據(jù)可得，∴，如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，，，∴，∴，∵已證明，∴是斜邊的中線，∴，∴，∵，，∴．故④正確；故正確的有①②④，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（2022·遼寧營(yíng)口·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，E是邊上的一點(diǎn)，，，將正方形邊沿折疊到，延長(zhǎng)交于G，連接，，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①正確．證明，即可；②錯(cuò)誤．求得，進(jìn)而可得結(jié)論；③正確．證明，，即可證明結(jié)論；④錯(cuò)誤．證明，求出的面積即可判斷．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是正方形，，，由翻折可知：，，，，，，，，，，，故①正確；設(shè)，∵，∴，，在中，，，，，，，若，則為正三角形，，顯然不合題意，故②錯(cuò)誤；，，，，，，G都在線段的垂直平分線上，垂直平分，，，故③正確；，，，，故④錯(cuò)誤，故正確的有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．8．（2021秋·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在弦圖中（如圖2），連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)K，連接．若，則的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)K作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，由圖形關(guān)系求得，再求得，，求得與，進(jìn)而由勾股定理求得結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)K作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，∵，，∴，∵是正方形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，，∵，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴中，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．9．（2022·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）矩形紙片中，，，將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上的處，折痕為．延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于M，折痕上有點(diǎn)P，下列五個(gè)結(jié)論中正確的有（）①；②；③；④；⑤若，則四邊形是菱形．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】②借助軸對(duì)稱可知；③利用勾股定理求，構(gòu)造方程，求，在構(gòu)造勾股定理求；①④由相似，，在計(jì)算，進(jìn)而可判斷①；⑤證得，再證菱形即可．【詳解】解：點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，點(diǎn)B與點(diǎn)是對(duì)稱點(diǎn)，則；故②正確；連結(jié)，由翻折，，，由勾股定理，∴，設(shè)，在中，，由勾股定理，解得，∴，在中，，；故③正確；過M作，交延長(zhǎng)線于F，由，∴，∴，∴，∴，∴，，則，∴故④不正確；∵∴∴；故①不正確；連接，由對(duì)稱性可知，，，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，又，∴四邊形是菱形，故⑤正確．五個(gè)結(jié)論中正確的是②③⑤．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用，此題的關(guān)鍵是能夠證明．10．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形紙片中，，，點(diǎn)E、G分別在上，將、分別沿翻折，翻折后點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合．當(dāng)A、P、F、E四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，線段長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，設(shè)，由勾股定理列方程得到，由折疊的性質(zhì)得到，，，求得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：在矩形紙片中，，，∴，，，∵將沿翻折，翻折后點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，∴，，，∴，設(shè)，∴，，∵，∴，解得：，∴，∵將沿翻折，翻折后點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，∴，，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴線段GP長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，G分別在，邊上，且，，連接、，平分，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，連接，若正方形的邊長(zhǎng)為4，則的長(zhǎng)度是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)交于H，利用已知條件證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)證明，最后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)交于H，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，而，∴，∵，正方形的邊長(zhǎng)為4，∴，，，在中，，在中，，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也利用了正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，具有一定的綜合性，解題關(guān)鍵是作出輔助線，利用全等三角形、正方形和三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理求解．