2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.3冪函數(shù)一課一練含解析新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE1第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.3冪函數(shù)第1課時(shí)冪函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)考點(diǎn)1冪函數(shù)的概念1.(2024·云南大理一中月考)下列所給出的函數(shù)中,是冪函數(shù)的是()。A.y=-x3B.y=x-3C.y=2x3 D.y=x3-1答案：B解析：依據(jù)冪函數(shù)的定義可得y=x-3是冪函數(shù)。2.(2024·鄭州九中周練)若使(3-2x-x2)-34有意義,則x的取值范圍是(A.RB.(-∞,1)∪(1,3)∪(3,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案：C解析：(3-2x-x2)-34=14(3-2x-x2)3,3.(2024·天津大港一中月考)下列函數(shù)中,定義域是R的是()。A.y=x-2 B.y=xC.y=x2 D.y=x-1答案：C解析：函數(shù)y=x-2,y=x-1的定義域?yàn)閧x|x∈R,x≠0},函數(shù)y=x12的定義域?yàn)閧x|x≥0},函數(shù)y=x2的定義域?yàn)镽。故選4.(2024·衡水中學(xué)月考)冪函數(shù)y=xα中的α的取值集合C是-1,0,12,1,2,A.-1,0C.-1,1答案：C解析：結(jié)合函數(shù)的圖像知,當(dāng)α=-1,12,1,3時(shí)定義域與值域相同,α=0,25.(2024·北京四中單元測試)在函數(shù)①y=1x,②y=x2,③y=x+1x,④y=1,⑤y=2x2,⑥y=x-12中,A.①②④⑤ B.③④⑥C.①②⑥ D.①②④⑤⑥答案：C解析：冪函數(shù)是形如y=xα(α為常數(shù))的函數(shù),①是α=-1的情形,②是α=2的情形,⑥是α=-12的情形,所以①②⑥都是冪函數(shù);③是對勾函數(shù),不是冪函數(shù);④是常數(shù)函數(shù),不是冪函數(shù);⑤中x2的系數(shù)是2,所以不是冪函數(shù)。所以只有①②⑥6.(2024·四川成都高一上期末考試)已知函數(shù)f(x)=(a2-a-1)x1a-2為冪函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為A.-1或2 B.-2或1C.-1 D.1答案：C解析：因?yàn)閒(x)=(a2-a-1)x1a-2為冪函數(shù),所以a2-a-1=1,即a=2或-1。又a-2≠0,7.(2024·北京育才學(xué)校期中)冪函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,4),則該冪函數(shù)的解析式為()。A.y=x4 B.y=x2C.y=x+2 D.y=2x答案：B解析：題中要求f(x)為冪函數(shù),故解除A,C,D選項(xiàng)。8.(2024·浙江杭州長征中學(xué)高一期中)已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過點(diǎn)(2,2),則f(9)=。

答案：81解析：∵冪函數(shù)f(x)=xα的圖像過點(diǎn)(2,2),∴f(2)=(2)α=2,解得α=2,∴f(x)=x2,∴f(9)=92=81。故答案為81。9.(2024·青島調(diào)考)已知冪函數(shù)f(x)=k·xα的圖像過點(diǎn)12,22,則k+答案：3解析：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù),所以k=1。又因?yàn)槠鋱D像過點(diǎn)12,22,所以22=12α,解得α=12考點(diǎn)2冪函數(shù)的圖像10.(2024·東北三校聯(lián)考)如圖3-3-1-1給出四個(gè)冪函數(shù)的圖像,則圖像與函數(shù)大致對應(yīng)的是()。圖3-3-1-1A.①y=x2,②y=x13,③y=x12,④B.①y=x3,②y=x2,③y=x12,④y=C.①y=x2,②y=x3,③y=x12,④y=D.①y=x13,②y=x12,③y=x2,④答案：B解析：留意到函數(shù)y=x2≥0,且該函數(shù)是偶函數(shù),其圖像關(guān)于y軸對稱,該函數(shù)圖像應(yīng)與②對應(yīng);y=x12=x的定義域、值域都是[0,+∞),該函數(shù)圖像與③對應(yīng);y=x-1=1x,11.(2024·寧波模塊統(tǒng)考)函數(shù)y=x13的圖像是(圖3-3-1-2答案：B解析：由冪函數(shù)y=x13的性質(zhì)知,圖像過點(diǎn)(0,0),(1,1),故解除A,D。因?yàn)閥=xα中0<α=13<1,所以圖像在第一象限內(nèi)上凸,12.(2024·黃岡中學(xué)月考)函數(shù)y=x12-1的圖像關(guān)于x軸對稱的圖像大致是(圖3-3-1-3答案：B解析：y=x12的圖像在第一象限,函數(shù)y=x12-1的圖像可看作是由y=x12的圖像向下平移一個(gè)單位長度得到的,將y=x13.(2024·西北工大附中月考)如圖3-3-1-4所示,C1,C2,C3為三個(gè)冪函數(shù)y=xk在第一象限內(nèi)的圖像,則解析式中k的值依次可以是()。圖3-3-1-4A.-1,12,3 B.-1,3,C.12,-1,3 D.1答案：A解析：依據(jù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,kC1<0<kC2<kC3,所以解析式中k的值依次可以是14.(2024·湖北仙桃一中單元測試)冪函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)2,14,答案：f(x)=x-2 解析：設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xα。∵其圖像過點(diǎn)2,14,∴2α=14=2-2,∴α=-2,∴函數(shù)解析式為f(x15.(2024·云南大理高一期中)已知函數(shù)y=a(x-4)+2(a>0,且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)P,且P在冪函數(shù)f(x)的圖像上,則f(x)=。

