高考數(shù)學?？碱}型專項復習：導數(shù)與函數(shù)的單調性（原卷版+解析）

【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）

第15講導數(shù)與函數(shù)的單調性（精講）

題型目錄一覽

①導數(shù)與原函數(shù)圖像之間的聯(lián)系

②不含參數(shù)的函數(shù)單調性

③含參數(shù)的函數(shù)單調性

（1）一次函數(shù)型

（2）二次函數(shù)型I（可因式分解）

（3）二次函數(shù)型11（不可因式分解）

（4）指數(shù)函數(shù)型

④函數(shù)單調性中的參數(shù)值（范圍）問題

、知識點梳理

一、單調性基礎問題

1.函數(shù)的單調性

函數(shù)單調性的判定方法：設函數(shù)y=f（x）在某個區(qū)間內可導，如果尸（x）＞0,則y=/（尤）為增函數(shù)；如果

f'（x）＜0,則y=/（x）為減函數(shù).

2.已知函數(shù)的單調性問題

①若/（尤）在某個區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間上有（（x）20恒成立（但不恒等于0）；反之,要滿足（（x）＞0,

才能得出“X）在某個區(qū)間上單調遞增；

②若/（%）在某個區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間上有「（元）40恒成立（但不恒等于0）;反之,要滿足「（無）＜0,

才能得出了（幻在某個區(qū)間上單調遞減.

二、討論單調區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負,

無需單獨討論的部分）；

（3）求根做圖得結論（如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關系圖，則導函數(shù)正負

區(qū)間段已知，可直接得出結論）；

（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數(shù)整體的正負）；

（5）正負未知看零點（若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點）；

（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導）；

求二階導往往需要構造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導.

（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段）；

類型二：含參數(shù)單調性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的

區(qū)間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負,

無需單獨討論的部分）；

（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；

（5）導數(shù)圖像定區(qū)間；

【常用結論】

①使/'（x）=0的離散點不影響函數(shù)的單調性，即當/'（X）在某個區(qū)間內離散點處為零，在其余點處均為正

（或負）時，/（X）在這個區(qū)間上仍舊是單調遞增（或遞減）的.例如，在（―8,+oo）上，/（x）=x3,當x=0

時，/'（%）=0；當尤W0時，而顯然/（x）=d在（—8,+8）上是單調遞增函數(shù).

②若函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（。,加上單調遞增，則尸（x）20（/'（X）不恒為0）,反之不成立.因為/'（x）20,

即/'（x）>0或/'（x）=0,當r（x）>。時,函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（。/）上單調遞增.當/。）=0時，/（%）

在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（。,打上單調遞減，則/'（x）<0（/'（x）不恒為0）,

反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調遞增的充分不必要條件.于

是有如下結論：

/⑴>0nf（x）單調遞增；f（x）單調遞增=>f（x）>0；

fr（x）<0=>/（x）單調遞減；/（%）單調遞減=>f\x）<0.

二、題型分類精講

題型一導數(shù)與原函數(shù)圖像之間的聯(lián)系

策略方法

原函數(shù)的單調性與導函數(shù)的函數(shù)值的符號的關系，原函數(shù)單調遞增o導函數(shù)r（x）?o（導

函數(shù)等于o,只在離散點成立，其余點滿足r（x）＞。）；原函數(shù)單調遞減o導函數(shù)r（x）w。（導

函數(shù)等于0,只在離散點成立，其余點滿足/（不）＜0）.

【典例1】已知函數(shù)、=靖⑺的圖象如圖所示（其中廣⑺是函數(shù)“X）的導函數(shù)），則y=/（x）的圖象大

一、單選題

1.（2023?浙江紹興.統(tǒng)考模擬預測）如圖是函數(shù)y=/（x）的導函數(shù)y=_f（x）的圖象，若"2）=0,則y=

的圖象大致為（）

2.（2023?全國?高三專題練習）設尸（X）是函數(shù)/（X）的導函數(shù)，y=/'（尤）的圖象如圖所示,則y=/（x）的圖

3.（2023?陜西西安?校聯(lián)考一模）已知定義在［-3,4］上的函數(shù)”尤）的大致圖像如圖所示，/（X）是“X）的導

函數(shù)，則不等式礦（力＞0的解集為（）

-2/-1O\15\3x

/2\

A.[1：]B.（-3,-2）

C.（-1,0）[1,￡|D.（3,4）

二、多選題

4.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)y=〃x）的導函數(shù)y=/'（*）的圖象如圖所示，則下列說法正確的是

B./（?）＜/（&）

C.在區(qū)間（。力）內有2個極值點

D.的圖象在點尤=0處的切線的斜率大于0

三、填空題

5.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)/（x）的圖象如圖所示,記A"'&）、5"'（々）、C=f'（三），則A、B、C

6.（2023春?上海?高三統(tǒng)考開學考試）己知定義在（-3,3）上的奇函數(shù)y=〃尤）的導函數(shù)是『（X）,當尤N0時,

y=f(x)的圖象如圖所示，則關于x的不等式上至>o的解集為.

