七年級數(shù)學(xué)下冊專項訓(xùn)練：一元二次方程的實際問題（一題三變系列）（解析版）

專題03一元二次方程的實際應(yīng)用

【思維導(dǎo)圖】

◎題型1：傳播問題

技巧：公式a(l+x>=M其中a為傳染源(一般a=l),n為傳染輪數(shù)，M為最后得病總?cè)藬?shù)

例.(2022?福建省福州屏東中學(xué)八年級期末)新冠疫情牽動人心，若有一人感染了新冠，在每輪傳染中平

均一個人可以傳染x個人，經(jīng)過兩輪傳染后共有400人感染，列出的方程是()

A.i+x+x2=400B.(1+x)2=400C.x+x(l+x)=400D.l+2x=400

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，正確的理解題意，列出一元二次方程，即可得到答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，

x+x(l+x)=400,

故選：C

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的理解題意，列出一元二次方程.

變式1.(2022?浙江杭州?八年級期中)2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球卻

持續(xù)蔓延，此肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有256人患新

冠肺炎，設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x人，則根據(jù)題意可列出方程()

A.x(1+x)=256B.x+(1+x)2=256

C.x+x(1+x)=256D.1+x+x(1+x)=256

【答案】D

【解析】

【分析】

分別計算出每輪的人數(shù)，然后求和即可得出方程.

【詳解】

解:第一輪傳染x個人，一輪后的人數(shù)為(1+x)人；

第二輪的人數(shù)為x(l+x),

兩輪的總?cè)藬?shù)為：1+無+x(l+x)=256,

故選：D.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，列出相應(yīng)方程是解題關(guān)鍵.

變式2.(2021?廣東湛江?九年級期末)有一人患了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎.

(1)求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

(2)如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？

【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染了12個人

(2)第三輪將又有2028人被傳染

【解析】

【分析】

(1)設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了流感，可求出x,

(2)由(1)所得可求出第三輪過后，又被感染的人數(shù).

(1)

解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則

G+1)2=169.

解得%=12,X2=~14（舍去）.

答：每輪傳染中平均一個人傳染了12個人；

(2)

解：由題意得：169x12=2028(人).

答：第三輪將又有2028人被傳染.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，先求出每輪傳染中平均每人傳染了多少人數(shù)是解題關(guān)鍵.

變式3.(2021?寧夏?吳忠市利通區(qū)扁擔(dān)溝中心學(xué)校九年級期中)新冠肺炎是一種傳染性很強(qiáng)的疾病.如果

某鎮(zhèn)有一人不幸成為新冠肺炎病毒的攜帶者，假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人成為

新冠病毒的攜帶者.

(1)每個人每輪傳染多少人？

(2)若不控制傳染渠道，經(jīng)過三輪傳染，共有多少人成為新冠病毒的攜帶者？

【答案】(1)每個人每輪傳染12人.

(2)共有2197人成為新冠病毒的攜帶者.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)每個人每輪傳染x人，由題意可列方程進(jìn)行求解；

(2)由(1)可直接進(jìn)行求解.

(1)

解：設(shè)每個人每輪傳染x人，由題意得：

l+x+x(x+l)=169,

解得：X1=12,X2=-14(不符合題意，舍去)，

答：每個人每輪傳染12人.

⑵

解：由(1)可得：169x(1+12)=2197(人)；

答：若不控制傳染渠道，經(jīng)過三輪傳染，共有2197人成為新冠病毒的攜帶者.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的傳播問題是解題的關(guān)鍵.

◎題型2：平均增長率問題

技巧：b=a(l±x)n,n為增長或降低次數(shù)，b為最后產(chǎn)量，a為基數(shù)，x為平均增長率或降

低率

例.(2020?江蘇無錫?九年級期中)某口罩生產(chǎn)廠生產(chǎn)的口罩1月份平均日產(chǎn)量為20000個，1月底因突然

爆發(fā)新冠肺炎疫情，市場對口罩需求量大增.為滿足市場需求，工廠決定從2月份起擴(kuò)大產(chǎn)能，3月份平

均日產(chǎn)量達(dá)到24200個.則口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為()

A.8%B.10%C.15%D.20%

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為x,依據(jù)題意列出方程20000(1+x)2=24200,求解即可.

【詳解】

解：設(shè)口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為x,依據(jù)題意可得：

20000(1+x)2=24200,

解得：x/=0.1=10%,X2—-2.1(不合題意舍去)，

.?.x=10%.

???口罩日產(chǎn)量的月平均增長率為10%.

故答案選：B.

【點睛】

本題考查了一元二次方程中增長率的知識.增長前的量x(1+年平均增長率)年數(shù)=增長后的量.