12．（2022秋·云南·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，連接平分交于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】過E作于F，根據(jù)正方形對(duì)角線互相垂直以及角平分線的性質(zhì)可得，再由正方形的性質(zhì)可得，繼而可得，再根據(jù)勾股定理即可求得，最后根據(jù)即可解答．【詳解】解：如圖：過E作于F，∵四邊形是正方形，∴，∵平分交于點(diǎn)E，∴，∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴，∴，∴∴，∴∴故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線、靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)與定理是解題是關(guān)鍵．13．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形紙片中，，，，．將紙片先沿對(duì)折，再將對(duì)折后的紙片沿過頂點(diǎn)A的直線裁剪，剪開后的紙片打開鋪平，其中有一個(gè)圖形是周長(zhǎng)為的平行四邊形，則________．【答案】##【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，可知，所得的平行四邊形是菱形，由菱形的性質(zhì)和平行四邊形的周長(zhǎng)，求得相關(guān)邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求得的長(zhǎng)．【詳解】如圖，當(dāng)沿從A出發(fā)的直線裁剪，四邊形是平行四邊形，根據(jù)裁剪可知：，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∵四邊形周長(zhǎng)為，∴，∵，，∴，∵在平行四邊形中，，∴，∴在中，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查，平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定方法與性質(zhì)以及平行四邊形的面積公式，根據(jù)題意，畫出圖形，是解題的關(guān)鍵，主要要分類討論.14．（2023春·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？贾軠y(cè)）如圖，在矩形中，，E、F分別是邊、上一點(diǎn)，，將沿翻折得，連接，當(dāng)_____時(shí)，是以為腰的等腰三角形．【答案】或【分析】設(shè)，則，由翻折得：．當(dāng)′時(shí)，作，由，EF平分可證得，則，所以，，分，和兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，由翻折得：，作于點(diǎn)，如圖，∵，∴，∴，∵沿翻折得，∴，∴，∵，∴，∴，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，①時(shí)，則：，即，解得，∴；②時(shí)，在中，，即：，解得：；∴；綜上，當(dāng)或時(shí)，是以為腰的等腰三角形；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形中的折疊問題、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意列方程是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，線段在射線上滑動(dòng)，，則四邊形周長(zhǎng)的最小值是___________．【答案】【分析】如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，連接，過點(diǎn)O作垂直于直線于P，過點(diǎn)D作垂直直線于G，交射線于H，設(shè)交射線于Q，連接，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，，，證明四邊形是矩形，得到，同理可證四邊形是矩形，得到，則，，即可求出，證明四邊形是平行四邊形，得到，推出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即四邊形的周長(zhǎng)最小，最小為，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，連接，過點(diǎn)O作垂直于直線于P，過點(diǎn)D作垂直直線于G，交射線于H，設(shè)交射線于Q，連接，∴，，∵，∴，∵，∴，同理得：，∴，，∵，∴四邊形是矩形，∴，同理可證四邊形是矩形，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即四邊形的周長(zhǎng)最小，最小為，∴四邊形的周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，軸對(duì)稱最短路徑問題，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線確定出周長(zhǎng)最小時(shí)的情形是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·四川樂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）歐幾里得是古希臘著名數(shù)學(xué)家、歐氏幾何學(xué)開創(chuàng)者．下面問題是歐幾里得證明勾股定理的證法一小片段，同學(xué)們，讓我們一起來(lái)走進(jìn)歐幾里得的數(shù)學(xué)王國(guó)吧！如圖，分別以的三邊為邊長(zhǎng)，向外作正方形、、．（1）連接、，則、的關(guān)系是______；（2）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則正方形的邊長(zhǎng)是______．【答案】