X

題型二不含參數(shù)的函數(shù)單調性

畬策略方法求函數(shù)單調區(qū)間的步驟

(1)確定函數(shù)/(X)的定義域.

⑵求尸(X).

⑶在定義域內解不等式尸(x)>0,得單調遞增區(qū)間.

(4)在定義域內解不等式尸(x)<0,得單調遞減區(qū)間.

【典例1】函數(shù)的單調遞增區(qū)間為()

A.(-1,1)B.(1,+s)C.(0,1)D.(0,2)

【題型訓練】

一、單選題

1.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)/(x)=x2-41nx+2x-3的單調遞減區(qū)間是()

A.(…)B.(-2,1)

C.(0,1)D.(—8,—2)和(1,+oo)

2.(2023?全國?高三專題練習)已知/(x)=%3-6%2—,a<b<c,且===現(xiàn)給

出如下結論：

①/(0)=八3)；

②〃0)/(1)<0；

③〃1)〃3)<0；

@a2+b2+c2=1S.

其中正確結論個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（x）=e'+x,ga）=3x,且/O）=g（〃）,則”爪的最小值為（）

A.l-ln2B.2（1-In2）

C.1（2-ln2）D.|（l-ln2）

二、多選題

4.（2023?全國?模擬預測）已知函數(shù)/。）=（爐+工一2,則（）

A.了⑺的單調遞減區(qū)間是（0,1）B./（尤）有4個零點

C.Ax）的圖象關于點（0,-2）對稱D.曲線>=/（尤）與無軸不相切

三、填空題

5.（2023?云南?校聯(lián)考二模）函數(shù)/（刈二^-山口+好的單調遞增區(qū)間為.

6.（2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)/（尤）=好的單調遞增區(qū)間為.

7.（2023秋?山東東營?高三東營市第一中學?？计谀┖瘮?shù)/（x）=宅的單調遞增區(qū)間為.

8.（2023?福建?統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)〃x）=x：（x>0）的單調增區(qū)間是-

9.（2023春?安徽亳州?高三?？茧A段練習）函數(shù)〃工）=止有兩個零點，則上的取值范圍是_.

x2

題型三含參數(shù)的函數(shù)單調性

畬策略方法解決含參數(shù)的函數(shù)的單調性問題應注意兩點

⑴研究含參數(shù)的函數(shù)的單調性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.

⑵劃分函數(shù)的單調區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內討論，還要確定導數(shù)為0的點和函數(shù)的間斷點.

【典例1】己知函數(shù)/（x）=alnx+尤-1（其中。為參數(shù)）.求函數(shù)/（X）的單調區(qū)間.

【典例2】己知函數(shù)〃x）=lnx+；方2+（a+l）x,aeR.討論函數(shù)的單調性.

【典例3】設函數(shù)〃x)='-x+alnx,求函數(shù)了⑺的單調區(qū)間.

X

75

【典例4】已知函數(shù)〃x)=5-2e*+3(aeR)(e為自然對數(shù)的底數(shù),e<y).求函數(shù)“X)的單調區(qū)間;

【題型訓練】

一、單選題

1.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=x-lnx-1,若不等式2a(x-l『在區(qū)間(0,1］上恒成立,

則實數(shù)。的取值范圍為()

A.［后］B.C,「收)D.&+,

YPX%<0

2.(2023秋?四川宜賓?高三四川省宜賓市第四中學校?？计谀?已知函數(shù)/(力=〈’一八，若

Inx,x>0

g(x)=/(x)-ax有四個不同的零點，則。的取值范圍為()

A.B.pljC.［l,e)D.［e,M)

二、填空題

3.(2023?全國?高三專題練習)已知〃x)=lnx-a?+a,若對任意工和，都有〃x)W0,則實數(shù)。的取值

范圍是.

三、解答題

4.(2023?全國?高三專題練習)/(%)=ax+lnx+l(aeR),g(x)=%ex-1.討論/(x)的單調性;

5.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=ln(xT)-〃2xOeR).討論函數(shù)/(元)的單調性;

已知函數(shù)〃尤)=依6'-11-尤.討論/(X)在(0,+向上的單調性;

6.(2023?全國?高三專題練習)

設函數(shù)f(x)=g依2-(a+l)x+lnx.當a>0時，討論函數(shù)“尤)的單調性;

7.(2023?全國?高三專題練習)

已知函數(shù)〃%)=%-工-°111耳.>0).討論函數(shù)/(%)的單調性；

8.(2023?全國?高三專題練習)

9.（2023?全國?高三專題練習）討論函數(shù)〃x）=lnx+，?的單調性

10.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)〃x）=2e*-6-2（aeR）.討論函數(shù)的單調性;

11.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（x）=e2'+（a+2）ex+依.討論"X）的單調性;

題型四函數(shù)單調性中的參數(shù)值（范圍）問題

畬策略方法由函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍的方法

⑴可導函數(shù)在區(qū)間。上單調，實際上就是在該區(qū)間上尸（x）N0（或/（x）S0）恒成立，從而構建不

等式，求出參數(shù)的取值范圍，要注意“=”是否可以取到.