變式1.(2022?云南紅河?九年級期末)楊倩在東京奧運會女子10米氣步槍決賽中奪得冠軍，為中國代表團(tuán)

攬入首枚金牌，隨后楊倩同款“小黃鴨”發(fā)卡在電商平臺上爆單.該款發(fā)卡在某電商平臺上7月24日的銷量

為5000個，7月25日和7月26日的總銷量是30000個.若7月25日和26日較前一天的增長率均為x,

則可列方程為()

A.5000(1+x)2=30000B.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=30000

C.5000(1-X)2=30000D.5000(1+x)+5000(1+x)2=30000

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意先分別求得7月25日和7月26日的銷量，進(jìn)而利用7月25日和7月26日的總銷量是30000個

列方程即可.

【詳解】

解：由題意得：7月25日的銷量為5000(1+x)個，7月26日的銷量為5000(1+x)2個，

貝"5000(1+x)+5000(1+x)2=30000,

故答案為：D.

【點睛】

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵.

變式2.(2021?廣西南寧?九年級期中)某工廠為了提高市場競爭力不斷改進(jìn)設(shè)備，2018年在改進(jìn)設(shè)備方面

投入的資金是100萬元，2020年投入的資金是121萬元，且從2018年到2020年每年投入資金的年平均增

長率相同.

(1)求該工廠在改進(jìn)設(shè)備方面投入資金的年平均增長率；

(2)若投入資金的年平均增長率不變，那么該廠在2021年需投入多少萬元？

【答案】(1)10%

(2)133.1萬元

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)2020年投入的資金做等量關(guān)系列方程即可；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論計算即可.

(1)

設(shè)工廠在改進(jìn)設(shè)備方面投入資金的年平均增長率為x,

則依題意得：100(1+X)2=121

解得再=0.1,%=-2.1(不合題意舍去).

.??X=0.1=10%.

答：工廠在改進(jìn)設(shè)備方面投入資金的年平均增長率為10%

⑵

121+121xl0%=133.1(萬元)

答：該廠在2021年需投入133.1萬元.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

變式3.(2021?四川成都?九年級期中)某商場于今年年初以每件40元的進(jìn)價購進(jìn)一批商品.當(dāng)商品售價為

60元時，一月份銷售64件.二、三月該商品十分暢銷.銷售量持續(xù)走高.在售價不變的基礎(chǔ)上，三月底

的銷售量達(dá)到100件.設(shè)二、三這兩個月月平均增長率不變.

(1)求二、三這兩個月的月平均增長率；

(2)從四月份起，商場決定采用降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價2元，銷售量增加20件，為盡可能

讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售，商場獲利2240元？

【答案】(1)二、三這兩個月的月平均增長率為25%

(2)該店應(yīng)按原售價的九折出售

【解析】

【分析】

(1)設(shè)二、三這兩個月的月平均增長率為。，根據(jù)增長率公式列方程解答；

(2)設(shè)商品應(yīng)降價x元，根據(jù)售價乘以數(shù)量列一元二次方程解答.

(1)

解：設(shè)二、三這兩個月的月平均增長率為。，根據(jù)題

意可得：64(1+a)2=100,

解得：a2=--(不合題意舍去)

答：二、三這兩個月的月平均增長率為25%；

(2)

設(shè)商品應(yīng)降價x元，

根據(jù)題意，得(60—x—40)1100+券x20)=2240,

化簡，得Y-10x+24=0,解得玉=4,x2=6,

???要盡可能讓利于顧客，

每千克核桃應(yīng)降價6元，

54

此時，售價為：60-6=54(元)，—X100%=90%,

60

答：該店應(yīng)按原售價的九折出售.

【點睛】

此題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，正確掌握增長率問題計算公式a(1+x)2=兒以及銷售問題的計算

公式是解題的關(guān)鍵.

◎題型3：形積問題

技巧：根據(jù)圖形的性質(zhì)和面積公式，聯(lián)系一元二次方程的根，注意涉及到面積的和差，切勿

混淆！

例.(2020?陜西商洛?九年級期末)如圖，一農(nóng)戶要建議個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12加的墻，另

外三邊用25長的籬笆圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊留一個1加寬的門，花圃面積為80加｝設(shè)

于墻垂直的一邊長為xw則可以列出方程是()

A.x(26—2x)=80B.x(24—2x)—80

C.(x-1)(26~2x)=80D.x(25—2x)=80

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)與墻垂直的一邊長為xm,則與墻平行的一邊長為(26-2x)m,根據(jù)花圃面積為80M即可列出關(guān)于x的

一元二次方程，此題得解.

【詳解】

解：設(shè)與墻垂直的一邊長為xm,則與墻平行的一邊長為(26-2x)m,

根據(jù)題意得：x(26-2x)=80.

故選：A.

【點睛】

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)花圃的面積列出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2022?浙江?衢州市實驗學(xué)校教育集團(tuán)(衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán))八年級期中)如圖，在一幅

長80cm,寬為50cm的矩形風(fēng)景畫的四周，鑲一條寬度相等的金色紙邊制成矩形掛圖，如果要使整個掛圖

的面積為5400cnP,設(shè)金色紙邊的寬為xcm,則可列方程().

