《線性代數(shù)》課件 第4章 初等變換法

第四章初等變換法第四章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容矩陣的初等變換初等變換法求解線性方程組4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

由于線性方程組與它的增廣矩陣有著對(duì)應(yīng)關(guān)系，為了解在求解線性方程組過(guò)程中增廣矩陣的變化，把消元過(guò)程中出現(xiàn)的線性方程組的增廣矩陣寫(xiě)在該方程組的右邊．4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣?yán)酶咚瓜◤纳贤孪来螢椋?/p>

對(duì)應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行的變化為：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

把上述中“行”變?yōu)椤傲小奔吹镁仃嚨?種初等列變換（簡(jiǎn)稱(chēng)列變換）.矩陣的初等變換改變了原來(lái)的矩陣，所得的新矩陣與原矩陣一般不相等，不能用等號(hào)“=”連接,而使用箭線“→”或波浪線“~”連接，表明后一個(gè)矩陣是由前一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)初等變換而得.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

線性方程組與其增廣矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，對(duì)線性方程組的增廣矩陣做初等行變換所得矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組與原方程組同解．也就是說(shuō)初等行變換不改變線性方程組的解．

注意：行變換可施行于任何矩陣，不僅僅是對(duì)于線性方程組的增廣矩陣4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行變換是可逆的：

同理，列變換也可逆.綜上，矩陣的變換都可逆，其逆變換為同類(lèi)型的變換.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行階梯形矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

這樣的矩陣，稱(chēng)為階梯形矩陣.

將非零行的第一個(gè)非零元簡(jiǎn)稱(chēng)為首非零元.

于是行階梯形矩陣需要具備2個(gè)特點(diǎn)：（1）畫(huà)一條階梯線，線下全為0.或者下一行的首非零元在上一行首非零元右側(cè)；（2）每個(gè)臺(tái)階只能跨1行.或者零行在最下方.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：

；；以上矩陣是否為階梯形矩陣？4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：

；；以上矩陣是否為階梯形矩陣？答：A不是階梯形矩陣，因?yàn)榱阈胁辉谧钕路?；B也不是階梯形矩陣，因?yàn)橛幸粋€(gè)臺(tái)階跨了2行；C是階梯形矩陣，因?yàn)殡A梯線下全為0，且每個(gè)臺(tái)階只跨了1行，或者理解為零行在最下方，且下一行的首非零元總在上一行首非零元右側(cè)；D不是階梯形矩陣，第4行的首非零元不在第3行首非零元的右側(cè).4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣行最簡(jiǎn)形矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：；；

，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣思考：；；

，

答：A不是行最簡(jiǎn)形矩陣，首先它就不是階梯形矩陣；B也不是行最簡(jiǎn)形矩陣，它是階梯形矩陣，首非零元所在列除它本身其余全為0，但并非全部首非零元都為1；C是行最簡(jiǎn)形矩陣，首先它是階梯形矩陣，全部首非零元都為1，且首非零元所在列除它本身其余全為0.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣標(biāo)準(zhǔn)形

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

解：4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，例4.1.3

將矩陣A依次化簡(jiǎn)為階梯形、行最簡(jiǎn)形.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，例4.1.3

將矩陣A依次化簡(jiǎn)為階梯形、行最簡(jiǎn)形.解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，

解：第一步，從左往右，關(guān)注第1個(gè)非零列，使得首非零元在該列頂端，通過(guò)交換變換或者倍加變換，使得頂端的首非零元為該列下方元素的約數(shù)；

第二步，用倍加行變換將第1個(gè)非零列首非零元下方的元素變成0.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，第三步，從左往右，關(guān)注第2個(gè)非零列，使得首非零元在第1個(gè)非零列首非零元的右下方；通過(guò)交換變換或者倍加變換，使得第2個(gè)非零列的首非零元為該列下方元素的約數(shù)，用倍加行變換將首非零元下方的元素變成0.

第四步，從左往右，關(guān)注第3個(gè)非零列，用上述的三個(gè)步驟直到?jīng)]有非零行需要處理為止.

至此，得到階梯形矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣；；，第五步，從右往左，關(guān)注第1個(gè)非零列，使得首非零元在該列末端，通過(guò)交換變換或者倍加變換，使得末端的首非零元為該列上方元素的約數(shù)；

第六步，從右往左，關(guān)注第2個(gè)非零列，使得首非零元在第1個(gè)非零列首非零元的左上方；通過(guò)交換變換或者倍加變換，使得第2個(gè)非零列的首非零元為該列上方元素的約數(shù)，用倍加行變換將首非零元上方的元素變成0.