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定定理，即可得結(jié)論；（2）由于，得到四邊形的面積是的面積的2倍，同理正方形的面積為的面積的2倍，結(jié)合，即得結(jié)論；【詳解】解：（1）四邊形、四邊形是正方形，，，，，在和中，；（2），，四邊形的面積的面積的2倍，同理，正方形的面積的面積的2倍，又，四邊形與正方形的面積相等．正方形中，，，四邊形的面積是，∵正方形的面積等于四邊形的面積，，．∵∴在中故答案為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全，等勾股定理以及正方形的性質(zhì)，已知的兩對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，關(guān)鍵是找到夾角相等．17．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校仙林分校?？计谀┤鐖D，在矩形中，，，點(diǎn)、分別為、邊上的點(diǎn)，且的長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________．【答案】##【分析】作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)H，連接，，，，，可知當(dāng)H、P、G、D共線時(shí)，最小，求出、長(zhǎng)即可．【詳解】解：作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)H，連接，，，，，，∵，∴當(dāng)H、P、G、D共線時(shí)，最小，∵，，∴，，∵的長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑，解題關(guān)鍵利用軸對(duì)稱和直角三角形的性質(zhì)確定最短路徑．18．（2023春·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，四邊形為矩形，、，點(diǎn)、分別為邊、上動(dòng)點(diǎn)，且，連接、，分別將和沿、翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，當(dāng)平行于矩形一邊時(shí)，長(zhǎng)為______．【答案】或【分析】分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖1，過點(diǎn)作于G，過點(diǎn)作于H，延長(zhǎng)交于N，延長(zhǎng)交于M，∵矩形，∴，，∴，∴，∴，由折疊可得：，，，，∴，，∵，∴，∴，∵矩形，易得四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，，∴∴，易得四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，∴，在中，由勾股定理，得，即，解得：；②當(dāng)時(shí)，如圖2，過點(diǎn)作于N，過點(diǎn)作于P，延長(zhǎng)交于M，由①知，∴，由折疊可得，，∴，，，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，易得四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，，，∴，在中，由勾股定理，得，∴，∴，在中，由勾股定理，得，即，解得：，綜上，長(zhǎng)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意事項(xiàng)分類討論思想的應(yīng)用．19．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)從出發(fā)，以的速度沿運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了3秒后點(diǎn)開始以的速度從運(yùn)動(dòng)到，在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，的值為________．【答案】2或【分析】分當(dāng)在上或當(dāng)在上兩種情況,分別計(jì)算AQ、AQ邊上的高的長(zhǎng)，然后再結(jié)合三角形面積公式求解即可．【詳解】解：①當(dāng)在上，點(diǎn)的速度為，如圖①所示：∴∴，解得．②當(dāng)在上，點(diǎn)的速度為當(dāng)?shù)乃俣葹椋鐖D②所示：∴，的高為，∴，解得．綜上可得，當(dāng)或時(shí)，的面積為．故答案為2或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用、四邊形綜合題等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用四邊形的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（2023春·湖北隨州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)不與重合，且，點(diǎn)是五邊形內(nèi)點(diǎn)，，且．①當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，_____________．②點(diǎn)到邊距離為，則的取值范圍為_____________．【答案】