⑵可導函數(shù)在區(qū)間。上存在單調區(qū)間，實際上就是r（x）>0（或/（x）<0）在該區(qū)間上存在解集,

即尸（X）max>0（或廣（X）mm<0）在該區(qū)間上有解，從而轉化為不等式問題，求出參數(shù)的取值范圍.

⑶若已知/（X）在區(qū)間。上的單調性，區(qū)間端點含有參數(shù)時，可先求出了（X）的單調區(qū)間，令。

是其單調區(qū)間的子集，從而求出參數(shù)的取值范圍.

中點，“一軸''指的是對稱軸，結合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調性及分類討論的思想解決問題.

【典例1]若函數(shù)在/（尤）=*-4x+alnx在[L2]上單調遞增，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a>6B.a>6C.<2>16D.a>16

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023?陜西西安?統(tǒng)考三模）若函數(shù)〃x）=d-依+lnx在區(qū)間（l,e）上單調遞增，貝的取值范圍是（）

A.[3,+oo）B.（—oo,3]C.[3,e?+l]D.13,e1—1]

2.（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)/（x）=（ox+l）e'在[1,2]上為增函數(shù)，則a的取值范圍是（）

一1、r1A

A.--,+ooB.--,+oo

1

C.—,+coD.[0,+8)

4

3.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)〃x）=（l-x）lnx+6在（l,+oo）上不單調，則。的取值范圍是（）

A.（0,+8）B.（-8,0）C.[0,+句D.（-oo,0]

4.（2023?全國?高三專題練習）已知“%）=竺--x,XG（0,+CO）,對V%,尤2￡（°，+°°），且石＜工2，恒有

＜。則實數(shù)a的取值范圍是（）.

x2玉

A.-co,e2B.-,+°oC.（-00,e2）D.e3,+1?

I」Le，

5.（2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）己知函數(shù)=V-依2+3彳在R上單調遞增，且

g（x）=x+六在區(qū)間。,2]上既有最大值又有最小值，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[3,4）B.（2,3]C.（3,4]D.[2,3）

二、填空題

6.（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)〃無）=-;無依有三個單調區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍是.

7.（2023?安徽?校聯(lián)考二模）若不等式Inx-ar42a對Vxe（0,+8）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為

8.（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)〃耳=1僦+依2-2在區(qū)間，,21內存在單調遞增區(qū)間，則實數(shù)。的取

值范圍是.

9.（2023?海南?校聯(lián)考模擬預測）己知函數(shù)〃》）=與U，8（尤）=七二,若對任意xe[l,+e）,/（%）＜g（x）

恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

10.（2023.全國?高三專題練習）己知函數(shù)g（無）=%3一_|f+2尤+1.若g（x）在內不單調，則實數(shù)a

的取值范圍是.

【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）

第15講導數(shù)與函數(shù)的單調性（精講）

題型目錄一覽

①導數(shù)與原函數(shù)圖像之間的聯(lián)系

②不含參數(shù)的函數(shù)單調性

③含參數(shù)的函數(shù)單調性

（5）一次函數(shù)型

（6）二次函數(shù)型I（可因式分解）

（7）二次函數(shù)型n（不可因式分解）

（8）指數(shù)函數(shù)型

④函數(shù)單調性中的參數(shù)值（范圍）問題

一、知識點梳理

一'單調性基礎問題

1.函數(shù)的單調性

函數(shù)單調性的判定方法：設函數(shù)y=/（x）在某個區(qū)間內可導，如果尸（x）＞0,貝Ijy=/（X）為

增函數(shù)；如果/'（尤）＜0,貝ljy=f（x）為減函數(shù).

2.已知函數(shù)的單調性問題

①若/（X）在某個區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間上有「（X）20恒成立（但不恒等于0）；反之，

要滿足（⑴＞0,才能得出/（%）在某個區(qū)間上單調遞增；

②若在某個區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間上有「（x）W0恒成立（但不恒等于0）；反之，

要滿足r（x）＜0,才能得出/（X）在某個區(qū)間上單調遞減.

二、討論單調區(qū)間問題

類型一：不含參數(shù)單調性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）;

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已

知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；

(3)求根做圖得結論(如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關系圖，

則導函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結論)；

(4)未得結論斷正負(若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數(shù)整體的正負)；

(5)正負未知看零點(若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點)；

(6)一階復雜求二階(找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則

求二階導)；

求二階導往往需要構造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)

再求導.

