2024-2025學(xué)年山東省濰坊市安丘市高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年山東省濰坊市安丘市青云學(xué)府高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.一條直線與兩條平行線中的一條成為異面直線，則它與另一條（）

A.相交B.異面C.相交或異面D.平行

2.下列選項中，一定能得出直線a與平面a平行的是（）

A,直線zn在平面a外

B.直線ni與平面a內(nèi)的兩條直線平行

C.平面a外的直線爪與平面內(nèi)的一條直線平行

D.直線血與平面a內(nèi)的一條直線平行

3.a、0是兩個不重合的平面，在下列條件下，可判定a〃°的是（）

A.a、0都平行于直線I、m

B.a內(nèi)有三個不共線的點到￡的距離相等

C」、爪是a內(nèi)的兩條直線且1//0,m///?

D」、m是兩條異面直線且/〃a,m//a,1//P，m//p

4.如圖，PA垂直于以4B為直徑的圓所在平面，C為圓上異于4B的任意一點，則下列關(guān)系中不正確的是

A.PA1BCB.BC1平面P4CC.AC1PBD.PC1BC

5.設(shè)直線/,m,平面a,B，下列條件能得出a〃￡的是（）

A.Zca,mua且〃/￡,m//pB.Ica,mu￡且

C.I1a,m1°且/〃mD.l//a,mJ〃旦

6.下列命題中正確的個數(shù)是（）

①若向量五與辦共線，區(qū)與工共線，貝皈與工共線；

②向量五b,工共面，即它們所在的直線共面；

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③如果三個向量2,b,工不共面，那么對于空間任意一個向量5，存在有序?qū)崝?shù)組（%,z）,使得方:總+y石

+zc；

④若五，石是兩個不共線的向量，而"=抵+而（尢〃€R且加W0）,則3，b,工是空間的一個基底.

7.如圖，四面體/BCD中，點E是。。的中點，記15=2,AC=b,AD=c,則族=（）

”\A

B.-Z+/+至

1-TI-*L—l->

C.5?！猙+5cD.-~a+b+-c

8.已知向量Z=(0,—1,1),3=(4,1,0),|Aa+b\=\/29,且4>0,則4等于()

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.如圖所示，在正方體ABCD-力iBiGDi中，。為DB的中點，直線4C交平面QB。于點M,則下列結(jié)論正

確的是（）「-------弄

A.七，M,。三點共線-|/

B.&C1,平面CiBD

TT

C.直線4C1與平面ABC1D1所成角的為看

D.直線4C和直線8Q是共面直線

10.給出下列命題，其中不正確的為（）

A.若方=而，則必有4與C重合，B與D重合，48與CD為同一線段

B.若五?&＜0,則＜2,b＞是鈍角

c.若荏+而=6,則方與而一定共線

D.非零向量入b,才滿足日與認辦與京才與五都是共面向量，則五、b,才必共面

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11.如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱力中，AC=2,BB、=避,D,E分別為棱BC,BBr

的中點，貝M)

A.2/〃平面ZD。

B.AD1CrD

C.異面直線AC與DE所成角的余弦值為半

D.平面ADJ與平面48c的夾角的正切值為裾

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.化簡2萬+2BC+3CD+3DA+左=.

13.設(shè)O4BC是四面體，Gi是△48C的重心，G是。Gi上的一點，且。G=3GGi，^OG=xOA+yOB+z

OC,則2x+4y+2z=.

14.如圖，二面角a-/一夕的大小是60。，線段ABua.BeI,4B與l所成的角為30。.

則48與平面￡所成的角的正弦值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

己知空間三點4(-2,0,2),5(-1,1,2),C(—3,0,4),設(shè)；=萬，b=AC.

(1)若|c|=3,c〃BC,求〉

(2)若ka+B與左五一2至互相垂直，求實數(shù)k.

16.(本小題15分)

如圖，在正方體4BCD-&B1C1D1中，點E,F分別在&D,4C上，且EF1&D,EF1AC,求證：EF//B

DL

17.(本小題15分)

如圖，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB//CD,乙4BC="DB=90°,CD=1,BC=2,

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DF=1.

(1)求證：BE〃平面DCF；

⑵求點B到平面DCF的距離.

18.(本小題17分)

如圖甲，在直角梯形A8CD中，AB//CD,AB1BC,CD=2AB=2BC=4,過2點作4E1CD,垂足為

E,現(xiàn)將△4DE沿4E折疊，使得DE1EC,取力D的中點F,連接BF,CF,EF,如圖乙.

(1)求證：BC1平面DEC；

⑵求二面角C-BF-E的余弦值.

甲乙B

19.(本小題17分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2的,PB=PC=病,BP,AP,BC的中點分另（j

為D,E,0,AD=肉＞。，點F在4c上，BF1AO.

