第02講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3大考點8種解題方法）（原卷版）

第02講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（3大考點8種解題方法）考點考向考點考向一、二次函數(shù)的定義（1）二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為0這個關(guān)鍵條件．（2）二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實數(shù)，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．二、二次函數(shù)的圖象（1）二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象的畫法：①列表：先取原點（0，0），然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表．②描點：在平面直角坐標(biāo)系中描出表中的各點．③連線：用平滑的曲線按順序連接各點．④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在頂點的兩側(cè)各取三四個點即可．連線成圖象時，要按自變量從小到大（或從大到小）的順序用平滑的曲線連接起來．畫拋物線y=ax2（a≠0）的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用描點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè)．（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象看作由二次函數(shù)y=ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．三、二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)是（﹣，），對稱軸直線x=﹣，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減小；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x=﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當(dāng)a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x=﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y=ax2的圖象向右或向左（右）平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越?。谝淮雾椣禂?shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點個數(shù)．△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．五、二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標(biāo)是（﹣，）．①拋物線是關(guān)于對稱軸x=﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=．六、二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=時，y=．（2）當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=時，y=．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．七、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標(biāo)；③交點式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．八、二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是（0，c）；②頂點式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（h，k）；③交點式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．考點精講考點精講一、二次函數(shù)的定義1.（2021?龍灣區(qū)模擬）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是A． B． C． D．2.（2020秋?合肥期末）若是二次函數(shù)，則．3.（2020秋?南丹縣期中）若是二次函數(shù)，且開口向上，則的值為．二次函數(shù)的圖象4.（2020秋?臨沭縣期末）二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是A． B． C． D．5.（2020秋?廬陽區(qū)期末）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象在同一坐標(biāo)系下如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．6.（2020秋?合川區(qū)校級期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．三、二次函數(shù)的性質(zhì)7.（2020秋?靈山縣期末）拋物線的對稱軸是A． B． C． D．8.（2020秋?臥龍區(qū)期末）已知拋物線的頂點在軸上，則的值為A．2 B．4 C． D．9.（2021?河北模擬）對二次函數(shù)的性質(zhì)描述正確的是A．該函數(shù)圖象的對稱軸在軸左側(cè) B．當(dāng)時，隨的增大而減小 C．函數(shù)圖象開口朝下 D．該函數(shù)圖象與軸的交點位于軸負(fù)半軸10.（2020秋?番禺區(qū)期末）拋物線與軸的交點坐標(biāo)為A． B． C． D．四、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系11、（2021?寧波模擬）小甬從如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①abc＞0；②2a+3b＝0；③a﹣2b+c＞0；④c﹣4b＞0，其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12.（2021?曹縣一模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，下列結(jié)論：（1），（2），（3）為任意實數(shù)），其中結(jié)論正確的個數(shù)為A．0個 B．1個 C．2個 D．3個13.（2021春?龍華區(qū)月考）二次函數(shù)圖象如圖，下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14.（2021?婁星區(qū)模擬）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個五、二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征15.（2021?鄭州模擬）若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．16.（2021?于洪區(qū)一模）若點，，在拋物線的圖象上，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．17.（2021?南平模擬）二次函數(shù)、是常數(shù)）的自變量與函數(shù)值的部分對應(yīng)值如下表：023下列判斷正確的是A． B． C． D．