A.（80+x）（50+x）=5400B.（80+2x）（50+2x）=5400

c.（80-x）（50-x）=5400D.（80-2x）（50-2x）=5400

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形的面積=長/寬，我們可得出本題的等量關(guān)系應(yīng)該是：（長+2個紙邊的寬度）x（寬+2個紙邊的寬

度）=整個掛圖的面積，由此可得出方程.

【詳解】

解：設(shè)金色紙邊的寬為xcm,

依題意得：（80+2x）（50+2%）=5400.

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，對于面積問題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式，然后根據(jù)題

意列出方程是解題關(guān)鍵.

變式2.（2022?江蘇淮安?九年級期末）用一段長為30m的籬笆圍成一個靠墻的矩形菜園，墻的長度為

18m.

（1）設(shè)垂直于墻的一邊長為xw,則平行于墻的一邊長為m（用含x的代數(shù)式表示）;

（2）若菜園的面積為lOOm?,求x的值.

【答案】（1）（30-2%）

⑵10

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)圖形直接可得答案；

（2）由矩形面積公式列方程即可解得答案.

（1）

解：設(shè)垂直于墻的一邊長為

由圖可得：平行于墻的一邊長為（30-2x）m,

故答案為：30-2x；

⑵

解：根據(jù)題意得:x(30-2x)=100,

.■.x2-15x+50=0,因式分解得(x-5)(x-10)=0,解得x=5或x=10,

當(dāng)x=5時，30-2尤=20>18；當(dāng)x=10時，30-2%=10<18；

；.x=5不合題意，舍去，即x=10,

答：x的值為10m.

【點睛】

本題考查根據(jù)題意列代數(shù)式及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意、數(shù)形結(jié)合列出相應(yīng)代數(shù)式及

方程.

變式3.(2022?湖南長沙?八年級期末)某農(nóng)戶要利用一面25m長的墻建一個長方形的養(yǎng)雞場，一邊靠墻，

另三邊用木柵欄圍成，木柵欄長40m.

/0///////////

雞場

(1)雞場的面積能達(dá)到200m2嗎？如果能，求出與墻平行的邊的長；

⑵雞場的面積能達(dá)到210m2嗎？為什么？

【答案】(1)面積能達(dá)到200m,此時與墻平行的邊的長是20米

(2)不能，理由見解析

【解析】

【分析】

40-r

(1)設(shè)雞場的一邊為xm,另外兩邊均為空尸m,根據(jù)矩形的面積公式建立方程求出其解即可;

(2)根據(jù)題意得出方程，求出其解的情況就可以得出結(jié)論；

(1)

設(shè)與墻平行的邊的長是x米，

則x(40-x)+2=200,

整理得x2-40x+400=0,

解得：X/=X2=20,

解得x=20<25,

即面積能達(dá)到200〃/,此時與墻平行的邊的長是20米.

(2)

由x(40-x)+2=210

得--40工+420=0,

此時/<0,

所以面積不能達(dá)到210m2.

【點睛】

本題考查了運用矩形的面積公式建立一元二次方程求解的運用，一元二次方程根的判別式的運用，解答時

根據(jù)矩形的面積公式建立一元二次方程是關(guān)鍵.

◎題型4：數(shù)字問題

技巧：注意個位和十位數(shù)字的表示，特別是涉及到互換位置的時候，根據(jù)題意直接列出方程

即可！

例.(2022?全國?九年級專題練習(xí))兩個連續(xù)奇數(shù)的積為323,設(shè)其中較小的一個奇數(shù)為x,可得方程

()

A.x(x-2)=323B.x(x+2)=323

C.x(x-l)=323D.(2x-l)(2x+1)=323

【答案】B

【解析】

【分析】

兩個連續(xù)的奇數(shù)相差2,則較大的數(shù)為x+2,再根據(jù)兩數(shù)的積為323即可得出答案.

【詳解】

解：依題意得：較大的奇數(shù)為x+2,

則有：x(x+2)=323.

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，得到兩個奇數(shù)的代數(shù)式是解決本題的突破點；根據(jù)兩個數(shù)的積得到

等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

變式1.(2019?全國?九年級)若兩個連續(xù)奇數(shù)的積為63,則這兩個數(shù)的和為()

A.16B.17C.±16D.±17

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)兩個奇數(shù)其中較小的為x,則另一個為x+2,根據(jù)題意列出方程求解即可

【詳解】

設(shè)兩個奇數(shù)其中較小的為x,則另一個為x+2；因為它們的積為63,所以x(x+2)=63,解得再=7,

%=-9；所以當(dāng)國=7時，另一個數(shù)為9,其和為16,當(dāng)x?=-9時，另一個為-7,其和為-16

故答案為C選項

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程中連續(xù)奇數(shù)或偶數(shù)等的運用，正確表示出各個數(shù)建立方程是關(guān)鍵

變式2.(2022?全國?九年級專題練習(xí))2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用小

方框圈出四個數(shù)(如圖所示)，圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65,若能求出最小

數(shù)：若不能請說明理由.

