特訓(xùn)03全等三角形壓軸題（八大題型歸納）（原卷版）2

特訓(xùn)03全等三角形壓軸題（八大題型歸納）目錄：題型1：垂線模型；題型2：一線三等角模型；題型3：手拉手模型；題型4：旋轉(zhuǎn)模型；題型5：倍長中線模型；題型6：截長補(bǔ)短模型；題型7：作平行線法、作垂線法；題型8：半角模型.題型1：垂直模型1．已知，中，，，直線m過點A，且于D，于E，當(dāng)直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)．(1)當(dāng)直線m繞點A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：與、的關(guān)系如何？請予證明；(2)直線m在繞點A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）2．如圖1所示，已知中，，直線m經(jīng)過點C，過A、B兩點分別作直線m的垂線，垂足分別為E、F．（1）如圖1，當(dāng)直線m在A、B兩點同側(cè)時，求證：；（2）若直線m繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時（），其余條件不變，猜想與，有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；（3）若直線m繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時（）其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？直接寫出猜想結(jié)論，不需證明．3．如圖，已知中，，，分別過、向過的直線作垂線，垂足分別為．（1）如圖1，過的直線與斜邊不相交時，直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖2，過的直線與斜邊相交時，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3）在（2）的條件下，如圖3，直線交于點，延長交于點，連接、、，若，，，四邊形的面積是90，求的面積．題型2：一線三等角模型4．綜合與實踐數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“過等腰三角形頂點的直線”為主題開展數(shù)學(xué)探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線l經(jīng)過點A．小華分別過B、C兩點作直線l的垂線，垂足分別為點D、E．易證，此時，線段、、的數(shù)量關(guān)系為：；(2)拓展應(yīng)用：如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點C的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為．請利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫出點A的坐標(biāo)：；(3)遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個等腰，，且，她在直線l上取兩點D、E，使得，請你幫助小華判斷（1）中線段、、的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關(guān)系式并說明理由；②如圖丁，中，，，點D、E在直線上，且，請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．5．感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線上，且，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．應(yīng)用：(1)如圖2，中，，直線經(jīng)過點C，過A作于點D，過B作于點E．求證：．(2)如圖3，在中，D是上一點，，求點C到邊的距離．(3)如圖4，在中，E為邊上的一點，F(xiàn)為邊上的一點．若，求的值．6．通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過點B作于點C，過點D作于點E．求證：．[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為________________．[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點F，與直線交于點G．若，，則的面積為_____________．題型3：手拉手模型7．如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個數(shù)為（）A．① B．①② C．①②③ D．①②④8．兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并將它們的底角頂點分別對應(yīng)連接起來得到兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．9．已知：△ABC與△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如圖1，如果A、B、D在一直線上，且∠ABC＝60°，求證：△BMN是等邊三角形；（2）在第（1）問的情況下，直線AE和CD的夾角是°；（3）如圖2，若A、B、D不在一直線上，但∠ABC＝60°的條件不變則直線AE和CD的夾角是°；（4）如圖3，若∠ACB＝60°，直線AE和CD的夾角是°．10．在ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）（請直接寫出你的結(jié)論）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上：①如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，則∠BCE＝°；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如圖2，當(dāng)點D在線段BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；②當(dāng)點D在直線BC上移動，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論．11．（1）如圖①，和都是等邊三角形，且點，，在一條直線上，連結(jié)和，直線，相交于點．則線段與的數(shù)量關(guān)系為_____________．與相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)為___________．（2）如圖②，點，，不在同一條直線上，其它條件不變，上述的結(jié)論是否還成立．（3）應(yīng)用：如圖③，點，，不在同一條直線上，其它條件依然不變，此時恰好有．設(shè)直線交于點，請把圖形補(bǔ)全．若，則___________．12．和都是等腰直角三角形，，將繞點D旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點B落在直線上時，若，，求的長；（2）如圖2，直線、交于點F，再連接，求證：；（3）如圖3，，，G為中點，連接，，以直角邊構(gòu)造等腰，過H作交于點I，連接，當(dāng)最小時，直接寫出的長度．題型4：旋轉(zhuǎn)模型13．如圖1，在等腰Rt中，，點D、E分別在邊、上，，連接，點M、P、N分別為、、的中點．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，求面積的最大值．14．如圖，等邊中，分別交、于點、．（1）求證：是等邊三角形；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)（），設(shè)直線與直線相交于點．①如圖，當(dāng)時，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；②若，，當(dāng)，，三點共線時，求的長．15．四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個角頂點放在處，將角繞點旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點．（1）當(dāng)、都在線段上時（如圖1），請證明：；（2）當(dāng)點在邊的延長線上時（如圖2），請你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請直接寫出的長為．16．已知：等腰和等腰中，，，．（1）如圖1，延長交于點，若，則的度數(shù)為；（2）如圖2，連接、，延長交于點，若，求證：點為中點；（3）如圖3，連接、，點是的中點，連接，交于點，，，直接寫出的面積．題型5：倍長中線模型17．（1）如圖1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）如圖2，在ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE＋CF＞EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，點E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，連接EF，試探索線段AF，EF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．18．（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_______；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，DF交于點F，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個的角，角的兩邊分別交于E、F兩點，連接EF，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．19．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點D是線段AM上一動點．（1）如圖1，點C是BM延長線上一點，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；（2）如圖2，在（1）的條件下，點E是△ABM外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當(dāng)E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）20．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是AC，AB上的動點，且AE＝CD，BD交CE于點P．（1）如圖1，求證：∠BPC＝120°；（2）點M是邊BC的中點，連接PA，PM，延長BP到點F，使PF＝PC，連接CF，①如圖2，若點A，P，M三點共線，則AP與PM的數(shù)量關(guān)系是．②如圖3，若點A，P，M三點不共線，問①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，說明理由．題型6：截長補(bǔ)短模型21．如圖，在銳角中，，點D，E分別是邊上一動點，連接BE交直線于點F．(1)如圖1，若，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，點N是的中點，連接．在點D，E運動過程中，猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．22．把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，組成一個四邊形以D為頂點作，交邊、于M、N．(1)若，，兩邊分別交、于點M、N，、、三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)時，、、三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在、的延長線上，完成圖3，其余條件不變，則、、之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）23．如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點O．(1)求證：；(2)如圖2，若點G是線段上一點，平分，，交所在直線于點F．求證：．(3)如圖3，若點G是線段上一點（不與點O重合），連接，在下方作，邊交所在直線于點F．猜想：三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．24．問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC．CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．25．（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點D作，垂足為點E，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．26．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．題型7：作平行線法、作垂線法27．如圖，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延長線交DE于G，下列結(jié)論：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正確的結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④28．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進(jìn)行證明．29．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點F，連接DF．(1)請直接寫出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中的△CDE繞點C按逆時針旋轉(zhuǎn)，①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．30．我們定義：三角形一個內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個內(nèi)角相鄰的外角的平分