答案：x解析：由一次函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)y=a(x-4)+2(a>0,且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)P(4,2)。設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xα,由P在冪函數(shù)f(x)的圖像上,可得4α=2,解得α=12,所以f(x)=x考點(diǎn)3冪函數(shù)的性質(zhì)16.(2024·吉林榆樹一中高一期中)下列冪函數(shù)中圖像過點(diǎn)(0,0),(1,1)且為偶函數(shù)的是()。A.y=x12 B.y=C.y=x-1 D.y=x3答案：B解析：在A中,y=x12過點(diǎn)(0,0),(1,1),是非奇非偶函數(shù),故A錯(cuò)誤;在B中,y=x2過點(diǎn)(0,0),(1,1),是偶函數(shù),故B正確;在C中,y=x-1不過點(diǎn)(0,0),過點(diǎn)(1,1),是奇函數(shù),故C錯(cuò)誤;在D中,y=x3過點(diǎn)(0,0),(1,1),是奇函數(shù),故D錯(cuò)誤。故選17.(2024·浙江紹興諸暨中學(xué)高一期中)已知冪函數(shù)y=(m2-3m-3)xm3是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)m的值是(A.4 B.-1C.3+212 D.4答案：A解析：已知函數(shù)y=(m2-3m-3)xm3是冪函數(shù),則m2-3m-3=1,解得m=-1或m當(dāng)m=-1時(shí),y=x-13不是偶函數(shù);當(dāng)m=4時(shí),y=x43是偶函數(shù)。綜上,實(shí)數(shù)m18.(2024·河北保定博野中學(xué)高一期中)下列函數(shù)既是偶函數(shù)又是冪函數(shù)的是()。A.y=x B.y=xC.y=x12 D.y=|答案：B解析：對于A,函數(shù)是奇函數(shù),不合題意;對于B,函數(shù)是偶函數(shù)且是冪函數(shù),符合題意;對于C,函數(shù)不是偶函數(shù),不合題意;對于D,函數(shù)不是冪函數(shù),不合題意。故選B。19.(2024·廣東肇慶高一期中調(diào)考)已知冪函數(shù)f(x)=xα(α為常數(shù))的圖像過點(diǎn)P2,12,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(A.(-∞,0) B.(-∞,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(-∞,0),(0,+∞)答案：D解析：由題意得2α=12,則α=-1,則y=f(x)=x-1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0),(0,+∞)20.(2024·湖南邊城一中單元檢測)設(shè)α∈-1,12,1,3,則使函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽A.1,3 B.-1,1C.-1,3 D.-1,1,3答案：A解析：若函數(shù)y=xα的定義域?yàn)镽,則α可取1,3;若函數(shù)y=xα為奇函數(shù),則α可取-1,1,3,故α取1,3。故選A。21.(2024·鄭州調(diào)考)下列函數(shù)中既是偶函數(shù),又在(-∞,0)上為增函數(shù)的是()。A.y=x43 B.yC.y=x-2 D.y=x答案：C解析：y=x43在(-∞,0)上是減函數(shù);y=x32的定義域?yàn)閇0,+∞),是非奇非偶函數(shù);y=x-2既是偶函數(shù),又在(-∞,0)上為增函數(shù);y=x-考點(diǎn)4冪函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)的綜合問題22.(2024·甘肅天水一中高一其次次考試)冪函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,8),則滿意f(x)=27的x為()。A.3 B.1C.27 D.1答案：A解析：設(shè)f(x)=xα,則f(2)=2α=8,則α=3,由f(x)=x3=27,得x=3,故選A。第2課時(shí)冪函數(shù)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)1利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小1.(2024·北京八中單元測試)a=1.212,b=0.9-12,c=1.1A.c<a<bB.a<c<bC.b<a<c D.c<b<a答案：D解析：∵y=x12是增函數(shù),∴1.212>10.912>1.2.(2024·江西臨川一中單元測試)下列不等式在a<b<0的條件下不成立的是()。A.a-1>b-1 B.a13C.b2<a2 D.a-2答案：D解析：分別構(gòu)造函數(shù)y=x-1,y=x23,y=x2,y=x-23,其中函數(shù)y=x-2,y=x2在(-∞,0)上為減函數(shù),而y=x23,y=x考點(diǎn)2利用冪函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍3.(2024·湖北長陽第一高級中學(xué)高一期中)若冪函數(shù)y=xm是偶函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)為減函數(shù),則實(shí)數(shù)m的值可能為()。A.-2B.12C.-12答案：A解析：結(jié)合選項(xiàng),若y=xm是偶函數(shù),則m的值可能為2或-2。當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)為減函數(shù),則m=-2符合。4.(2024·福建寧德霞浦一中高一期中)若冪函數(shù)f(x)過點(diǎn)(2,8),則滿意不等式f(a-3)>f(1-a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

