廣東省廣州二中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE17-廣東省廣州二中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題.1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，由，則，又，所以.故選A.2.已知變量和的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：依據(jù)上表可得回來(lái)直線方程，據(jù)此可以預(yù)報(bào)當(dāng)時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回來(lái)直線方程求得的值，然后在回來(lái)直線方程中，令可求得結(jié)果.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，由于回來(lái)直線過(guò)樣本的中心點(diǎn)，，解得，所以，回來(lái)直線方程為，當(dāng)時(shí)，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用回來(lái)直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)也考查了利用回來(lái)直線過(guò)樣本的中心點(diǎn)求參數(shù)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.元朝聞名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩(shī)：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)四處，沒(méi)了壺中酒，借問(wèn)此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表達(dá)如圖所示，即最終輸出的，則一起先輸入的的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)輸入的值為，將循環(huán)列舉出來(lái)，可得出輸出的關(guān)于的表達(dá)式，由輸出的值為零，可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)出入的值為，第一次循環(huán)，，，，不成立；其次次循環(huán)，，，不成立；第三次循環(huán)，，，不成立；第四次循環(huán)，，，成立，跳出循環(huán)體.輸出的，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸入結(jié)果，一般要求將程序的每一步列舉出來(lái)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.若，，滿意，，.則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】，，，，，，，，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算實(shí)力和推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S.,若a=3,S=14.則{a}的公差為A.1 B.一1 C.2 D.-2【答案】B【解析】由題意得，選B.6.將函數(shù)y=sin(2x-)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)f（x）的圖象，則f（）=A. B. C. D.【答案】D【解析】，選D.7.已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，若，則滿意的的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵偶函數(shù)在單調(diào)遞減，且，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，且．結(jié)合圖象可得不等式等價(jià)于或，即或，解得或．故的取值范圍為．選A．8.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.8【答案】B【解析】由圖可知該幾何體底面積為8，高為2的四棱錐，如圖所示：∴該幾何體的體積故選B點(diǎn)睛：思索三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.9.在中，“”是“是鈍角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由可得出為鈍角，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義推斷即可.【詳解】充分性：若，則，可得，，則為鈍角，所以，“”“是鈍角三角形”；必要性：若是鈍角三角形，則可能為銳角，所以，“”“是鈍角三角形”.綜上所述，“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的推斷，考查了平面對(duì)量數(shù)量積定義的應(yīng)用，考查推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.10.阿波羅尼斯(約公元前262-190年)證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A、B間的距離為,動(dòng)點(diǎn)滿意，當(dāng)P、A、B不共線時(shí)，三角形PAB面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題，設(shè)點(diǎn)，依據(jù)題意，求得圓的方程，再求得P點(diǎn)的位置，即可求得面積的最大值.【詳解】以經(jīng)過(guò)的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系；則：設(shè),，兩邊平方并整理得：，當(dāng)點(diǎn)P到AB（x軸）的距離最大時(shí)，三角形PAB的面積最大，此時(shí)面積為故選A【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的軌跡方程，熟識(shí)圓的定義和求軌跡方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題型.11.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，若函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，則角的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，則導(dǎo)函數(shù)無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，，故最大值為：．故答案為C．12.已知點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)，滿意，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面對(duì)量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則將化為與距離有關(guān)的最值問(wèn)題，進(jìn)而利用線性規(guī)劃方法求得最小值.【詳解】畫出出可行域如圖所示:，表示點(diǎn)到可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方減去8的最小值，到的最小距離即為到直線的距離，則的最小值為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，線性規(guī)劃思想方法求距離最值問(wèn)題，屬中檔題.二、填空題.13.復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部為_(kāi)___.【答案】【解析】【分析】干脆利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，可得原復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】解：，故原復(fù)數(shù)的虛部為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.14.