2021年07月

日一二三四五六

建1光節(jié)23

45678910

25262728293031

【答案】最小的數(shù)是5,理由見解析

【解析】

【分析】

設(shè)這個最小數(shù)為x,則最大數(shù)為(x+8),根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65或33,即可得出關(guān)于x的一元二

次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【詳解】

解:設(shè)最小的數(shù)為x,則最大數(shù)為(x+8),

由題意得x(x+8)=33,

解得無X2=3.由表格知不符合實際舍去；

由題意得x（x+8）=65,

解得%=-13（舍去），X2=5,

所以當(dāng)最大數(shù)與最小數(shù)乘積為65時，最小的數(shù)是5.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2022?全國?九年級課時練習(xí)）解讀詩詞（通過列方程算出周瑜去世時的年齡）：大江東去浪淘盡，

千古風(fēng)流數(shù)人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學(xué)子算得

快，多少年華屬周瑜？詩詞大意：周瑜三十歲當(dāng)東吳都督，去世時的年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字

小三，個位數(shù)字的平方等于他去世時的年齡.

【答案】周瑜去世時的年齡為36歲

【解析】

【分析】

設(shè)周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為x-3根據(jù)題意建立方程10（尤-3）+x=/求出其值即

可.

【詳解】

解：設(shè)周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為x-3,依題意得：

10（x-3）+x=x2,

解得X]=5,x2=6,

當(dāng)x=5時,25<30,（不合題意,舍去），

當(dāng)尤=6時，36>30（符合題意），

答：周瑜去世時的年齡為36歲.

【點睛】

本題是一道數(shù)字問題的應(yīng)用題，考查了列一元二次方程解實際問題的運用，在解答中根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，

列出正確的方程是解題的關(guān)鍵.

◎題型5：商品銷售問題

技巧：銷售總額=單件售價義數(shù)量

總利潤：單件利潤義數(shù)量=（售價一進(jìn)價）義數(shù)量

利潤=成本X利潤率

例.（2022?安徽合肥?八年級期末）某超市銷售一種商品，其進(jìn)價為每千克30元，按每千克45元出售，每

天可售出300千克，為讓利于民，超市采取降價措施，當(dāng)售價每千克降低1元時，每天銷量可增加50千

克，若每天的利潤要達(dá)到5500元，則實際售價應(yīng)定為多少元？設(shè)售價每千克降低x元，可列方程為

()

A.(45-30-無)(300+50x)=5500B.(x-30)(300+50%)=5500

C.(x-30)[300+50(x-45)]=5500D.(45-x)(300+50%)=5500

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出每千克的售價為(45-x)元，此時每天銷量為(300+50X)千克，再根據(jù)“利潤=(售價-進(jìn)價)x每天

銷量”建立方程即可得.

【詳解】

解：由題意可知，當(dāng)售價每千克降低x元時，每千克的售價為(45-x)元，此時每天銷量為(300+50x)千

克，

貝1|可歹!]方程為(45-x-30)(300+50x)=5500,

故選：A.

【點睛】

本題考查了列一元二次方程，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

變式1.(2022?浙江寧波?八年級期中)某海鮮市場以每千克10元的進(jìn)價進(jìn)了一批螃蟹，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn):

售價為每千克20元時，每天可銷售40千克.售價每上漲1元，每天的銷量將減少3千克.如果該海鮮市

場想平均每天獲利408元，設(shè)這種螃蟹的售價上漲了x元，根據(jù)題意可列方程為()

A.(x-10)[40-3(x-20)]=408B.(20+x)(40-3x)-10x40=408

C.(20+x)(40-3x)=408D.(20+10)(40-3x)=408

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)這種螃蟹的售價上漲了x元，則每千克的銷售利潤為(20+x-lO)元，每天可銷售(40-3x)千克，利用每

天的銷售利潤=每千克的銷售利潤x每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【詳解】

設(shè)這種螃蟹的售價上漲了x元，則每千克的銷售利潤為(20+x-lO)元，每天可銷售(40-3x)千克，

依題意得：（20+x-10）（40-3x）=408.

故選：D

【點睛】

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?云南大理?九年級期末）某商場品牌童裝每件進(jìn)價60元，售價100元，平均每天可售出20

件，為了迎接“元旦”商場采取了促銷活動，增加盈利，盡快減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查，若每件童裝降價1

元，平均每天就可多售出2件，要使某商場每天盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價多少元？

【答案】每件童裝應(yīng)降價20元

【解析】

【分析】

設(shè)每件童裝應(yīng)降價x元

每件利潤售出數(shù)量每天盈利

降價前100-6020

降價后100-60-x20+2%(100-60-x)(20+2x)

根據(jù)題意列出方程求解即可.

【詳解】

解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價x元，則

（100-60-x）（20+2x）=1200,

即：x2-30x+200=0,

解得：再=10,x2=20,

??,盡快減少庫存，

二.舍去無］=10.

答：每件童裝應(yīng)降價20元.

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程求解是解題的關(guān)鍵，注意一元

二次方程有兩個解，要結(jié)合題意和實際情況，舍去不符合題意和不符合實際情況的解.