答案：(2,+∞)解析：設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xa,其圖像過點(diǎn)(2,8),所以2a=8,解得a=3,所以f(x)=x3,因?yàn)閒(x)=x3在R上為增函數(shù),所以由f(a-3)>f(1-a),得a-3>1-a,解得a>2。所以滿意不等式f(a-3)>f(1-a)的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,+∞)。5.(2024·武漢二中周練)若(a+1)-1<(3-2a)-1,試求a的取值范圍。答案：解:∵(a+1)-1<(3-2a)-1,∴a+1>0,3-2a>0,a+1>3-2a或a+1<0考點(diǎn)3冪函數(shù)圖像的應(yīng)用6.(2024·深圳中學(xué)單元測試)如圖3-3-2-1,曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖像,已知n取±2,±12四個(gè)值,則相應(yīng)于曲線C1,C2,C3,C4的n值依次為()圖3-3-2-1A.-2,-12,12,2B.2,12,-12,-2C.-12,-2,2,1答案：B解析：函數(shù)y=x-2,y=x2,y=x-12,y=x12中,令x=4得到的函數(shù)值依次為116,16,12,2。函數(shù)值由大到小對應(yīng)的解析式為y=x2,y=x12,y=x-12,y=x-2,因此相應(yīng)于曲線C1,C2,C3,C7.(2024·廣西河池示范性中學(xué)課改聯(lián)盟體高一聯(lián)考)已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖像過點(diǎn)2,12,則函數(shù)g(x)=(x-2)f(x)在區(qū)間12,A.-1 B.-2 C.-3 D.-4答案：C解析：由已知得2a=12,解得a=-1,∴g(x)=x-2x在區(qū)間12,1上單調(diào)遞增,則g(x)min考點(diǎn)4冪函數(shù)圖像與性質(zhì)應(yīng)用的綜合問題8.(2024·山東煙臺二中質(zhì)檢)對于冪函數(shù)f(x)=x45,若0<x1<x2,則fx1+x22A.fx1+B.fx1+C.fx1+D.無法確定答案：A解析：冪函數(shù)f(x)=x45在(0,+∞)上是增函數(shù),且圖像上凸(圖略),∴當(dāng)0<x1<x2時(shí),fx1+x9.(2024·山東濟(jì)南一中期中考試)已知冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),則函數(shù)f答案：f(x)=x4解析：因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù),所以-m2+2m+3為偶數(shù)。又f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),所以-m2+2m+3>0,所以-1<m<3,又m∈Z,-m2+2m+3為偶數(shù),所以m=1,故所求解析式為f10.(2024·四川石室中學(xué)單元測試)給出下面四個(gè)條件:①f(m+n)=f(m)+f(n);②f(m+n)=f(m)·f(n);③f(mn)=f(m)·f(n);④f(mn)=f(m)+f(n)。假如m,n是冪函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的隨意兩個(gè)值,那么冪函數(shù)y=f(x)肯定滿意的條件的序號為。

答案：③解析：設(shè)f(x)=xa,則f(m+n)=(m+n)a,f(m)+f(n)=ma+na,f(m)·f(n)=ma·na=(mn)a,f(mn)=(mn)a,所以f(mn)=f(m)·f(n)肯定成立,其他三個(gè)不肯定成立,故填③。11.(2024·江蘇清江中學(xué)月考)已知冪函數(shù)f(x)=xm-3(m∈N*)的圖像關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),求滿意fa+1-m3<f答案：解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以m-3<0,解得m<3。因?yàn)閙∈N*,所以m=1或2。又函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,所以m-3是偶數(shù)。而2-3=-1為奇數(shù),1-3=-2為偶數(shù),所以m=1。故f(x)=x-2,f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù),在(0,+∞)上為減函數(shù)。所以fa+1-13<f3-2a-13等價(jià)于a+23>83-2a,且83-2a≠0,a+12.(2024·福建龍巖連城一中高一期中)已知冪函數(shù)f(x)=x9-3m(m∈N*)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,且在R上函數(shù)值隨x的增大而增大。(1)求f(x)的解析式;答案：由題可知,函數(shù)在R上單調(diào)遞增?！?-3m>0,解得m<3。又m∈N*,∴m=1,2。又函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,∴9-3m為奇數(shù),