(7)借助二階定區(qū)間(通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調性，進而判斷一階導函數(shù)正負

區(qū)間段)；

類型二：含參數(shù)單調性討論

(1)求導化簡定義域(化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是

否是一個連續(xù)的區(qū)間)；

(2)變號保留定號去(變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已

知恒正或恒負，無需單獨討論的部分)；

(3)恒正恒負先討論(變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負)；然后再求有效根；

(4)根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系)；

(5)導數(shù)圖像定區(qū)間；

【常用結論】

①使/'(x)=0的離散點不影響函數(shù)的單調性，即當/'(x)在某個區(qū)間內離散點處為零，在

其余點處均為正(或負)時，/(幻在這個區(qū)間上仍舊是單調遞增(或遞減)的.例如，在

(—8,+8)上,/(幻=工3,當％=0時，/(%)=0;當XWO時,/'(%)>0,而顯然/0)=%3

在(-8,+8)上是單調遞增函數(shù).

②若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)上單調遞增，則0(j'(x)不恒為①,反之不成立.

因為/'(幻20,即尸(x)>0或八x)=0,當八x)>0時,函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。/)上

單調遞增.當/'(%)=0時，/(x)在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間

(。力)上單調遞減，則/'(x)<0(/'(X)不恒為0),反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)

的導數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調遞增的充分不必要條件.于是有如下結論：

/(幻>0=>/(x)單調遞增；/(%)單調遞增=>f\x)>0；

f'(x)<0=>/(x)單調遞減；/(%)單調遞減nf\x)<0.

?

二、題型分類精講

題型一導數(shù)與原函數(shù)圖像之間的聯(lián)系

策略方法

原函數(shù)的單調性與導函數(shù)的函數(shù)值的符號的關系，原函數(shù)/（X）單調遞增o導函

數(shù)/（處20（導函數(shù)等于o,只在離散點成立，其余點滿足了‘（幻＞0）；原函數(shù)

單調遞減o導函數(shù)r（x）wo（導函數(shù)等于o,只在離散點成立，其余點滿足

/（XO）＜O）.

【典例1】已知函數(shù)y=+'（x）的圖象如圖所示（其中尸（］是函數(shù)"X）的導函數(shù)）,則

y=的圖象大致是（）

【分析】由丁=才（月的圖象得到尸（x）的取值情況，即可得到外力的單調性，即可判斷.

【詳解】由＞=才（無）的圖象可知當0＜x＜l時才（司＜0,貝!j/'（x）＜0,

當%＞1時礦（x）＞0,貝!I制x）＞0,

當一l＜x＜0時獷'（x）＞0,則/（x）＜0,

當X<—1時才(x)<0,貝!|74*)>0,

所以在上單調遞增，在(T。)上單調遞減，在(0,1)上單調遞減，在(1,+3上

單調遞增，

故符合題意的只有C.

故選：C.

【題型訓練】

一、單選題

1.(2023?浙江紹興.統(tǒng)考模擬預測)如圖是函數(shù)y=的導函數(shù)y=_r(x)的圖象，若

"2)=0,則y=的圖象大致為()

【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,1)內的函數(shù)的范圍，判斷出函數(shù)y=區(qū)間(0,1)上

各點處切線的斜率的范圍，根據(jù)導函數(shù)的圖象得導函數(shù)函數(shù)值的符號，得函數(shù)y=/(x)的單

調性，再結合四個選項可得答案.

【詳解】由y=/(x)的圖象可知，當0<x<i時，0</V)<l,則在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)

y=/(元)上各點處切線的斜率在區(qū)間(0,1)內，

對于A,在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)y=/(尤)上各點處切線的斜率均小于0,故A不正確；

對于B,在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)y=/(x)上存在點，在該點處切線的斜率大于1,故B不正

確；

對于C,在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)了=/(尤)上存在點，在該點處切線的斜率大于1,故C不正

確；

對于D,由y=/'(x)的圖象可知，當0<“<1時，0<(。)<1,當l<x<3時，尸(x)<0,

當x>3時，/(x)>0,

所以函數(shù)y=/(x)上各點處切線的斜率在區(qū)間(0,1)內，在(0,1)上單調遞增，在(L3)上單調

遞減，在(3,+8)上單調遞增，

而函數(shù)y=/(x)的圖象均符合這些性質，故D正確.

故選：D

2.(2023?全國?高三專題練習)設廣⑺是函數(shù)/(x)的導函數(shù)，y=/'(x)的圖象如圖所示,

則y=/(x)的圖象最有可能的是()

【分析】根據(jù)導函數(shù)的圖象得出函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)函數(shù)/(元)的單調性即可判斷.