變式3.（2020?江西景德鎮(zhèn)?九年級期中）由于新冠疫情的影響，口罩需求量急劇上升，經(jīng)過連續(xù)兩次價格

的上調(diào)，口罩的價格由每包10元漲到了每包14.4元，

(1)求出這兩次價格上調(diào)的平均增長率；

(2)在有關(guān)部門調(diào)控下，口罩價格還是降到了每包10元，而且調(diào)查發(fā)現(xiàn)，定價為每包10元時，一天可以賣

出30包，每降價1元，可以多賣出5包，當(dāng)銷售額為315元時，且讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，應(yīng)該降價多

少元？

【答案】(1)這兩次價格上調(diào)的平均增長率為20%.

⑵應(yīng)該降價3元.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)這兩次價格上調(diào)的平均增長率為x,然后根據(jù)題意可列方程進(jìn)行求解；

(2)設(shè)降價y元，然后根據(jù)題意可列出方程進(jìn)行求解.

(1)

解：設(shè)這兩次價格上調(diào)的平均增長率為X,由題意得：

10(l+x)2=14.4,

解得：西=0.2,%=-2.2(不符合題意，舍去)，

答：這兩次價格上調(diào)的平均增長率為20%.

⑵

解：設(shè)降價y元，由題意得：

(10-^)(30+5y)=315,

整理得：J2-4y+3=0,

解得：必=3,%=1,

,??讓顧客獲得更大的優(yōu)惠，

y=3；

答：應(yīng)該降價3元.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

◎題型6：動點幾何問題

技巧：先把動點走過的路程用時間表示出來，再把剩余的路長用時間表示出來，根據(jù)題意列

方程！

例.（2022?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，在△/8C中，N42C=90°,AB=4cm,BC=3cm,動點尸，Q

分別從點/,8同時開始移動（移動方向如圖所示），點尸的速度為。c〃?/s,點。的速度為1c加/s,點。

移動到點C后停止，點尸也隨之停止運動，若使△尸30的面積為，cM,則點P運動的時間是（）

C

A.2sB.3sC.4sD.5s

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)出動點P,。運動t秒，能使△尸8。的面積為，cni,用f分別表示出3P和30的長，利用三角形的面

積計算公式即可解答.

【詳解】

解：設(shè)動點尸，。運動/秒后，能使△尸8。的面積為?crrf,

貝U8P為（4-yOcm,BQ為tcm,由三角形的面積計算公式列方程得，

；XX,

224

解得0=3,〃=5（當(dāng)￡=5時，80=10,不合題意，舍去）.

二動點尸，。運動3秒時，能使△尸3。的面積為"cni.

4

故選區(qū)

【點睛】

此題考查一元二次方程的應(yīng)用，借助三角形的面積計算公式來研究圖形中的動點問題.

變式1.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在AA8C中，AC50m,8C=40加,NC=90。，點P從點A

開始沿NC邊向點C以2加/s的速度勻速移動，同時另一點。由C點開始以3加/s的速度沿著射線C8勻速

移動，當(dāng)APC0的面積等于300比2時運動時間為（

p

A.10秒B.5秒C.20秒D.5秒或20秒

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可解決問題.

【詳解】

解：由題意/尸=2l,CQ=3Z,

PC=50-27,

,-.|gPCgC2=300,

1-(50-2/)^=300,

解得f=20或5,

.」=20s或5s時，"C。的面積為300〃/.

故選D.

【點睛】

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為方程，屬于基礎(chǔ)

題，中考?？碱}型.

變式2.(2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖，在矩形/BCD中，/8=12cm,8c=6cm.點P沿N8邊從

點工開始向點2以2cm/s的速度移動，點0沿。/邊從點。開始向點/以lcm/s的速度移動.如果點

P,0同時出發(fā)，用心)表示移動的時間(0?<6),那么當(dāng)t為何值時，A。4P的面積等于8cm2?

【答案】當(dāng)f為2或4時，AO/P的面積等于8cm2.

【解析】

【分析】

當(dāng)運動時間為fs時，AP—2tcm,AQ=(6-力cm,利用三角形的面積計算公式，結(jié)合AQ/P的面積等于

8cm2,即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出f的值.

【詳解】

解：當(dāng)運動時間為fs時，AP=2tcm,AQ=(6—t)cm,

依題意得;x2z(6—0=8,

整理得戶-6/+8=0,

解得。=2,七=4,

二當(dāng)，為2或4時，A0/尸的面積等于8cm2.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

變式3.(2022?全國?九年級課時練習(xí))如圖，在矩形48CD中，AB=6cm,8c=12°加，點P從點/出發(fā)沿

N8以lc〃加的速度向點2運動，同時，點。從點8出發(fā)沿8C以2C/M/S的速度向點C運動.設(shè)運動時間

(1)若P0=4Abcm,求x的值；

(2)若V。尸0的面積為31cm2,求x的值.

2

【答案】(1)x的值為2或)；(2)當(dāng)尸。的面積為31c加2,則x的值為1或5.

