中考數(shù)學專項復習：二次函數(shù)與幾何模型綜合壓軸突破

二次函數(shù)與幾何模型綜合壓軸突破

《學習目標分解》

L熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質；

2.掌握二次函數(shù)與幾何綜合問題的處理方法.

《重難點分析》

1.二次函數(shù)圖象和性質的綜合應用；

2.二次函數(shù)與幾何問題的綜合處理；

3.二次函數(shù)與新定義問題的處理.

《專題熱點精準分析》

二次函數(shù)與幾何綜合問題

1.二次函數(shù)與幾何圖形的面積問題

二次函數(shù)與幾何圖形的面積問題一般是利用面積公式表達出圖形的面積函數(shù)關系式一

-一般是二次函數(shù)的表達式，再利用函數(shù)的解析式的特點求面積的最值問題；此外還會涉及

到面積相等、給出面積的值等問題，其核心處理方法都是表示出面積的表達式，再去研究相

關的性質.

2.二次函數(shù)與等腰三角形

在二次函數(shù)的圖象中研究等腰三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準頂角

與底角是分類討論的關鍵，借助等腰三角形的等邊對等角、等角對等邊、三線合一等性質來

轉化已知條件是常用的處理手段.

3.二次函數(shù)與直角三角形

在二次函數(shù)的圖象中研究直角三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準直角

頂點是分類討論的關鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補等性質來轉化已知條件是

常用的處理手段.

4.二次函數(shù)平行四邊形

在二次函數(shù)的圖象中研究平行四邊形的問題常會用到平行四邊形的一些性質之間的轉

化，同時此類問題也會涉及到矩形、菱形、正方形的確定，其分析思想是互通的.

5.二次函數(shù)與線段和、差的最值問題

在二次函數(shù)的圖象中研究線段的和、差最值問題，一般會用到初二所學的將軍飲馬問題

的思想，其本質一般是三點共線問題的處理.

典例1.如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,OB=OC.點

D在函數(shù)圖象上，CD〃x軸，且CD=2,直線1是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點.

（1）求b、c的值；

（2）如圖①，連接BE,線段0C上的點F關于直線1的對稱點F恰好在線段BE上，求點

F的坐標；

（3）如圖②，動點P在線段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M,與拋物線

交于點N.試問：拋物線上是否存在點Q,使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ

的長度最??？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由.

VOB=OC,C（0,c）,；.B點的坐標為（-c,0）,

0=C2+2C+C,解得c=-3或c=0（舍去），c=-3；

（2）設點F的坐標為（0,m）.

:對稱軸為直線x=l,.?.點F關于直線1的對稱點F的坐標為（2,m）.

由（1）可知拋物線解析式為y=x2-2x-3=（x-1）2-4,：.E（1,-4）,

:直線BE經過點B（3,0）,E（1,-4）,

利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達式為y=2x-6.

:點F在BE上，；.m=2x2-6=-2,即點F的坐標為（0,-2）；

（3）存在點Q滿足題意.

設點P坐標為（n,0）,則PA=n+l,PB=PM=3-n,PN=-n2+2n+3.

作QR_LPN,垂足為R,

11n

,

■/SAPQN=SAAPM，(n+1)(3-n)=^(-n+2n+3)?QR，QR=L

①點Q在直線PN的左側時，Q點的坐標為(n-1,n2-4n),R點的坐標為(n,n2-4n),

N點的坐標為(n,n2-2n-3).

.?.在RtAQRN中，NQ2=1+(2n-3)2,

；?n=|■時，NQ取最小值1.此時Q點的坐標為g,4)；

②點Q在直線PN的右側時，Q點的坐標為(n+1,n2-4).

同理，NQ2=1+(2n-1)2,

???得時，NQ取最小值1.止匕時Q點的坐標為塔，弋■).

綜上可知存在滿足題意的點Q,其坐標為(|,學或得,得).