【詳解】由導函數(shù)的圖象可得當尤<0時，7^%)>0,函數(shù)/lx)單調遞增；

當0<x<2時，r(x)<0,函數(shù)單調遞減；

當x>2時，/^)>0,函數(shù)/■(%)單調遞增.

只有C選項的圖象符合.

故選：C.

3.(2023?陜西西安?校聯(lián)考一模)已知定義在［-3,4］上的函數(shù)的大致圖像如圖所示,

f(x)是〃x)的導函數(shù)，則不等式礦(x)>0的解集為()

B.(-3,-2)

D.(3,4)

【答案】c

【分析】分x<0、尤>0兩種情況求解即可.

【詳解】若x〈0,則洋㈤<0J(x)單調遞減,圖像可知，xe(-l,0),

若無>0,則尸(x)>0,〃x)單調遞增，由圖像可知

故不等式#'(x)>o的解集為(T，o)

故選：C

二、多選題

4.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示，則下

列說法正確的是()

A.7■(%)</■(%)

B./(^)</(%2)

C.f(x)在區(qū)間(。力)內有2個極值點

D.””的圖象在點x=0處的切線的斜率大于0

【答案】ACD

【分析】根據(jù)導函數(shù)的正負可得了(無)單調性，由單調性可判斷AB正誤；由極值點定義可

知C正確；由/'（。）＞0可知D正確.

【詳解】由圖象可知：當％?4,七）1.（左5，°）時，/^）＞0；當龍€（電,無5）時，/'（x）＜。；

\/㈤在（0,七）,（%，。）上單調遞增;在（巧,不）上單調遞減;

對于A,；不＜工2＜三，??＜/1（占）＜），A正確；

對于B,：尤2＜三，二〃義）＜/（電）,B錯誤；

對于C,由極值點定義可知：x=F為“X）的極大值點；＞三為〃x）的極小值點，即〃x）

在區(qū)間（。力）內有2個極值點，C正確；

對于D,當x=0時，/^）＞0,\/（X）在點x=0處的切線的斜率大于0,D正確.

故選：ACD.

三、填空題

5.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)/⑴的圖象如圖所示，記4=r（占）、B="）、C=f'（x3）,

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義結合Ax）的圖象分析判斷即可

【詳解】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，/（％）、/‘（馬）、/（毛）分別為%,%,三處的切線斜率，

又看與X3處的切線單調遞增，々處的切線單調遞減，且4處的切線比W處的切線更陡峭,

故最大為1（%）.

故答案為：A

6.（2023春?上海?高三統(tǒng)考開學考試）已知定義在（-3,3）上的奇函數(shù)y=/（x）的導函數(shù)是

,當xNO時，y=/（x）的圖象如圖所示，則關于x的不等式△2＞0的解集為.

X

【答案】（T—1）（0,1）

【分析】先判斷出的單調性，然后求得工詈＞0的解集.

【詳解】依題意/（X）是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，

由圖象可知，〃尤）在區(qū)間（一3,—1）,（1,3）,〃力遞減，/（x）＜0；

在區(qū)間（T0）,（0,D］（x）遞增,/（x）＞0.

所以d＞0的解集（-3,-1）.（0,1）.

故答案為：（-3,-1）!（0,1）

題型二不含參數(shù)的函數(shù)單調性

畬策略方法求函數(shù)單調區(qū)間的步驟

⑴確定函數(shù)/（x）的定義域.

⑵求廣（X）.

（3）在定義域內解不等式r（x）＞0,得單調遞增區(qū)間.

（4）在定義域內解不等式/（x）＜0,得單調遞減區(qū)間.

【典例1】函數(shù)=的單調遞增區(qū)間為（）

A.（-1,1）B.（1,+8）C.（0,1）D.（0,2）

【答案】B

【分析】求出導函數(shù)f（x）,在定義域內解不等式ra）＞o可得單調遞增區(qū)間.

【詳解】由已知得f（x）=x二="f（x+l）（x＞o）,

XX

令尸（無）二色-1）（龍+2＞0,

X

則無＞1,

...函數(shù)〃尤）的單調遞增區(qū)間為（1,包）.

故選:B.

【題型訓練】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)/（尤）=/一41nx+2x-3的單調遞減區(qū)間是（）

A.(1,+℃)B.(-2,1)

C.(0,1)D.(—8,-2)和(1,+<?)

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，利用導數(shù)求出單調減區(qū)間作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=l-41nx+2x-3的定義域為(0,+8),求導得

f\x)=2x--+2=2(x+2)d)

由尸(x)<。得。<X<1,所以函數(shù)〃x)=Y-41nx+2x-3的單調遞減區(qū)間是(0,1).