【解析】

【分析】

(1)直接利用P,0點運動方向和運動速度表示出8尸、BQ,利用勾股定理即可求解;

(2)直接利用S/尸占S代入求出答案.

【詳解】

解：(1)由題意可得：BP=AB-AP=(6-x)cm,BQ=2x(cm),

■.■BP2+BQ2=PQ2,

???（6-x）2+（2x）2=（4V2）2,

2

角牛得：X]=2,X2—~t

.?.x的值為2或（2；

（2）由題意可得：SADPQ=S^ABCD-SAADP-SACDQ-SABPQ

111

=AB-BC—AD-AP--CD-CQ--BP-BQ

222

111、

=6x12--xl2x--x6（z12-2x）--（6-x）*2x

222

=N-6X+36=31,

解得：芍=1,X2=5,

當(dāng)ADP。的面積為31a?2,則X的值為1或5.

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，正確表示出三角形的各邊長是解題關(guān)鍵.

◎題型7：工程問題

例.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）“端午臨中夏，時清日復(fù)長”.臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門店接到一批3200

袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成.已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300

袋.兩組同時開工，甲組原計劃加工10天、乙組原計劃加工8天就能完成訂單.

（1）求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；

（2）兩組人員同時開工2天后，臨時又增加了500袋的任務(wù)，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的

工作效率不變.經(jīng)估計，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成

任務(wù).已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？

【答案】（1）甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子

（2）400

【解析】

【分析】

（1）設(shè)甲、乙兩組平均每天各能加工無袋、v袋粽子，根據(jù)甲乙兩個小組的工作情況列出二元一次方程

組，從而解決問題.

（2）根據(jù)“甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成任務(wù)”，考慮設(shè)

“甲組平均每天比原計劃平均每天多加工100。袋粽子”，再根據(jù)實際總工作量等于甲乙兩組實際工作量之

和，列出方程.

(1)

解：設(shè)甲、乙兩組平均每天各能加工X袋、y袋粽子

10x+8y=3200x=200

由題意得:解得:

3x-2y=3007=150

答：甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子.

⑵

解：設(shè)提高效率后，甲組平均每天比原計劃平均每天多加工100。袋粽子

由題意得：2x(200+150)+(200+100a)(8-a)+150(6-a)=3200+500

整理得：2a2-9a+10=0

解得：%=2,a2=2.5,

又???甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)

:.a=2

???200+100x2=400(袋)

答：提高工作效率后，甲組平均每天能加工400袋粽子.

【點睛】

本題考查了運用二元一次方程組、一元二次方程解決實際問題，理清題意，正確計算是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2022?重慶十八中兩江實驗中學(xué)一模)某公司主營鐵路建設(shè)施工.

(1)原計劃今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和橋梁施工共146千米，其中平地施工106千米，

隧道施工至少是橋梁施工的9倍，那么，原計劃今年一季度，橋梁施工最多是多少千米？

(2)到今年3月底，施工里程剛好按原計劃完成，且橋梁施工的里程數(shù)正好是原計劃的最大值，已知一季度

平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本之比1：3：10,總成本為254億元，預(yù)計二季度平地施工里

程會減少7a千米，隧道施工里程會減少2a千米，橋梁施工里程會增加。千米，其中平地施工，隧道施工

每千米的成本與一季度持平，橋梁施工每千米的成本將會增加。。億元，若二季度總成本與一季度相同，

求a的值.

【答案】(1)4；

(2)2.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)橋梁施工最多是加千米，則隧道施工為(146-106-機(jī))千米，利用隧道施工至少是橋梁施工的9

倍，列不等式求解即可；

（2）求出一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工的里程數(shù)，設(shè)一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每

千米的成本分別為x,3x,10x,利用總成本為254億元，列方程求出x,找出二季度平地施工，隧道施工

和橋梁施工的里程數(shù)及每千米的成本，利用二季度總成本與一季度相同，列方程求解即可.

（1）

解：設(shè)橋梁施工最多是千米，則隧道施工為（146-106-加）千米，

???隧道施工至少是橋梁施工的9倍，

146-106-m>9m,

解之得："244,

??.橋梁施工最多是4千米.

⑵

解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工分別為106千米，36千米和4千米，

設(shè)一季度平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本分別為x,3x,10x,

,?,總成本為254億元，

106x+36x3x+40%=254,

解之得：x=l,

由題意可知：二季度平地施工里程為106-7a千米，隧道施工里程為36-2a千米，橋梁施工里程為4+。千

米；平地施工，隧道施工和橋梁施工每千米的成本分別為：1,3,10+；“

?.?二季度總成本與一季度相同，

.■.106-7a+（36-2a）x3+（4+a）|^10+1a^=254,

即a（a-2）=0,

解之得：a=0（舍去）或a=2,

故a=2.

【點睛】

本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用.（1）的關(guān)鍵是根據(jù)各數(shù)量

之間的關(guān)系，列出不等式求解即可；（2）的關(guān)鍵找出等量關(guān)系列出一元一次方程和一元二次方程求解.