【精準解析】(1)由條件可求得拋物線對稱軸，則可求得b的值；由OB=OC,可用c表示

出B點坐標，代入拋物線解析式可求得c的值；(2)可設F(0,m),則可表示出F的坐標，

由B、E的坐標可求得直線BE的解析式，把F坐標代入直線BE解析式可得到關于m的方

程，可求得F點的坐標；(3)設點P坐標為(n,0),可表示出PA、PB、PN的長，作QR_LPN,

垂足為R,則可求得QR的長，用n可表示出Q、R、N的坐標，在R3QRN中，由勾股定

理可得到關于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質可知其取得最小值時n的值，則可求得Q

點的坐標，

練習1.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A(-1,0),B(4,0),

C(0,-4)三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)是否存在點P,使APOC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若

不存在，請說明理由；

(3)動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大,求出此時P點坐標和4PBC的最大面積.

【答案】解：(1)設拋物線解析式為y=ax?+bx+c,

a-b+c=O(a=l

把A、B、C三點坐標代入可得＜16a+4b+c=0，解得，b=-3,

c=-4c=-4

...拋物線解析式為y=x2-3x-4；

(2)作OC的垂直平分線DP,交0C于點D,交BC下方拋物線于點P,如圖1,

，PO=PC,止匕時P點即為滿足條件的點,

VC(0,-4),；.D(0,-2),；.P點縱坐標為-2,

代入拋物線解析式可得X2-3X-4=-2,解得x=2二叵(小于0,舍去)或x=:升歷,

22

...存在滿足條件的P點，其坐標為(主叵，-2)；

2

(3);點P在拋物線上，.?.可設P(t,t2-3t-4),

過P作PELx軸于點E,交直線BC于點F,如圖2,

圖2

VB(4,0),C(0,-4),直線BC解析式為y=x-4,

AF(t,t-4),；.PF=(t-4)-(t2-3t-4)=-t2+4t,

SAPBC=SAPFC+SAPFB=—PF?OE+—PF?BE=—PF?OB=-^(-t2+4t)x4=-2(t-2)2+8,

2222

...當t=2時，SAPBC最大值為8,此時t2-3t-4=-6,

...當P點坐標為(2,-6)時，△PBC的最大面積為8.

【精準解析】(1)由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(2)由

題意可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點縱坐標，代入拋物線解析式可求得

P點坐標；(3)過P作PELx軸，交x軸于點E,交直線BC于點F,用P點坐標可表示出

PF的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質可求得△PBC面積的最大值及P

點的坐標.

《小結》

二次函數(shù)與幾何圖形的面積問題一般是利用函數(shù)的面積公式表達出圖形的面積函數(shù)關系式

——一般是二次函數(shù)的表達式，再利用函數(shù)的解析式的特點去研究面積的特點.

典例2.已知拋物線ci的頂點為A(-1,4),與y軸的交點為D(0,3).

(1)求5的解析式；

(2)若直線h：y=x+m與ci僅有唯一的交點，求m的值；

(3)若拋物線ci關于y軸對稱的拋物線記作C2,平行于x軸的直線記作卜：y=n.試結合

圖形回答：當n為何值時，12與C1和C2共有：①兩個交點；②三個交點；③四個交點；

(4)若C2與x軸正半軸交點記作B,試在x軸上求點P,使4PAB為等腰三角形.