##75度

##【分析】①根據(jù)矩形的性質(zhì)以及“如果直角三角形中一直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30度”，可得，進(jìn)而可知，再根據(jù)，可得，即可計(jì)算的值；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，利用勾股定理可求得；在中，由，可知當(dāng)點(diǎn)重合時(shí)，最大，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)重合時(shí)，證明為等腰直角三角形，利用勾股定理解得，此時(shí)點(diǎn)到的距離最小，為4．即可確定的取值范圍．【詳解】解：①∵四邊形為矩形，∴，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)∴，∴，∴，又∵，，∴，∴；②過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如下圖，∵，，，∴，即，解得，在中，，∴當(dāng)點(diǎn)重合時(shí)，最大，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)重合時(shí)，如下圖，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得，此時(shí)點(diǎn)到的距離最小，為4．∴．故答案為：①；②．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，理解題意，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．21．（2022秋·江西鷹潭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，O是對(duì)角線的中點(diǎn)．點(diǎn)E在外，且．過點(diǎn)C作直線的垂線，垂足為F．連接，．(1)如圖1，當(dāng)為矩形，且時(shí)．①線段，的數(shù)量關(guān)系是：；②請(qǐng)說(shuō)明理由：(2)如圖2，當(dāng)為正方形時(shí)，若，，完善圖形并求的長(zhǎng)．【答案】(1)①；②見解析(2)見解析，【分析】（1）連接，由垂直平分線的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意畫出圖形，證明得出，再證明，得出，，得出為等腰直角三角形，最后求出，即可得出答案．【詳解】（1）①；②理由如下：如圖，連接，∵，，∴，∵在矩形中，，∴垂直平分，∴，同理，∴；（2）如圖所示，．理由：連接，∵四邊形為正方形，∴，，∵，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∵O為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，，∴，∴為等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，垂直平分線的判定和性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·山東棗莊·?？家荒＃┤鐖D1，中，，，的外角平分線交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別作的延長(zhǎng)線于B，的延長(zhǎng)線于D．(1)求證：四邊形是正方形；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)如圖2，在中，，高，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)4(3)【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)間接求出，再證明四邊形是矩形即可求證正方形．（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)求出，再利用勾股定理求解．（3）構(gòu)造出一個(gè)正方形，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明:過A點(diǎn)作于G,∵和分別是兩個(gè)外角的平分線,,,∴,,∴,又∵,∴四邊形是矩形,∴四邊形是正方形．（2）∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，同理可證，，∴，∴，∴，∵,∴中，，∴．（3）把和分別沿、翻折，得到和，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)N，∴，，，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴，，∴中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線和進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)化．23．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，是上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交外角平分線于．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，連接，交邊于點(diǎn)F，連接．求證：平分．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）如圖所示，在上取一點(diǎn)F，使得，連接，由正方形的性質(zhì)得到，先證明，再證明，即可利用證明，得到，在中，由勾股定理得，則；（2）如圖所示，過點(diǎn)N作于G，于H，作交直線于Q，由全等三角形的性質(zhì)得到，，推出，由角平分線的性質(zhì)得到，可證四邊形是正方形，得到，再推出，，進(jìn)而證明，得到，再證明，得到，即可證明平分．【詳解】（1）解：如圖所示，在上取一點(diǎn)F，使得，連接，∵四邊形是正方形，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴；（2）證明：如圖所示，過點(diǎn)N作于G，于H，作交直線于Q，由（1）可得，∵，∴，∵平分，，∴，又∵，∴四邊形是正方形，∴，∵，∵，即，∴，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵24．（2023秋·遼寧阜新·九年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，正方形和正方形（其中），的延長(zhǎng)線與直線交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在上時(shí)，求證：；(2)將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線右側(cè)時(shí)，判斷的數(shù)量關(guān)系并證明；②當(dāng)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)①，證明見解析；②或【分析】（1）證明，即可得到，再由角的等量代換即可證明；（2）①在線段上截取，連接，證明，得到為等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的邊角性質(zhì)即可；②分兩種情況，一是如圖3所示，當(dāng)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，，連接．求出BD，設(shè)，則．在中，利用勾股定理列出方程解答；二是如圖4所示，當(dāng)B，H，G三點(diǎn)共線時(shí)，，連接．設(shè)，中利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形和均為正方形，∴，，

∴．∴．

又∵，∴．∴．（2）解：①，證明如下：如圖所示，在線段上截取，連接．由（1）可知，，又∵，∴．∴．

∴，即．∴為等腰直角三角形．∴．∴，∴．

②第一種情況：如圖3所示，當(dāng)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)G、H重合，連接．由①可知，且．又∵，∴．設(shè)，則．∴在中，由勾股定理得．∴，解得（負(fù)值舍），∴；第二種情況：如圖4所示，當(dāng)B，H，G三點(diǎn)共線時(shí)，，連接．設(shè)，∵，∴．在中，由勾股定理得．∴．解得，∴∴的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟知上述知識(shí)點(diǎn)，并正確作出輔助線．25．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1，在正方形中，E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．求證：；（2）如圖2，在正方形中，E是上一點(diǎn)，G是上一點(diǎn)，如果，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：．（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在四邊形中，（），，，E是上一點(diǎn)，且，，，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）108【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可直接證明，從而得出；（2）延長(zhǎng)至F，使．連接，根據(jù)（1）知，即可證明，根據(jù)，得，利用全等三角形的判定方法得出，即，即可得出答案；（3）過作，交延長(zhǎng)線于D，則四邊形為正方形，設(shè)，根據(jù)（1）（2）可知，，在中，利用勾股定理即可求解，再結(jié)合計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴；（2）如圖2，延長(zhǎng)至F，使．連接，由（1）知，∴，∴，即，又∵，則，∴，∵，，，∴，∴，∴；（3）如圖3，過作，交延長(zhǎng)線于D，在直角梯形中，∵，∴，又，，∴四邊形為正方形，