二次函數(shù)的最值18.（2021?道外區(qū)一模）二次函數(shù)的最小值為2，則的值為．19.（2020秋?中站區(qū)期末）已知拋物線，點在拋物線上，則的最大值是．20.（2020秋?覃塘區(qū)期末）二次函數(shù)的最大值為．21.（2020秋?番禺區(qū)校級期中）若函數(shù)，當(dāng)時的最大值是，最小值是，則．22.（2020秋?瑤海區(qū)期末）已知拋物線過點，，求拋物線的解析式及其頂點的坐標(biāo)．23.（2020秋?越城區(qū)期末）已知二次函數(shù)圖象的頂點是，且過點．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）判斷該二次函數(shù)的圖象是否經(jīng)過點，并解釋你的判斷．八、二次函數(shù)的三種形式24.（2021?賀蘭縣校級一模）用配方法將二次函數(shù)化成的形式是．25.（2021?天河區(qū)校級二模）將二次函數(shù)化成的形式應(yīng)為鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考）拋物線的頂點坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考）已知拋物線，當(dāng)，時，它的圖象經(jīng)過（）A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限C．第一，三，四象限 D．第一，二，三，四象限3．（2021·儀征市實驗初中九年級月考）把拋物線向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線是（）A． B．C． D．4．（2021·浙江杭州市·翠苑中學(xué)九年級二模）直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象過點，且，與軸，軸分別交于，兩點．設(shè)的面積為，則的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（2021·山東青島市·九年級期末）將函數(shù)y＝（x+1）2﹣4的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度，則得到的函數(shù)解析式為（）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣8 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x+3）2﹣86．（2021·廣州市第五中學(xué)九年級期中）點，，為二次函數(shù)的圖象上的三點，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．（2021·福建省福州第一中學(xué)九年級開學(xué)考試）拋物線（其中，是常數(shù)）過點A(2，6)，且物線的對稱軸與線段有交點，則的值不可能是（）A． B． C． D．148．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考）如圖，在中，，，，點從點沿向點以的速度運動，同時點從點沿向點以的速度運動（點運動到點停止），在運動過程中，四邊形的面積最小值為（）A． B． C． D．9．（2021·山東濟(jì)南市·中考真題）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點和點，若滿足時，；時，，則稱點是點的限變點．例如：點的限變點是，點的限變點是．若點在二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)時，其限變點的縱坐標(biāo)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題10．（2021·哈爾濱市第十七中學(xué)校九年級二模）如果將拋物線y＝x2先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，那么所得新拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式是___．11．（2021·陜西渭南市·九年級月考）已知二次函數(shù)y＝2x2+bx，當(dāng)x＞1時，y隨x增大而增大，則b的取值范圍為______．12．（2021·廣州市黃埔華南師范大學(xué)附屬初級中學(xué)九年級期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最大值是______．13．（2021·珠海市斗門區(qū)實驗中學(xué)九年級期中）已知點A（﹣2，y1），B（5，y2）為函數(shù)y＝x2＋a圖象上的兩點，比較：y1_____y2．14．（2021·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)九年級期末）二次函數(shù)y＝2x2+4x+1圖象的頂點坐標(biāo)為_____．當(dāng)x=1時，y=_____．15．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，頂點的縱坐標(biāo)是，則關(guān)于的方程的解是_______．16．（2021·廣州市第七中學(xué)九年級月考）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點，，且，與軸的正半軸的交點在的下方，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有_______．（填序號）17．（2021·沈陽市第四十三中學(xué)九年級月考）如圖，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，點E為CD邊上一動點（不與C、D重合），以CE為邊向外作矩形CEFG，且CG＝CE，連接BF，點O是線段BF的中點，連接OE，則OE的最小值為_____．18．（2021·連云港市新海實驗中學(xué)九年級二模）如圖，二次函數(shù)的圖象過點(1，0)，對稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若點A(3，)、點B()、點C()在該函數(shù)圖象上，則：⑤若方程的兩根為，且，則其中正確的結(jié)論有__________．(只填序號)19．（2021·珠海市紫荊中學(xué)九年級三模）如圖，正方形的邊長為1，點在邊上運動（不與點，重合），，點在射線上，且，與相交于點，連接、、．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④的面積的最大值是；其中正確的結(jié)論是______．三、解答題20．（2021·浙江衢州市·九年級期末）已知二次函數(shù)y＝2x2﹣x+1，當(dāng)﹣1≤x≤1時，求函數(shù)y的最小值和最大值．彤彤的解答如下：解：當(dāng)x＝﹣1時，則y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4；當(dāng)x＝1時，則y＝2×12﹣1+1＝2；所以函數(shù)y的最小值為2，最大值為4．彤彤的解答正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答．21．（2021·浙江衢州市·九年級期末）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣bx+3（a≠0）的圖象過點A(2，3)，交y軸于點B．（1）求點B的坐標(biāo)及二次函數(shù)圖象的對稱軸；（2）若拋物線最高點的縱坐標(biāo)為4，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（3）已知點(m，y1)，(n，y2)在函數(shù)圖象上且0＜m＜n＜1，試比較y1和y2的大