期末考試壓軸題考點訓練（五）

期末考試壓軸題考點訓練（五）1．如圖，等腰中，于，，為內一點，當最短時，在直線上有一點，連接．的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如下圖以AC為邊向外作正三角形ACF，以BF為邊，B為頂點向∠MBC的外側作∠FBG，使∠FBG=30°，過E作BG的垂線，垂足為H，過點C作BG的垂線，垂足為由∠FBG=30°，HE⊥BG知HE=∴下面計算∵AB=AC=2且∴；∵為內一點，當最短時∴M為△ABC的費馬點由費馬點的特點知BM與BF為同一條直線∵正三角形ACF∴∠CAF=60°又∴∠BAF=150°又AB=AC=AF∴∠ABF=15°又∠ABC=45°∴∠FBC=30°∴∠GBC=60°在RT△中∴的最小值為．故選：D．2．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于點D，AC＝5，BC－AB＝2，則△ADC面積的最大值為（

）A．2 B．2.5 C．4 D．5【答案】B【詳解】延長CD、BA，兩者交于點G，過G點作GH⊥AC，交于AC（或AC的延長線）于點H，如圖，∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，∵BD=BD，∴△BDG≌△BDC，∴BC=BG，CD=DG，∵BCAB=2，∴AG=BCAB=2，∵在△AGC中，GH⊥AC，∴△AGC的面積，∵AC=5，∴，∵在△AGH中，GH⊥AH，∴即∠GHA=90°，△AHG是直角三角形，斜邊為AG，∴GH＜AG，∵AG=2，∴GH＜2，當G點與H點重合時，即AC⊥BG時，可得GH=AG，此時GH達到最大，∴則GH的最大值為2，∴△AGC的最大面積為：，∵CD=DG，∴D點為CG中點，∴，∴△ACD的最大面積為：，故選：B．3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC為邊向上作正方形BCDE，以AC為邊作正方形ACFG，點D落在GF上，連結AE，EG．若DG＝2，BC＝6，則△AEG的面積為（）A．4 B．6 C．5 D．8【答案】D【詳解】解：過點E作于點H，過點E作，垂足為，交的延長線于點在正方形中，，正方形中，，四邊形是矩形在和中，三點同在一條直線上，四邊形是矩形與中四邊形是正方形設正方形的邊長為則，（舍去）與中故選：D．4．如圖，中，，，是邊的中線，有，垂足為點E，交于點D，且平分交于N，交于H，連接，則下列結論：①；②；③；④；錯誤的有（）個．A．0個 B．1個 C．2個 D．4個【答案】A【詳解】解：如圖，過點C作交AD的延長線于K．∵，AH平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴故②③正確，∵∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵∴∵，∴，∴，∴，，故①④正確，因此，錯誤結論個數為0，故選A．5．如圖，中，，點D在內部，且使得．則的度數為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【詳解】如圖，在內作，且使得，連，在和中，，，為等腰三角形，為等腰三角形，，，，為等邊三角形，為等腰三角形，延長CE交AD于F點，故選：C．6．如圖，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，….若∠A＝70°，則∠Bn－1AnAn－1的度數為(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】在△ABA1中，∵∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝∠A＝70°.∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝＝35°.同理，∠B2A3A2＝∠B1A2A1＝，∠B3A4A3＝∠B2A3A2＝，……∴∠Bn－1AnAn－1＝＝.故選C.7．如圖所示，在和中，，，，連接、，將繞點旋轉一周，在旋轉的過程中，當最大時，______．【答案】6【詳解】解：如圖，將繞點A旋轉一周，D的軌跡為以點A圓心，AD為半徑的圓，過A作BD垂線交BD延長線于H，當最大時，AH最大，在旋轉過程中，即時，AH取得最大值3此時直角三角形中，的面積為，如圖，取取BD中點G，連接AG并延長至F，使得FG=AG，故答案為：6．8．2022年2月，北京冬奧會舉行期間，某官方特許商品零售店有冬奧會吉祥物冰墩墩和雪融融兩種商品（冰墩墩的價格高于雪融融的價格）深受廣大市民的喜愛，導致“一墩難求”．該零售店試銷第一天購進兩種商品共10個，第二天購進兩種商品共16個，第三天購進兩種商品共26個，并且每天都能全部售完，結算后發(fā)現(xiàn)這三天的營業(yè)額均為3500元，兩種商品的售價不變且均為整數，則冰墩墩的售價是______元．【答案】【詳解】解：設冰墩墩的價格為每個元，雪融融的價格為每個元，第一天，第二天，第三天依次購買冰墩墩個，個，個，令則則可令則為整數，所以第一天購買9個冰墩墩，1個雪融融，第二天購買6個冰墩墩，10個雪融融，第三天購買1個冰墩墩，25個雪融融，解得：檢驗：，所以冰墩墩的價格為元.故答案為：元.9．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是軸上的一條動線段，且，當取最小值時，點坐標為______.【答案】【詳解】解：如圖把點4向右平移1個單位得到E（1，1），作點E關于x軸的對稱點F（1，1），連接BF，BF與x軸的交點即為點Q，此時4P+PQ+QB的值最小.設最小BF的解析式為y=kx+b，則有解得∴直線BF的解析式為y=x2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案為（2，0）.10．