已知向量滿意，，則的夾角為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題得,因?yàn)?所以故填.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________．【答案】【解析】由題得（1），（2），兩式相減得是一個(gè)等比數(shù)列，所以故填.點(diǎn)睛：項(xiàng)和公式是數(shù)列中的一個(gè)特別重要的公式，也是高考的高頻考點(diǎn)，所以看到和n、的關(guān)系，要立刻聯(lián)想到項(xiàng)和公式，利用它幫助解題.16.點(diǎn)分別為雙曲線的焦點(diǎn)、實(shí)軸端點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)，且為直角三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題得所以所以（舍去負(fù)根），所以，故填.三、解答題.17.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.滿意.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將其轉(zhuǎn)化為，利用和角公式求得，利用誘導(dǎo)公式以及三角形內(nèi)角和，整理求得進(jìn)而可得解；（2）結(jié)合題中的條件，依據(jù)三角形的面積公式，求得，之后應(yīng)用余弦定理求得的值.【詳解】(1)在中，因?yàn)?，所以由正弦定理可得：，所以，又中，，所?因?yàn)椋?(2)由，，，得.由余弦定理得，所以【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有正弦定理，和角公式，誘導(dǎo)公式，三角形的面積公式，余弦定理，屬于簡(jiǎn)潔題目.18.某餐廳通過(guò)查閱了最近5次食品交易會(huì)參會(huì)人數(shù)（萬(wàn)人）與餐廳所用原材料數(shù)量（袋），到如下統(tǒng)計(jì)表：第一次其次次第三次第四次第五次參會(huì)人數(shù)（萬(wàn)人）13981012原材料（袋）3223182428（1）依據(jù)所給5組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回來(lái)方程；（2）已知購(gòu)買原材料的費(fèi)用（元）與數(shù)量（袋）關(guān)系為，投入運(yùn)用的每袋原材料相應(yīng)的銷售收入為700元，多余的原材料只能無(wú)償返還，據(jù)悉本次交易大會(huì)大約有15萬(wàn)人參與.依據(jù)（1）中求出的線性回來(lái)方程，預(yù)料餐廳應(yīng)購(gòu)買多少袋原材料，才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？（注：利潤(rùn)銷售收入原材料費(fèi)用）..參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，，.【答案】(1).（2）餐廳應(yīng)當(dāng)購(gòu)買36袋原材料，才能使利潤(rùn)獲得最大，最大利潤(rùn)為11520元.【解析】【詳解】試題分析：（1）依據(jù)公式求出b，再將樣本中心代入求出a，進(jìn)而得到回來(lái)方程；（2），利潤(rùn)為賺的錢減去花出去的錢，依據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分段列出利潤(rùn)表達(dá)式，分別探討利潤(rùn)的最值，最終取分段函數(shù)中較大的利潤(rùn)值.解析：(1)由所給數(shù)據(jù)可得：，，，，則關(guān)于的線性回來(lái)方程為.(2)由(1)中求出的線性回來(lái)方程知，當(dāng)時(shí)，，即預(yù)料須要原材料袋，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，利潤(rùn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．綜上所述，餐廳應(yīng)當(dāng)購(gòu)買36袋原材料，才能使利潤(rùn)獲得最大，最大利潤(rùn)為11520元.19.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是與的交點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，平面.（1）求證：；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由平面，可得，得出為的中點(diǎn)，依據(jù)已知可得，進(jìn)而證明平面，即可證明結(jié)論；（2）由已知可得四邊形是菱形，得到，再由（1）得，可證得平面，可得，即可證明結(jié)論.【詳解】證明：連接∵平面平面平面，∴,∵為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)；∵，∴,由平面，平面，得由是平面內(nèi)的兩條相交直線，得平面因?yàn)槠矫?，?（2）由（1）知，∵，∴四邊形是菱形，∴，∵平面平面，∴∵，平面∴平面∵平面，∴∵，平面，∴平面.【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，涉及線面平行性質(zhì)定理應(yīng)用、證明線線垂直和線面垂直，留意空間垂直關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化，考查邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題.20.已知橢圓的方程為，橢圓的短軸為的長(zhǎng)軸且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，分別為直線與橢圓的交點(diǎn)，為橢圓與軸的交點(diǎn)，面積為面積的2倍，若直線的方程為，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）依據(jù)橢圓的方程及離心率的定義，即可求出的值，從而求出橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)，，由面積為面積的2倍得，，即可得到關(guān)于的方程，解得即可.試題解析：（Ⅰ）橢圓的長(zhǎng)軸在軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，∴橢圓的短軸在軸上，且短軸長(zhǎng)為4.設(shè)橢圓的方程為，則有∴，，∴橢圓的方程為（Ⅱ）設(shè)，，由面積為面積的2倍得∴．聯(lián)立方程，消得∴．同樣可求得．∴，解得∵∴.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)隨意恒成立，求實(shí)數(shù)最大值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，干脆利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）第（2）問(wèn)，先分別參數(shù)得到對(duì)隨意x∈(0，＋∞)，恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值得解.試題解析：（1）f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，，當(dāng)a>0時(shí)，由<0，得；由>0，得，∴f(x)在上遞減，在上遞增.(2)∵函數(shù)f(x)在x＝1處取得極值，∴＝a－1＝0，則a＝1，從而f(x)＝x－1－lnx，x∈(0，＋∞).因此，對(duì)隨意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立對(duì)隨意x∈(0，＋∞)，恒成立，令，則，令＝0，得x＝e2，則g(x)在(0，e2)上遞減，在(e2，＋∞)上遞增，∴g(x)min＝g(e2)＝，即，故實(shí)數(shù)b的最大值是1－.點(diǎn)睛：本題的第2問(wèn)，用到了分別參數(shù)求最值的方法，這是處理恒成立問(wèn)題的常用的一種技巧.處理含參的恒成立問(wèn)題，常用的方法有分別參數(shù)和分類探討，假如好分別參數(shù)，就選分別參數(shù)，否則選擇分類探討.22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為