故選：C

2.(2023?全國?高三專題練習)已知/(x)=一6尤2+9x-abc,a<b<c,且

/(a)=/0)=/(c)=O,現(xiàn)給出如下結論：

①〃0)=/'⑶；

②〃。)〃1)<0;

③/⑴〃3)<0；

@cr+b2+c2=18.

其中正確結論個數(shù)為()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】利用導數(shù)判定三次函數(shù)的圖象與性質，結合圖象即可一一判定結論.

［詳解】求導函數(shù)可得廣(x)=3--12x+9=3(%-1)(%-3)

...當1<尤<3時，r(x)<o；當尤<1,或x>3時，r(尤)

所以/(%)的單調遞增區(qū)間為(-?,1)和(3,+⑹單調遞減區(qū)間為(1,3)

所以/(x)極大值=/⑴=l-6+9-abc=4-abc,

/(x)極小值=/⑶=21-54+27-abc=-abc

要使〃x)=0有三個解。、b、c,那么結合函數(shù)/(尤)草圖可知：

6Z<1<Z7<3<C

及函數(shù)有個零點X=b在1?3之間，

所以"1)=4一/c>。，日一。⑶=—abc<b

所以0<oZ>c<4

/(O)=-abc,

???/(O)=/(3),故①正確；

/(o)<o

.??/(O)/(1)<O,/(1)/(3)<0,即②③正確；

/(a)=/(Z>)=/(c)=O,

Xs-6x2+9x—abc

=(x-a){x-b)(x-c)

3

=A-(〃+匕+c)九2+(帥++bc)x-abc,

:.a+b+c=6(i),ab+ac+bc-9(ii),

把(ii)代入⑴式的平方化簡得：a2+b2+c2=lS;即④正確；

故選：D.

3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=e'+x,g(x)=3x,且/(m)=g("),則"一旭的

最小值為()

A.1—ln2B.2(1—In2)

C.1(2-ln2)D.|(l-ln2)

【答案】D

【分析】首先根據(jù)題干條件/(m)=g(")，得e"+機=3〃，化簡整理得3〃-3加=峻-2加，

然后構造函數(shù)〃(加)=0-2W，借助導數(shù)求解乂〃2)的最小值，即可求出"一m的最小值.

【詳解】由〃m)=g(〃)，得e"+%=3〃，

化簡整理得：3n-3m=e^—2m;

令力(=e“-2m(meR),h\m)=em-2,令e"‘-2=0,解得機=In2.

當機￡(-oo,ln2)時，研勸<0,即"(m)在加￡(-8,ln2)上單調遞減；

當相￡(ln2,+8)時，h^nij>0,即/z(m)在加￡(ln2,+oo)上單調遞增；

即%，(機)=Mln2)=2-21n2,故(“一〃％”=§(1_歷2)

故選：D

二、多選題

4.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/。)=(彳3+，一2,則()

3x

A.Ax)的單調遞減區(qū)間是(0,1)B.Ax)有4個零點

C.Ax)的圖象關于點(0,-2)對稱D.曲線y=/(x)與x軸不相切

【答案】CD

【分析】對A直接求導，令導函數(shù)小于0,解出即可，對B,通過求出極大值和極小值，結

合其單調性即可判斷，對C選項利用函數(shù)奇偶性和函數(shù)平移的原則即可判斷，對D,利用

函數(shù)極大值、極小值的符號即可判斷.

【詳解】A選項：易知“X)的定義域為例彳*0},

Ax4-l卜F)(xT(尤+1)

外加「丁=-----P--------，

令解得-l<x<0或0<x<l,

所以“尤)的單調遞減區(qū)間為(TO)和(0,1),A錯誤；

B選項：令制x)>。，解得x<-l或x>l,所以"X)在(fl),和(1,+s)上單調遞增，

所以當尸-1時，”力取得極大值，因為〃-1)=-5<0,且“尤)在(TO)上單調遞減,

所以〃尤)在0)上沒有零點，

當x=l時，“X)取得極小值，因為/⑴=-§<0,所以/⑺在(0,+8)上至多有兩個零點，

B錯誤；

C選項：設g(x)=/(x)+2=；x3+1,函數(shù)定義域為{x|xwO},關于原點對稱，

且/(-x)=；(-xy+L=-tx3+_L]=-/(x),則g(x)為奇函數(shù)，

所以晨尤)的圖象關于原點對稱，將g(x)的圖象向下平移2個單位長度得到“X)的圖象，

所以“X)的圖象關于點(0,-2)對稱，C正確；

71n

D選項：因為的極小值〃1)=-耳<0,極大值〃-1)=-￡<0,所以曲線y=F(x)與

X軸不相切，D正確.

故選：CD.

三、填空題

5.(2023?云南?校聯(lián)考二模)函數(shù)/(x)=e-ln(l+x)的單調遞增區(qū)間為

【答案】(0收)/[。收)

【分析】通過二次求導，證明當尤>0時，((尤)>0,即得解.