如圖，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D為BC上一動點，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為_________【答案】【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥BC，連接DF，設AF=x，則BF=4－x，∵EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，∴DF=AF=x，∵，∴，∵FD≥FH，∴，解得：，∴AF最小值是，∴BF的最大值是．故答案為：．11．已知點C是∠MAN平分線上一點，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當點E在線段AB上時，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當點E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與BE之間的等量關系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點F，交AC于點O，連接DO并延長交AB于點G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．【答案】（1）見解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由見解析；（3）3．【詳解】（1）證明：如圖1，過點C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如圖2，過點C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；（3）解：如圖3，在BD上截取BH＝BG，連接OH，∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，∵AO是∠MAN的平分線，BO是∠ABD的平分線，∴點O到AD，AB，BD的距離相等，∴∠ODH＝∠ODF，∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．12．如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB分別交y軸、x軸于點，點，且a、b滿足．(1)求a，b的值：(2)以AB為邊作，點C在直線AB的右側且，求點C的坐標；(3)若（2）的點C在第四象限（如圖2），AC與x交于點D，BC與y軸交于點E，連接DE，過點C作交x于點F．①求證；②直接寫出點C到DE的距離．【答案】(1)，；(2)或；(3)①見解析；②1【詳解】（1）解：，，，，，，；（2）由（1）知，，，，，，是直角三角形，且，只有或，Ⅰ、當時，如圖1，，，過點作于，，，，在和中，，≌，，，，，Ⅱ、當時，如圖2，同Ⅰ的方法得，；即：滿足條件的點或；（3）①如圖3，由（2）知點，過點作軸于點，則，在和中，，≌，，，，，，，在和中，，≌，，；②點到的距離為1．如圖4，過點作于點，過點作于點，由①知，，，，，，，≌，，．13．如圖1，含角的直角三角板與含角的直角三角板的斜邊在同一直線上，D為的中點，將直角三角板繞點D按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中：（1）如圖2，當________時，；當______時，；（2）如圖③，當直角三角板的邊、分別交、的延長線于點M、N時；①與度數的和是否變化？若不變，求出與度數的和；若變化，請說明理由；②若使得，求出、的度數，并直接寫出此時的度數；③若使得，求的度數范圍．【答案】（1）15°，105°；（2）①不變，60°；②∠1＝40°，∠2＝20°，∠α=85°；③69°≤α＜90°【詳解】解：（1），當時，，而，，解得；當時，，此時，，解得；故答案為，；（2）①與度數的和不變．連接，如圖3，在中，，，在中，，即，；②根據題意得，解得；，即，；③，，，，，即，，，解得，的度數范圍為．14．已知中，（1）如圖1，點E為的中點，連并延長到點F，使，則與的數量關系是________．（2）如圖2，若，點E為邊一點，過點C作的垂線交的延長線于點D，連接，若，求證：．（3）如圖3，點D在內部，且滿足，，點M在的延長線上，連交的延長線于點N，若點N為的中點，求證：．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【詳解】證明：（1）由題意可得：在和中∴∴（2）過點A引交于點F，如下圖：由題意可得：，且則又∵∴平分，∴∴在和中∴∴在和中∴。∴（3）證明：過點作交的延長線于點，，在上取一點，使得，連接，如下圖：∵∴∵，∴∴，∵∴∵∴∴∴∵∴∵∴∵∴又∵∴∴∴∴∴∵∴15．已知：如圖四邊形ABCD是正方形，∠EAF＝45°．（1）如圖1，若點E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，延長線段CB至G，使得BG＝DF，若BE＝4，BG＝3，求EF的長；（2）如圖2，若點E，F(xiàn)分別在邊CB、DC延長線上時，求證：EF＝DF﹣BE；（3）如圖3，如果四邊形ABCD不是正方形，但滿足AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝12，CF＝6，請你直接寫出BE的長．【答案】（1）EF＝7；（2）見解析；（3）BE＝【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠D＝∠ABC＝90°，∵AB＝AD，∠D＝∠ABG，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠GAE，∴∠GAE＝∠EAF，又∵AG＝AF，AE＝AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝GE，∴EF＝GE＝BE+BG＝4+3＝7；（2）如圖2，在DF上截取DM＝BE，∵AD＝AB，∠ABE＝∠ADM＝90°，DM＝BE，∴△ABE≌△AD