變式2.（2022?云南?云大附中九年級期末）公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護(hù)行動，帶動了市場頭盔

的銷量.某頭盔經(jīng)銷商5至7月份統(tǒng)計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月

份到7月份銷售量的月增長率相同.請解決下列問題.

（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；

（2）為了達(dá)到市場需求，某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過一段時間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能

是900個/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)

頭盔3900個，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？

【答案】（1）該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%

（2）在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線

【解析】

【分析】

（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x,根據(jù)題意列出一元二次方程進(jìn)行求解；

（2）設(shè)增加無條生產(chǎn)線，根據(jù)條件列出一元二次方程求解，再根據(jù)要節(jié)省投入的條件下，確定解.

（1）

解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為X.

依題意,得:2250（1+x）2=3240,

解得：再=0.2=20%,X2=-2.2（不合題意，舍去）.

答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%.

⑵

解：設(shè)增加x條生產(chǎn)線.

（900-30x）（x+1）=3900,

解得玉=4,%=25（不符合題意，舍去），

答：在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產(chǎn)線.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的一元二次方程求解即可.

變式3.（2022?福建?模擬預(yù)測）某市創(chuàng)建“綠色發(fā)展模范城市”，針對境內(nèi)長江段兩種主要污染源：生活污

水和沿江工廠污染物排放，分別用“生活污水集中處理”（下稱甲方案）和“沿江工廠轉(zhuǎn)型升級”（下稱乙方案）進(jìn)

行治理，若江水污染指數(shù)記為。，沿江工廠用乙方案進(jìn)行一次性治理（當(dāng)年完工），從當(dāng)年開始，所治理的

每家工廠一年降低的。值都以平均值〃計算，第一年有40家工廠用乙方案治理，共使。值降低了

12.經(jīng)過三年治理，境內(nèi)長江水質(zhì)明顯改善.

(1)求的〃值；

(2)從第二年起，每年用乙方案新治理的工廠數(shù)量比上一年都增加相同的百分?jǐn)?shù)加，三年來用乙方案治

理的工廠數(shù)量共190家，求機(jī)的值，并計算第二年用乙方案新治理的工廠數(shù)量；

【答案】(1)”=0.3；(2)加=；,60家

【解析】

【分析】

(1)直接利用第一年有40家工廠用乙方案治理，共使。值降低了12,列出關(guān)于〃的一元一次等式，從

而求出答案；

(2)從第二年起，每年用乙方案新治理的工廠數(shù)量比上一年都增加相同的百分?jǐn)?shù)加，三年來用乙方案治

理的工廠數(shù)量共190家，列出關(guān)于根的一元二次等式，從而求出加及第二年用乙方案新治理的工廠數(shù)

量.

【詳解】

解：(1)由題意可得：40〃=12,

解得〃=0.3；

(2)由題意可得：40+40(m+l)+40(m+l)2=190,

17

解得：=->"卜=一萬(舍去)，

???第二年用乙方案新治理的工廠數(shù)量為：40(1+m)=40(1+50%)=60(家).

【點睛】

本題主要考查了一元一次方程和一元二次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)所給條

件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程從而求解.

◎題型8：行程問題

例.(2019?天津?南開翔宇學(xué)校八年級階段練習(xí))如圖，東西方向上有4,C兩地相距10千米，甲以16千

米/時的速度從工地出發(fā)向正東方向前進(jìn)，乙以12千米/時的速度從C地出發(fā)向正南方向前進(jìn)，那么最快經(jīng)

過()小時，甲、乙兩人相距6千米？

?工5___________C

23

A.-B.-C.1.5D.

553

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意表示出BC,DC的長，進(jìn)而利用勾股定理求出答案

【詳解】

解：設(shè)最快經(jīng)過x小時，甲、乙兩人相距6km,根據(jù)題意可得:

BC=(10-16x)km,DC=12xkm,

因為BC2+DC2=BD2,

貝!J(10-16x)2+(12x)2=62,

解得：XL=X2=0.4.

答:最快經(jīng)過0.4小時，甲、乙兩人相距6km.

故選A.

【點睛】

此題主要考查了勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2022?全國?九年級專題練習(xí))小球以5m/s的速度在平坦地面上開始滾動，并且均勻減速，4s后

小球停下來.小球滾動到5m時約用了多少時間(精確到0.1s)?()

A.1.1B.1.2C.1.3D.1.4

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求得小球的平均速度，然后利用等量關(guān)系：速度x時間=路程，時間為％,則速度為5-1.25X.

【詳解】

小球滾動到5加時約用了xs,依題意，得：

5+(5-1.25%)

x,------------------=5

2

整理得：x2-8x+8=0,解得：x=4±2&.

vx<4,1=4-272-1.2.

故選B.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，重點在于求出平均每秒小球的運動減少的速度，而平均每秒小球的運動

減少的速度=(初始速度-末速度)一時間.