【詳解】由題得函數(shù)定義域為(T+s),/'(x)=e'--^=g(x),g\x)=e，+彳二>0,

所以g(x)在(T~)上單調遞增，又g(0)=0,

所以當x>0時，/(無)>0,

故/（X）的單調遞增區(qū)間為（0,+8）（或［0,口））.

故答案為：（0,+8）

6.（2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)/（x）=g的單調遞增區(qū)間為.

【答案】（0，五）

【分析】求導數(shù)（（無），令力（或〉。，解不等式即可得函數(shù)的單調遞增區(qū)間.

【詳解】函數(shù)〃尤）=號的定義域為（0,+功，則（（%）=上羋，

令制x）>0,解得0<x<五，故函數(shù)〃尤）的單調遞增區(qū)間為

故答案為：（0,加）.

7.（2023秋?山東東營?高三東營市第一中學?？计谀┖瘮?shù)/（x）=二的單調遞增區(qū)間為

【答案】（力,一1）,（一1,?。?/p>

【分析】對函數(shù)求導，判斷導函數(shù)的正負，導函數(shù)分子無法判斷正負，再對分子求導，利

用導函數(shù)的單調性來判斷導函數(shù)的正負，進而得出原函數(shù)的單調區(qū)間.

【詳解】因為函數(shù)“x）=y,貝!jr（x）="L

設h（x）=xex+1,則〃（%）=（%+l）e%,

當x>-1時,"（無）>0,〃（幻在（-L+8）上單調遞增；

當了<-1時，h'（x）<0,〃（元）在（ro,T）上單調遞減，

所以當xeR時，h（x）>h（-V）=--+1>0,

e

則當xw—1時，/V）>0.

所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（-8,7）,（-1,+a））,

故答案為：（一00,-1）,（一1,+00）.

1

8.（2023?福建?統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)/（%）=尸（%>。）的單調增區(qū)間是.

【答案】（0,。）（或（0目也對）

【分析】g（x）=ln（/（x））=1lnx,由復合函數(shù)單調性知：g（x）的增區(qū)間即為所求.

【詳解】g（x）=ln（〃尤））=：ln無，由復合函數(shù)單調性知：g（x）的增區(qū)間即為所求，

，/、1-lnx八

g（x）=-------->0=>n0<%<e.

故答案為：(。?(或(0目也對)

9.(2023春?安徽亳州?高三校考階段練習)函數(shù)/(幻=止-。有兩個零點，則上的取值范圍

x2

是—.

【答案】I。5]

【分析】函數(shù)/w=--I有兩個零點，即方程地=。有兩個根，構造函數(shù)g(x)=—(x>0),

利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而可畫出函數(shù)g(x)的大致圖像，根據(jù)圖象即可得解.

【詳解】函數(shù)八%)=g-4有兩個零點，..?方程g-4=。有兩個根，

x2x2

即方程也=4有兩個根，

九2

設g(尤)=止(尤>0),則函數(shù)g(x)與y=。的圖像有兩個交點，

x2

1-lnx

且⑺二丁,

當xe(0,e)時，g'(x)>0,g(x)單調遞增；

當xe(e,y)時，g'(x)<0,g(x)單調遞減，

二函數(shù)g(x)在x=e時，取得最大值g(e)=：,

又當xf0時，g(x)--<?；當xf+8時，g(x)>0且g(x)f0,

題型三含參數(shù)的函數(shù)單調性

畬策略方法解決含參數(shù)的函數(shù)的單調性問題應注意兩點

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)劃分函數(shù)的單調區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內討論，還要確定導數(shù)為0的點和

函數(shù)的間斷點.

【典例1】已知函數(shù)〃x)=alnx+x-l(其中。為參數(shù)).求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.

【答案】答案見解析

【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，然后對。分類求得函數(shù)的單調區(qū)間；

【詳解】尸(x)=*,xc(O,+s),

X

當時，.??/(尤)在(0,y)單調遞增，

當a<0時，令尸(x)=。，得x=-a,

尤e(0,-a)時，r(x)<0,/(x)單調遞減，

xe(-a,+<o)時，/(尤)>0,/(x)單調遞增；

綜上：420時，了⑴在(0,+8)上遞增，無減區(qū)間，

當a<0時，/(X)的單調遞減區(qū)間為(0,-。)，單調遞增區(qū)間為(-a,+00);

【典例2】已知函數(shù)〃x)=lnx+gax2+g+l)x,敏氏討論函數(shù)/⑺的單調性.

【答案】答案見解析

【分析】對“X)求導，然后分。之。和“<0兩種情況討論即可；

【詳解】函數(shù)〃彳)=山+；62+(4+1)》的定義域為(0,+8),

所以廣(〃)△+辦+a+]="2+(a+l)x+l=3+l)(x+l).