【答案】解：(1)?.?拋物線C1的頂點為A(-1,4),

...設拋物線ci的解析式為y=a(x+1)2+4,

把D(0,3)代入y=a(x+1)2+4得3=a+4,.\a=-1,

拋物線ci的解析式為：y=-(x+1)2+4,BPy=-x2-2x+3；

r2

(2)解《尸-X-2x+3得x2+3x+m-3=o,

y=x+in

?.?直線h：y=x+m與ci僅有唯一的交點，.?.△=9-4m+12=0,；.m=2L；

4

(3).??拋物線ci關于y軸對稱的拋物線記作C2，

拋物線C2的頂點坐標為(1,4),與y軸的交點為(0,3),

拋物線C2的解析式為：y=-X2+2X+3,

...①當直線L過拋物線CI的頂點(-1,4)和拋物線記作C2的頂點(1,4)時，即n=4時，

b與C1和C2共有兩個交點；

②當直線L過D(0,3)時，即n=3時，12與5和C2共有三個交點；

③當3<n<4或n<3時，12與5和C2共有四個交點；

(4)如圖，：若C2與x軸正半軸交于B,；.B(3,0),；.OB=3,AB=,)2=4

血,

①當AP=AB=4&時，PB=8,APi(-5,0),

②當AB=BP=4底時，P2(3-40,0)或P3(3+40,0),

③當AP=PB時，點P在AB的垂直平分線上，；.PA=PB=4,.*.P4(-1,0),

綜上所述，點P的坐標為(-5,0)或(3-4亞，0)或(3+4?,0)或(-1,0)時，

APAB為等腰三角形.

【精準解析】(1)設拋物線Cl的解析式為y=a(x+1)2+4,把D(0,3)代入y=a(x+1)2+4

即可得到結論；(2)解方程組得到x2+3x+m-3=0,由于直線h：y=x+m與5僅有唯一的交

點，于是得到△=9-4m+12=0,即可得到結論；(3)根據軸對稱的性質得到拋物線C2的解

析式為：y=-x2+2x+3,根據圖象即可剛剛結論；(4)求得B(3,0),得至l]OB=3,根據勾

股定理得到AB=^42+Q+3^2=472-①當AP=AB,②當AB=BP=4后時，③當AP=PB

時，點P在AB的垂直平分線上，于是得到結論.

練習1.如圖，已知兩直線h，b分別經過點A(1,0),點B(-3,0),且兩條直線相交于

y軸的正半軸上的點C,當點C的坐標為(0,?)時，恰好有1],12，經過點A、B、C的

拋物線的對稱軸與1卜12、x軸分別交于點G、E、F,D為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)試說明DG與DE的數(shù)量關系？并說明理由；

(3)若直線12繞點C旋轉時，與拋物線的另一個交點為M,當△MCG為等腰三角形時,

請直接寫出點M的坐標.

【答案】解：(1)設拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c.

;點A(1,0),點B(-3,0),點C(0,近)在拋物線上,

/a-—-

a+b+c=03

9a-3b+c=0,解得12A,

c=V3=~

.?.拋物線的函數(shù)解析式為y=一旦一鄉(xiāng)區(qū)+加；

33

(2)DG=DE.理由如下：

設直線h的解析式為y=kix+bi，將A(1,0),C(0,炳)代入，解得y=-?x+?；

設直線L的解析式為y=k2x+b2,將B(-3,0),C(0,灰)代入，解得y=2^x+近；

3

?..拋物線與X軸的交點為A(1,0),B(-3,0),.?.拋物線的對稱軸為直線X=-1,

又；點G、D、E均在對稱軸上，

.*.G(-1,2M),D(-1,E(-1,-^^1),

33

.?.DG=2?-DE~—二,，DG=DE；

33333

(3)若直線12繞點c旋轉時，與拋物線的另一個交點為M,當AMCG為等腰三角形時,

分三種情況：

①以G為圓心，GC為半徑畫弧交拋物線于點Mi、C,點Mi與C關于拋物線的對稱軸對稱，

則Mi的坐標為(-2,正)；

②以C為圓心，GC為半徑畫弧交拋物線于點M2、M3,點M2與點A重合，點A、C、G在

一條直線上，不能構成三角形，M3與Mi重合；

③作線段GC的垂直平分線，交拋物線于點M4、Ms,點M4與點D重合，點D的坐標為(-

1,M5與Ml重合；

3_

綜上所述，滿足條件的點M只有兩個，其坐標分別為(-2,立)，(-1,歲).

3

【精準解析】(1)設拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c.將點A、B、C的坐標代入，得到

關于a、b、c的方程組，解方程求出a、b、c的值，進而得到拋物線的解析式；(2)利用待

定系數(shù)法分別求出直線h、直線12的解析式，再求出G、D、E的坐標，計算得出DG=DE=

生衛(wèi)；(3)當△MCG為等腰三角形時，分三種情況：①GM=GC；②CM=CG；③MC=MG.