變式2.(2019?河南?鄭州四中實驗學(xué)校九年級期中)某日王老師佩戴運動手環(huán)進(jìn)行快走鍛煉，兩次鍛煉后

數(shù)據(jù)如下表.與第一次鍛煉相比，王老師第二次鍛煉步數(shù)增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3

倍.設(shè)王老師第二次鍛煉時平均步長減少的百分率為x(0<x<0.5).

項目第一次鍛煉第二次鍛煉

步數(shù)(步)1OOOO0____________

平均步長

0.6②____________

(米/步)

距離(米)60007020

注：步數(shù)x平均步長=距離.

(1)根據(jù)題意完成表格填空；

(2)求x的值；

(3)王老師發(fā)現(xiàn)好友中步數(shù)排名第一為24000步，因此在兩次鍛煉結(jié)束后又走了500米，使得總步數(shù)恰

好為24000步，求王老師這500米的平均步長.

【答案】(1)①10000(1+3%),②0.6(1)；(2)龍的值為0.1；(3)王老師這500加的平均步長為0.5

米/步.

【解析】

【分析】

(1)①直接利用王老師第二次鍛煉步數(shù)增長的百分率是其平均步長減少的百分率的3倍，得出第二次鍛

煉的步數(shù)；②利用王老師第二次鍛煉時平均步長減少的百分率為x,即可表示出第二次鍛煉的平均步長

(米/步)；

(2)根據(jù)題意表示出第二次鍛煉的總距離，進(jìn)而得出答案；

(3)根據(jù)題意可得兩次鍛煉結(jié)束后總步數(shù)，進(jìn)而求出王老師這500米的平均步長.

【詳解】

(1)①根據(jù)題意可得第二次鍛煉的步數(shù)為10000(l+3x)；

②第二次鍛煉的平均步長(米/步)為：0.6(1-x)；

故答案為：10000(l+3x)；0.6(1-x)；

(2)根據(jù)題意得10000(1+3x)x0.6(1—x)=7020,

解得無1=五>0.5(舍去)，x2=0.1.

則x的值為0.1.

(3)根據(jù)題意可得：10000+10000(1+0.1X3)=23000,

500-(24000-23000)=0.5(m).

答：王老師這500米的平均步長為0.5米.

【點睛】

此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確表示出第二次鍛煉的步數(shù)與步長是解題關(guān)鍵.

變式3.(2018?福建泉州?九年級期中)某學(xué)校為培養(yǎng)青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設(shè)

計了點做圓周運動的一個雛型.如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點A、8以順時針、逆時針的方

I3

2

向同時沿圓周運動.甲運動的路程/(C"。與時間《S)滿足關(guān)系：/=-Z+-Z(t>0),乙以4CM/S的速度勻

速運動，半圓的長度為21c加.

(1)甲運動4s后的路程是多少？

(2)甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間？

【答案】(1)甲運動4s后的路程是14。加；(2)甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了3s.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式把t=4s代入求得1的值即可；

(2)根據(jù)圖可知，二者第一次相遇走過的總路程為半圓，分別求出甲、乙走的路程，列出方程求解即

可.

【詳解】

⑴當(dāng)/=4s時，

1,3

/=—Z+-/=8+6=14(cm),

22

答：甲運動4s后的路程是14c掰；

13

(2)由圖可知，甲乙第一次相遇時走過的路程為半圓21，加，甲走過的路程為乙走過的路程為

4t,

1,3

則一產(chǎn)+T+4f=21,

22

解得：/=3或/=—14(不合題意，舍去)，

答：甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了3s.

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，試題比較新穎.解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形分析相遇問題，第一次相遇時二者

走的總路程為半圓.

◎題型9：圖標(biāo)信息題

例.(2022?湖北宜昌?九年級期末)某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月的用電量不超過x度，

那么這個月這戶居民只交10元電費；如果超過X度，這個月除了交10元電費外，超過部分按每度志元

交費.

(1)該廠某戶居民1月份用電90度，超過了x度的規(guī)定，試寫出超過部分應(yīng)交的電費.(用含x的代數(shù)式表

示)

(2)下表是這戶居民2月、3月的用電情況，請根據(jù)其中的數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的x度是多少.

月份用電量/度交電費總數(shù)/元

2月8025

3月4510

【答案】(90-x)兀

(2)50度

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可得用電90度超過了規(guī)定度數(shù)(90—x)度，再由超過部分按每度志元交電費，即可求

解；

(2)根據(jù)題意可得2月份用電量超過x度，列出方程，再由3月份用電45度只交電費10元，可得

x>45,即可求解.

Y

（1）解：?.?規(guī)定用電X度，.??用電90度超過了規(guī)定度數(shù)（90—x）度，???超過部分按每度同元交電費，:

超過部分應(yīng)交的電費為貴x（90—%）元.

（2）解：2月份用電量超過x度，依題意得（80—x）=25-10.整理得/—80x+1500=0.解這個方

程得x/=30,X2=50.根據(jù)題意得：3月份用電45度只交電費10元，，電廠規(guī)定的史45,???/=30不合題

意，舍去..?,x=50.答：電廠規(guī)定的x度為50度.

【點睛】

本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）某市為鼓勵居民節(jié)