XXX

當“20時，/^%)>0,所以“X)在(0,+8)上單調遞增；

當a<0時，令以"<0得%>-：,令四*)>0得0<x<~—,

所以〃無)在1上單調遞減：在(o,-￡|上單調遞增.

綜上，當a20時，函數(shù)”X)在(。,+8)上單調遞增；當a<0時，〃尤)在，，上單調遞

減，在上單調遞增.

【典例3】設函數(shù)〃力=:-尤+alnx,求函數(shù)/⑺的單調區(qū)間.

【答案】當aW2時，/（x）的單調減區(qū)間為（0,+8）；

當a>2時，””的單調減區(qū)間為卜紇手^和八用士+8，單調增區(qū)間為

【分析】對“X）求導，分-2WaW2和a<-2和。>2三類討論導數(shù)的正負，即可得出了⑺的

單調區(qū)間.

【詳解】由題意得〃尤）=1-x+alnx的定義域為（0,+8）,因為〃x）=L-x+alnx,

XX

m【、i\]1a—x2+ax—1

所以尸（》）=-7_1+1r—）—,

-0-7?7（x）=-x2+ax-l,A=a2-4,

①當-2WaW2時，r（x）<0,所以/（x）在（0,+向上單調遞減，

②當a<-2時，尸（力<0,所以Ax）在（0,+8）上單調遞減，

③當。>2時，令/'（x）=o,則玉=佇與a,尤2=竺華工,

r

且0<%<%,所以〃尤）在卜"-4和空手￡+s上單調遞減，在

綜上，當時，Ax）的單調減區(qū)間為（0,+8）；

當。>2時，〃x）的單調減區(qū)間為，佇*^和a+^^M,單調增區(qū)間為

25

【典例4】已知函數(shù)/（%）=分一2/+3（。€口）（6為自然對數(shù)的底數(shù)，6<§）.求函數(shù)f（x）

的單調區(qū)間；

【答案】答案見解析

【分析】先求得/（X）,結合aW0和a>0討論-（X）的正負，進而求解.

【詳解】函數(shù)4x）=ar—2e，+3（aeR）的定義域為R,貝!!/'（x）=a-2e'.

①當時，對任意的xeR,f'(x)<0,

此時函數(shù)的減區(qū)間為(-,+?),無增區(qū)間;

②當a>0時，由/'(x)<0可得尤>ln］,f<^x)>0可得x<ln葭，

此時函數(shù)/'(X)的單調遞增區(qū)間為［叫嗚］,遞減區(qū)間為1嗚,+。

綜上所述，當時，函數(shù)〃x)的減區(qū)間為(f,y),無增區(qū)間；

當a>0時，函數(shù)外”的單調遞增區(qū)間為1-8,In￡|,遞減區(qū)間為，小+".

【題型訓練】

一、單選題

1.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=x-lnx-l,若不等式〃工"。(—1)2在區(qū)間

(0,1］上恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.B,卜C.D.

【答案】A

【分析】f(x)-a(x-l)2之0即為％—1口%一1一。(冗一1)2>0,設g(x)=冗一1口1—1一。(工一1)2,

尤e(0,l］,求出函數(shù)g(x)的導函數(shù)，分解aV；和a〉｝寸論函數(shù)g(x)的單調性，求出函數(shù)

g(x)在區(qū)間(0』上的最小值，即可得解.

【詳解】解：由已知可得了(X)—“(%—1)2之0即為X—Inx—1—Q(x—1)220,

設g(x)=x-lnx-l-〃(x-l)2,xe(0,1］,

則g，G)二攵二四二匈，

X

當時，顯然g'(x)<。，當0<avg時，8'。)三0在工€(0,1］上也成立，

所以avg時，g(x)在(0』］上單調遞減，8(X"86=0恒成立；

當a>!時，當0<x<工時，g'(x)<0,當時，g'(x)>0,

22a2a

所以g(x)在(0,1［上單調遞減，在上單調遞增，

于是，存在使得g(x°)<g⑴=0,不滿足g(x)NO,舍去此情況,

綜上所述，?<1.

故選：A.

xc"%<0

2.(2023秋?四川宜賓?高三四川省宜賓市第四中學校?？计谀?己知函數(shù)〃x)=；'一0,

Inx,x>0

若g(x)=/(x)-依有四個不同的零點，則。的取值范圍為()

A.B.jl]C.[l,e)D.3+⑹

【答案】A

【分析】討論xWO、x>0,應用導數(shù)研究單調性，要使g(x)=。有四個不同的解，即當兩

個區(qū)間均存在兩個零點時，求a的范圍即可.

【詳解】由題意知：g(x)=/(x)-依有四個不同的零點，

???g(X)=貝|J8。)=。有四個不同的解，

\lnx-ax,x>0

x

當％40時，gM=x(e-a)=Of其零點情況如下：

1)當。