3

《小結》

在二次函數(shù)的圖象中研究等腰三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準頂角與底

角是分類討論的關鍵，借助等腰三角形的等邊對等角、等角對等邊、三線合一等性質來轉化

已知條件是常用的處理手段.

典例3.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,拋物線y=-

x?+bx+c經過A,B兩點，其中點A,C的坐標分別為(1,0),(-4.0),拋物線的頂點為

點D.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個動點(不與A,B重合)，過點E作x軸的

垂線，交拋物線于點F,當線段FE的長度最大時，求點E的坐標；

(3)在(2)的條件下，拋物線上是否存在一點P,使APEF是以EF為直角邊的直角三角

形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】解：⑴,:A,C的坐標分別為(1,0),(-4,0),/.AC=5.

:△ABC為等腰直角三角形，ZC=90°,/.BC=AC=5.AB(-4,-5).

將點A和點B的坐標代入得：尸+b+cR,解得：產-2,

I-16-4b+c=-5Ic=3

拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.

(2)如圖1所示：

設直線AB的解析式為y=kx+b,

將點A和點B的坐標代入得：1k+b=O,解得：k=i,b=-1.

I-4k+b=-5

所以直線AB的解析式為y=x-1.

設點E的坐標為（t,t-1）,則點F的坐標為（t,-t2-2t+3）.

；.EF=-t2-2t+3-（t-1）=-t2-3t+4=-（t+之）2+空.

24

.?.當t=-2時，F(xiàn)E取最大值空，此時，點E的坐標為（-二，-反）.

2422

（3）存在點P,能使APEF是以EF為直角邊的直角三角形.

理由：如圖所示：過點F作直線a，EF,交拋物線于點P,過點E作直線b，EF,交拋物線

2-旦,

由（2）可知點E的坐標為（t,L1）,則點F的坐標為（t,-t-2t+3),t=

2

.?.點E（-上，-"）、F（-3,匹）.

2224

①當-t2-2t+3=正時，解得：t=-2或t=-2（舍去）.

422

.?.點P的坐標為（--,—

24

②當-t2-2t+3=-立時，解得：t=-1+乂變或t=-1-返5.

222

.?.點蟲2-$），P"（-1+返^,

2222_

綜上所述，點p的坐標為（-工，正）或（-1-運，-5）或「”（-1+運，-1）.

242222

【精準解析】（1）首先依據等腰直角三角形的性質求得點B的坐標，然后將點A和點B的

坐標代入拋物線的解析式求解即可；（2）設直線AB的解析式為y=kx+b,將點A和點B的

坐標代入可求得直線AB的解析式，設點E的坐標為（t,t-1）,則點F的坐標為（t,-t2

-2t+3）,然后列出EF關于t的函數(shù)關系式，最后利用配方法求得EF的最大值即可；（3）

過點F作直線a，EF,交拋物線于點P,過點E作直線b，EF,交拋物線P、P",先求得點

E和點F的縱坐標，然后將點E和點F的縱坐標代入拋物線的解析式求得對應的x的值，

從而可求得點P、P'、P"的坐標.

練習1.如圖，在矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0,8）,點C的坐標為（6,

0）.拋物線y=-,x2+bx+c經過點A、C,與AB交于點D.

9

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP,

連接PQ,設CP=m,ACPQ的面積為S.

①求S關于m的函數(shù)表達式；

②當S最大時，在拋物線y=-gx?+bx+c的對稱軸1上，若存在點F,使ADFQ為直角三角

9

形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】解：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線，得

，拋物線的解析式為y=-AX2+AX+8；

93

(2)?V0A=8,0C=6,.,.AC=JQA2+OC2=1O,

過點Q作QE±BC與E點，貝I]sin/ACB=&L=膽=3,

QCAC5

.-.QE=^i(10-m),；.S=LcP?QE=Lnx2(10-m)=--i-m2+3m；

25

②?.?S=L?CP?QE=Lmx'（10-m）=--^-m2+3m=-上（m-5）2+-^,

22510102

.,.當m=5時，S取最大值；

在拋物線對稱軸/上存在點F,使小FDQ為直角三角形，

:拋物線的解析式為y=-AX2+AX+8的對稱軸為x=反，

932

D的坐標為（3,8）,Q（3,4）,

當/FDQ=90。時，F(xiàn)i（芭，8）,

2

當/FQD=90。時，則F,（司，4）,

2

當NDFQ=90。時，設F（￡n）,

2

則FD2+FQ2=DQ2,即旦+（8-n）2+旦+（n-4）=16,解得：n=6土業(yè)，

442

滿足條件的點F共有四個，坐標分別為

Fi8）,F2（4-4）,F3（4-6+迎），F(xiàn)4（4-6-近）.