∴，∵，設(shè)，∴，∴，，根據(jù)（1）（2）可知，，在中，∵，即，解這個(gè)方程，得：，∴，所以梯形的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．26．（2022秋·海南省直轄縣級(jí)單位·九年級(jí)統(tǒng)考期末）正方形中，點(diǎn)E、F在、上，且，與交于點(diǎn)G．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，在上截取，的平分線交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)N，連接，求證：①是等腰直角三角形；②．【答案】(1)詳見解析(2)①詳見解析；②詳見解析【分析】（1）根據(jù)四邊形是正方形得到，，結(jié)合，即可得到答案；（2）①根據(jù)，即可得到，從而得到，結(jié)合，，可得，即可得到，結(jié)合平分即可得到，即可證明；②過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)H，易得，從而得到，易證，即可得到答案；【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，

∵，∴；（2）證明：①∵，∴，，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，

∵平分，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形；

②如圖所示，過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)H，∵，，∴，∴，∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∵，，∴，在和中，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線找到等量代換的線段．27．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在正方形中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），垂直于的一條直線分別交，，于點(diǎn)，，．(1)①如圖1，判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若垂足為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，則______．(3)若垂足在對(duì)角線上，正方形的邊長(zhǎng)為．①如圖3，若，，則______；②如圖4，連接，將沿著翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，的中點(diǎn)為，則的最小值為______．【答案】(1)；理由見解析(2)(3)①；②【分析】（1）過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，證出四邊形為平行四邊形，得出，證明得出，即可得出結(jié)論；（2）連接，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，證出是等腰直角三角形，，，證明得出，得出是等腰直角三角形，得出，即可得出結(jié)論；（3）①過點(diǎn)分別作垂足分別為，則，證明，設(shè)，根據(jù)，求得，即可得出；②連接交于點(diǎn)，則的直角頂點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合；設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)的落點(diǎn)為，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，證明得出，證明得出，，由正方形的性質(zhì)得出，易得出，得出，，得出，故，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)作，垂足為，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）∵四邊形是正方形，，，，過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，如圖所示：四邊形為平行四邊形，，，，，，，在和中，，（），，；（2）連接，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，如圖所示：四邊形是正方形，四邊形為矩形，，，，是正方形的對(duì)角線，，是等腰直角三角形，，，是的垂直平分線，，在和中，，（），，，，是等腰直角三角形，，故答案為：．（3）①解：如圖所示，過點(diǎn)分別作垂足分別為，則在正方形對(duì)角線上，，是等腰直角三角形，，，又，，，，設(shè)，，，解得：，則，故答案為：．連接交于點(diǎn)，如圖所示：則的直角頂點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合；設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)的落點(diǎn)為，，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在上，，在和中，，（），，，，，，，，，，，，，，，，由翻折性質(zhì)得：，在和中，，（），，'，是正方形的對(duì)角線，，則，，，，故，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)；過點(diǎn)作，垂足為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．28．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，，、、為鉛直方向的邊，、、為水平方向的邊，點(diǎn)在、之間，且在、之間，我們稱這樣的圖形為“圖形”，若一條直線將該圖形的面積分為面積相等的兩部分，則稱此直線為該“圖形”的等積線．(1)下列四副圖中，直線是該“圖形”等積線的是_________(填寫序號(hào))(2)如圖2，直線是該“圖形”的等積線，與邊、分別交于點(diǎn)、，過中點(diǎn)的直線分別交邊、于點(diǎn)、，則直線(填“是”或“不是”)該圖形的等積線．