第七步，從右往左，關(guān)注第3個(gè)非零列，用第五、第六的步驟把每個(gè)首非零元上方的各元素變成0.若某個(gè)首非零元不是1，用倍乘變換將它變成1.可以簡(jiǎn)單記憶為：從左往右、從上往下，變換矩陣為階梯形；從右往左、從下往上，變換階梯形為行最簡(jiǎn)形矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣矩陣的秩指的是對(duì)應(yīng)線性方程組中有效方程的個(gè)數(shù).例4.1.5

求矩陣A的秩.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣?yán)?.1.5

求矩陣A的秩.解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

解：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，1.矩陣等價(jià)回顧例4.1.1對(duì)線性方程組的求解，可知所有方程組均為等價(jià)方程組，方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣也等價(jià)．即若兩個(gè)線性方程組的增廣矩陣等價(jià)，則它們同解．由此得矩陣等價(jià)的定義

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，２.初等矩陣定義4.4對(duì)單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，３初等變換與初等矩陣的關(guān)系通過(guò)例4.1.7來(lái)探討初等變換與初等矩陣的關(guān)系

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

左行右列.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，４初等矩陣的逆矩陣在4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形中，已經(jīng)知道初等變換可逆，其逆變換為同類(lèi)型的變換，現(xiàn)在考慮初等矩陣是否可逆？如果可逆，其逆矩陣是什么？

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣

初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)過(guò)相應(yīng)的初等變換得到的，再經(jīng)過(guò)同類(lèi)型的初等逆變換又變回到單位矩陣.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，矩陣等價(jià)、初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣矩陣等價(jià)、初等矩陣與初等變換之間的關(guān)系：

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，歸納總結(jié)后，得到如下定理

定理4.3

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，５.初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，５.初等變換求逆矩陣

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

.4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.

解：4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，

.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.解：

思考題

思考題

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.

4.1矩陣的初等變換4.1.1初等變換與標(biāo)準(zhǔn)形4.1.2初等變換求矩陣的秩4.1.3初等變換求逆矩陣，.解：

回顧與小結(jié)1.行階梯形矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣、標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣初等變換的概念；2.用初等變換求矩陣的秩；3.用初等變換求逆矩陣。4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.1非齊次線性方程組與齊次線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.1非齊次線性方程組與齊次線性方程組

定義4.2.14.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組1.方程組的解

方程組所有可能的解的集合稱(chēng)為方程組的通解，即方程組全部解的一般表達(dá)式就是方程組的通解.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組1.方程組的解

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

定義4.2.24.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組定義4.2.3

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.1判定下列方程組是否為齊次方程組與其解的情況.(1)

(2)(3)(6)(5)(4)4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.1判定下列方程組是否為齊次方程組與其解的情況.(1)

(2)(3)(6)(5)(4)解：根據(jù)前文有關(guān)定義知，(1)(2)(3)是非齊次線性方程組，(4)(5)(6)是齊次線性方程組.方程組(1)無(wú)解，(2)(3)有唯一解，(4)只有零解（有唯一解），(5)(6)有無(wú)窮多解.且(2)(3)、(5)(6)分別為同解方程組也即等價(jià)方程組.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組初等變換法求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解.（1）

（2）（3）4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解.（1）

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解.

（2）

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.2求下列系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解.

（3）

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.3求下列增廣矩陣對(duì)應(yīng)的非齊次線性方程組的解.

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組解：這3個(gè)增廣矩陣均為行最簡(jiǎn)形矩陣，可直接寫(xiě)出方程組的解.

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組（3）對(duì)應(yīng)的3方程組為

等價(jià)于

等價(jià)于

于是原方程組的解為

顯然，如果非齊次方程組出現(xiàn)了矛盾等式則必然無(wú)解，否則有解.同理，有解時(shí)，沒(méi)有自由未知數(shù)則有唯一解，有自由未知數(shù)則有無(wú)窮多解.容易發(fā)現(xiàn)，系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否一致決定了是否會(huì)出現(xiàn)矛盾等式，是否有自由未知數(shù)主要看系數(shù)矩陣（增廣矩陣）的秩與未知數(shù)的個(gè)數(shù)的關(guān)系.4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，.4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.4解線性方程組.4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.5

解線性方程組4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組例4.2.6求解非齊次線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，.4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.2初等變換求解線性方程組

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.2初等變換法求解線性方程組，4.2.3齊次線性方程組的解的性質(zhì)

4.