2'2

【精準解析】（1）將A、C兩點坐標代入拋物線y=-lx2+bx+c,即可求得拋物線的解析式;

9

（2）①先用1n表示出QE的長度，進而求出三角形的面積S關于m的函數(shù)；②直接寫出滿

足條件的F點的坐標即可，注意不要漏寫.

《小結》

在二次函數(shù)的圖象中研究直角三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準直角頂點

是分類討論的關鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補、相似（下學期學）等性質來

轉化已知條件是常用的處理手段.

典例4.如圖，拋物線y=ax?+bx-3經過點A（2,-3）,與x軸負半軸交于點B,與y軸交

于點C,且0C=30B.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D在y軸上，且NBDONBAC,求點D的坐標；

（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A,B,M,N為頂點的

四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】解：(1)由y=ax?+bx-3得C(0.-3),；.OC=3,

VOC=3OB,.\OB=1,AB(-1,0),

把A(2,-3),B(-1,0)代入y=ax?+bx-3得(4a+2b-3=-3,...

Ia-b-3=0

拋物線的解析式為y=x2-2x-3；

(2)設連接AC,作BF,AC交AC的延長線于F,

VA(2,-3),C(0,-3),；.AF〃x軸，AF(-1,-3),

；.BF=3,AF=3,.,.ZBAC=45O,

設D(0,m),則OD=|m|,

VZBDO=ZBAC,ZBDO=45°,.*.00=06=1,.*=±1,

.'.Di(0,1),D2(0,-1)；

(3)設M(a,a2-2a-3),N(1,n),

①以AB為邊，則AB〃MN,AB=MN,如圖2,過M作ME_L對稱軸y于E,AF_Lx軸于

F,則△ABFgZkNME,

；.NE=AF=3,ME=BF=3,；.|aT|=3,；.a=4或a=-2,AM(4,5)或(-2,5)；

②以AB為對角線，BN=AM,BN//AM,如圖3,

則N在x軸上，M與C重合，AM(0,-3),

綜上所述，存在以點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，M(4,5)或(-2,5)

或(0,-3).

【精準解析】(1)待定系數(shù)法即可得到結論；(2)連接AC,作BFJ_AC交AC的延長線于

F,根據已知條件得到AF〃x軸，得到F(-l,-3),設D(0,m),則OD=|m|即可得到

結論；(3)設M(a,a2-2a-3),N(1,n),①以AB為邊，貝UAB〃MN,AB=MN,如

圖2,過M作ME_L對稱軸y于E,AF_Lx軸于F,于是得到^ABF^ANME,證得NE=AF=3,

ME=BF=3,得到M(4,5)或(-2,11)；②以AB為對角線，BN=AM,BN//AM,如圖

3,則N在x軸上，M與C重合，于是得到結論.

練習1.如圖，拋物線y=-x?+bx+c與x軸分別交于A(-1,0),B(5,0)兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在第二象限內取一點C,作CD垂直x軸于點D,鏈接AC,且AD=5,CD=8,將RSACD

沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；

(3)在(2)的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E,點P是拋物線對稱軸上一

點.試探究：在拋物線上是否存在點Q,使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，請出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

y

【答案】解：(1)???拋物線y=-x2+bx+c與x軸分別交于A(-1,0),B(5,0)兩點，

.f-l-b+c=0；解得仆=4,

l-25+5b+c=0Ic=5

.?.拋物線解析式為y=-X2+4X+5；

(2)VAD=5,且OA=1,；.OD=6,且CD=8,AC(-6,8),

設平移后的點C的對應點為C一則C，點的縱坐標為8,

代入拋物線解析式可得8=-X2+4X+5,解得x=l或x=3,

.?.C點的坐標為(1,8)或(3,8),

VC(-6,8),...當點C落在拋物線上時，向右平移了7或9個單位，

的值為7或9；

(3),/y=-X2+4X+5=-(x-2)2+9,...拋物線對稱軸為x=2,

可設P(2,t),由(2)可知E點坐標為(1,8),

①當BE為平行四邊形的邊時，連接BE交對稱軸于點M,過E作EFLx軸于點F,過Q作

對稱軸的垂線，垂足為N,如圖，

則ZBEF=ZBMP=ZQPN,

在^PQN和4EFB中

'NQPN=NBEF

<ZPNQ=ZEFB

PQ=BE

.?.APQN^AEFB（AAS）,

；.NQ=BF=OB-0F=5-1=4,

設Q（x,y）,貝|QN=|x-2|,|X-2|=4,解得X=-2或X=6,

當x=-2或x=6時，代入拋物線解析式可求得y=-7,

，Q點坐標為（-2,-7）或（6,-7）；

②當BE為對角線時，

VB（5,0）,E（1,8）,

線段BE的中點坐標為（3,4）,則線段PQ的中點坐標為（3,4）,

設Q（x,y）,且P（2,t）,

；.x+2=3x2,解得x=4,把x=4代入拋物線解析式可求得y=5,，Q（4,5）；

綜上可知Q點的坐標為（-2,-7）或（6,-7）或（4,5）.

【精準解析】（1）由A、B的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）由題意可

求得C點坐標，設平移后的點C的對應點為C，，則C，點的縱坐標為8,代入拋物線解析式

可求得C，點的坐標，則可求得平移的單位，可求得m的值；（3）由（2）可求得E點坐標,

連接BE交對稱軸于點M,過E作EFLx軸于點F,當BE為平行四邊形的邊時，過Q作對

稱軸的垂線，垂足為N,則可證得△PQN絲AEFB,可求得QN,即可求得Q到對稱軸的距

離，則可求得Q點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得Q點坐標；當BE為對角線時，由B、

E的坐標可求得線段BE的中點坐標，設Q（x,y）,由P點的橫坐標則可求得Q點的橫坐

標，代入拋物線解析式可求得Q點的坐標.

《小結》

在二次函數(shù)的圖象中研究平行四邊形的問題常會用到平行四邊形的一些性質之間的轉化，同

時此類問題也會涉及到矩形、菱形、正方形的確定，其分析思想是互通的.

典例5.如圖，已知拋物線y=-x2+mx+3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,點B的

坐標為（3,0）

（I）求m的值及拋物線的頂點坐標.

（2）點P是拋物線對稱軸1上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標.

【答案】解：(1)把點B的坐標為(3,0)代入拋物線y=-x2+mx+3得：0=-3?+3111+3,

解得：m=2,.*.y=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

頂點坐標為(1,4).

(2)連接BC交拋物線對稱軸1于點P,則此時PA+PC的值最小，

設直線BC的解析式為：y=kx+b,

?.?點C(0,3),點B(3,0),

.f0=3k+b解得：

I3=b1b=3

直線BC的解析式為：y=-x+3,

當x=l時，y=-1+3=2,

...當PA+PC的值最小時，點P的坐標為：(1,2).

【精準解析】(1)首先把點B的坐標為(3,0)代入拋物線y=-x2+mx+3,利用待定系數(shù)

法即可求得m的值，繼而求得拋物線的頂點坐標；(2)首先連接BC交拋物線對稱軸1于點

P,則此時PA+PC的值最小，然后利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，繼而求得答案.

練習1.如圖，拋物線y=ax?+bx+c(a*0),經過點A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；

(2)連接AC、BC,N為拋物線上的點且在第四象限，當SANBC=SAABC時，求N點的坐標；

(3)在(2)間的條件下，過點C作直線l//x軸，動點P(m,3)在直線1上，動點Q(m,

0)在x軸上，連接PM、PQ、NQ,當m為何值時，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN

和的最小值.