(3)在圖3所示的“圖形”中，，，．①若，在下圖中畫出與平行的等積線l(在圖中標(biāo)明數(shù)據(jù))②在①的條件下，該圖形的等積線與水平的兩條邊、分別交于、，求的最大值；③如果存在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，則的取值范圍為．【答案】(1)①②③(2)是(3)①1；②；③【分析】（1）如圖，根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個(gè)矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心所在直線是該圖形的面積平分線，由此可直接進(jìn)行判斷；（2）如圖2，證明，根據(jù)割補(bǔ)法可得直線是圖形的面積平分線；（3）①如圖4，先計(jì)算圖形的面積，可得出矩形的面積，由此可得出的長(zhǎng)；②如圖5，根據(jù)面積平分線可知梯形的面積為，根據(jù)面積公式列式可得的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得的最大值；③如圖6，直線將圖形分成上下兩個(gè)矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí)，列不等式可得的取值．【詳解】（1）解：根據(jù)題意把原本圖形分成左右兩個(gè)矩形，這兩個(gè)矩形的對(duì)稱中心所在直線是該圖形的面積平分線，∴直線是該“圖形”等積線的是①②③；故答案為：①②③；（2）如圖2，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，即，，即，直線是圖形的等積線．故答案為：是；（3）①圖形的面積，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，若是圖形的面積平分線，且，點(diǎn)必然在線段上，如圖所示，矩形的面積，，②如圖，當(dāng)與重合時(shí)，最大，過點(diǎn)作于，是圖形的面積平分線，梯形的面積，即，，，，由勾股定理得：；即的最大值是；③在與水平方向的兩條邊、相交的等積線，如圖，直線將圖形分成上下兩個(gè)矩形，當(dāng)上矩形面積小于下矩形面積時(shí)，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，則，即，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，四邊形面積的平分，三角形全等的性質(zhì)和判定等知識(shí)，并明確面積平分線的畫法，并熟練掌握矩形面積平分線是過對(duì)角線交點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2023秋·廣西南寧·九年級(jí)南寧十四中?？奸_學(xué)考試）如圖，中，，，的外角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作的延長(zhǎng)線于，的延長(zhǎng)線于．(1)求證：四邊形是正方形；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)如圖，在中，，高，，則的長(zhǎng)度是______．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）作于，如圖所示：則，先證明四邊形是矩形，再由角平分線的性質(zhì)得出，即可得出四邊形是正方形；（2）證明，得出，同理：，得出，證出，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得出方程，即可得出答案；（3）把沿翻折得，把沿翻折得，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，由（1）（2）得：四邊形是正方形，，，，得出，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】（1）證明：作于，如圖所示：則，，，，四邊形是矩形，，外角平分線交于點(diǎn)，，，，四邊形是正方形（2）解：四邊形是正方形，，在和中，，，，同理：，，，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，解得：，（3）解：解：在中，，高，，如圖所示：把沿翻折得，把沿翻折得，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，由（1）（2）得：四邊形是正方形，，，，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，解得：，即；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定、翻折變換的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是綜合運(yùn)用幾何知識(shí)靈活解題．30．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求證：．（2）如圖2，在正方形中，E是上一點(diǎn)，G是上一點(diǎn)，如果，求證：．（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在直角梯形中，（），，．E是上一點(diǎn)，且，，求直角梯形的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）108【分析】（1）根據(jù)四邊形是正方形，又，證得，即可得出結(jié)論．（2）利用正方形的性質(zhì)和，求出，再根據(jù)，得出，然后證出，即可得出結(jié)論．（3）作出輔助線DF，根據(jù)三角形面積公式列等式即可求出DF的長(zhǎng)，再利用勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1，四邊形是正方形，，，又，，．（2），，，，，即，，且，，，，．（3）如圖：過點(diǎn)C作于F，，，，，，四邊形是矩形，且，四邊形是正方形，．由（2）可得，，在中，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明全等是解題的關(guān)鍵．31．（2022春·江蘇南通·