(1)證明：EF〃平面AD。；

(2)證明：平面力￡＞。_L平面8EF；

⑶求二面角。-20-C的正弦值.

A

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參考答案

l.c

2.C

3.0

4.C

5.C

6.B

7.B

8.C

9sBe

10.4BD

11.XBD

—>

12.0

13.2

14.里

4

15.解：(1)點4(—2,0,2),8(—1,1,2),C(-3,0,4),

.?.前=(-2,-1,2),

由|c|=3,且c〃BC,c=(-2%,—x,2x),

...c2=4x2+x2+4%2=9%2=9,解得％=±1,

??.2=(2,1,_2)或"=(-2,_1,2).

(2)a=AB=(1,1,0),=Ie=(-1,0,2),

若癡+了與21互相垂直，則(丁+)).伍-2石)=0,

>2—>—>—2

k2a—ka-b—2b=0,

即/.(12+12+o2)-fc-(-1+0+0)-2-[(-l)2+02+22]=0,

化簡得2k2+k-10=0,

解得k-一|或k=2.

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16.證明：連結(jié)&Ci，由于止C〃4Ci，EF1AC,

EF±A1Cl,

又EE1A1D,A^Dn/iCi=/i，

EFi平面a?。，①

???BBi_L平面力iBiCi%,ZiCiu平面4B1C1D1，

BBi.L

又ABiCiDi為正方體，

?*?ZiCi-LB]DI，

BB]ClBi%=Bi，

???A1C11平面

而BDiu平面BBiDi。，

?*?BD]_LZi。],

同理，DC11BD1,DC^A^iCi=Ci，

???BDi1平面4心。，②

由①②，得EF//BD1.

17.(1)證明：???AB//CD,480平面DCF,CDu平面DCF,

???力B〃平面DCF,

由矩形2DFE,知4E//DF,

又AEC平面DCF,DFu平面DCF,

.-.4E〃平面DCF,

???AEdAB=A,AEu平面力BE,ABu平面4BE,

?-?平面ABE〃平面DCF,

???BEu平面ABE,

BE〃平面。CF.

(2)解：如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA,DB,DF所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

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???AB//CD,

???Z-ABD=Z.BDCf

又乙ADB="BC=90°,

???AADBs△BCD,且BD=yJCD2+BC2=^/l2+22=6

???亞=嗎即絲=雪

BCCD121

AD=2在，AB=y/AD2+BD2=，20+5=5,

2i

???0(000),F(0,0,l),Z(2肉),0),8(0,低0),C(一苫河0),

?e?BF=(0,一巡,1),CF=(奈,一=,1),DC=(一。,=,0),

f—_Q(磊]―+y+z=I

設(shè)平面DCF的法向量為日=(%,y,z),則[，比=0，即_2%+1),二0

令第=1,則y=2,z=0,????=(1,2,0),

點8到平面。CF的距離為隼粵

18.解：(1)證明：如圖，DE1EC,

DE1AE,

???DE1平面4BCE,

又BCc平面A8CE,

???DE1BC,

又???BC1EC,DEC\EC=E,

BC1平面。EC.

(2)如圖，以點E為坐標(biāo)原點，分別以EC,ED為x,y,z軸建立空間坐標(biāo)系E—xyz,

???E(0,0,0),C(0,2,0),8(20),D(0,0,2),4(2,0,0),尸(1。),

設(shè)平面EFB的法向量用=(Xi,%*。,

由方=(1,0,1),麗=(2,2,0)

所以有｛*:口,

取/=1,得平面EFB的一個法向量超=(%242/2)，

由而=(1-2,1),CB=(2,0,0),

所以有掇一2；2+Z2=0,

取及=L得平面BCF的一個法向量雨=(0,1,2),

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設(shè)二面角C-BF-E的大小為a,

川加a-叱利-IT_715

則cosa一阿.同「昌火--

19.解：(1)證明：由題可知，|尼|=2避，設(shè)而=4而,

■.ABAC=\AB\\AC\COSABAC=4,

■■■JF-AO=(ZZC-AB)?(|AB+|xc)

=^\AC\2-^\AB\2+(^A-^)AB-AC

=8A—4=0,

解得力=!

OF//AB,OF=±AB,

而DE〃4B,DE=y8,

DE//OF,DE=OF,

四邊形ODEF為平行四邊形，

EF//OD,

???ODu平面AD。，￡TU平面2。。，

AEF〃平面力。。.

(2)證明：由(1)可知EF〃。。，貝！|4。=強刀。=乎，

得4。=非DO=率，

因止匕。。2+A02=AD2=當(dāng)，

貝U。。1710,有EF1A0,

又4。1BF,BFC\EF=F,BF,EFu平面BEF,

則有4。_L平面8EF,

又4。u平面AD。，

所以平面4。。，平面BEF.

(3)過點。作。H//BF交AC于點”，設(shè)ADDBE=G,

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