【答案】解：(1):拋物線y=ax2+bx+c(a?0)經過點A(-1,0),B(3,0),C(0,3),

a-b+c=0，a=-l

9a+3b+c=0，解得:>b=2，

c=3c=3

；.y=-X?+2x+3=-(x-1)2+4,則拋物線的頂點M坐標為(1,4);

(2)??,N是拋物線上第四象限的點，.?.設N(t,-t2+2t+3)(t>0),

又點C(0,3),

設直線NC的解析式為y=kix+bi，

k.t+bi=-t2+2t+3fk^-t+2

則11，解得：1

b1=3［玩=3

直線NC的解析式為y=(-t+2)x+3,

設直線CN與x軸交于點D,

0),BD=3--^―

t-2t-2

?,SANBC=S△ABC????S△CDB+S△BDN=-1-AB?OC,即方BD?|yc-y|=^-[3

N(-1)]x3,

即Lx(3-[3-(-t2+2t+3)]=6,

2t-2

整理，得：t?-3t-4=0,解得：ti=4,t2=T(舍去),

當t=4時，-t?+2t+3=-5,；.N(4,-5)；

(3)將頂點M(1,4)向下平移3個單位得到點MY1,1),連接MN交x軸于點Q,連

接PQ,

圖2

則MM，=3,

VP(m,3)、Q(m,0),；.PQ_Lx軸，且PQ=OC=3,

且PQ=MM=.*.四邊形MM'QP是平行四邊形，.*.PM=QM,,

由作圖知當M:Q、N三點共線時，PM+PQ+QN=M，Q+PQ+QN取最小值,

設直線M，N的解析式為y=k2x+b2(k2#0),

，

k?+b9=l(k?=-2

將點M，(l,1)、N(4,-5)代入，得：，解得：\，

4k2+b2~—b2

直線M-N的解析式為y=-2x+3,

當y=0時，x=—,；.Q(―,0),BPm=—,

222

此時過點N作NE〃x軸交MM，延長線于點E,

在RtAM'EN中，\'M'E=1-(-5)=6,NE=4-1=3,?.M,N=^2^2=375，

；.MQ+QN=3遂，Z,當m=<|時，PM+PQ+QN的最小值為3旄+3.

【精準解析】(1)將點A、B、C坐標代入解析式，解關于a、b、c的方程組可得函數(shù)解析

式，配方成頂點式即可得點M坐標；(2)設N(t,-t2+2t+3)(t>0),根據點N、C坐標

用含t的代數(shù)式表示出直線CN解析式,求得CN與x軸的交點D坐標，即可表示BD的長，

根據SANBC=SAABC,即SACDB+SABDN=LAB?OC建立關于t的方程，解之可得；(3)將頂點

2

M(1,4)向下平移3個單位得到點M，(l,1),連接MN交x軸于點Q,連接PQ,此時

M\Q、N三點共線時，PM+PQ+QN=M，Q+PQ+QN取最小值，由點M\N坐標求得直線M，N

的解析式,即可求得點Q的坐標，據此知m的值，過點N作NE〃x軸交MM，延長線于點E,

,

可得M，E=6、NE=3、MN=iy32+62=375-即MQ+QN=3遂，據此知m=<|時，PM+PQ+QN

的最小值為3A/^+3.

《小結》

在二次函數(shù)的圖象中研究線段的和、差最值問題，一般會用到初二所學的將軍飲馬問題的思

想，其本質一般是三點共線問題的處理.

二次函數(shù)與新定義問題

在二次函數(shù)與新定義問題中，重點是將題中給出的定義“翻譯”成學過的知識，再結合

二次函數(shù)的性質綜合進行處理，其難點就在于“翻譯定義”的過程，對學生的理解能力和初

中知識的運用能力要求較高.

典例1.若兩個二次函數(shù)圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函

數(shù)”.

(1)請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)''的函數(shù)；

2

(2)已知關于x的二次函數(shù)yi=2x2-4mx+2m2+1,?y2=x+bx+c,其中yi的圖象經過點A

(1,1),若yi+y2與yi為“同