2023年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)真題（附答案）

2023年湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)真題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量、并進(jìn)行負(fù)數(shù)運算的國家.若收入500元

記作+500元，則支出237元記作（）

A.+237元B.一237元C.0元D.-474元

2,下列長度的各組線段能組成一個三角形的是（）

A.1cm,2cm,3cmB.3cm,8c叫5cm

C.4cm,5cm,10cmD.4cm,5cm56cm

3.下面四種化學(xué)儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（）

4.作為中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤

古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識.如圖是一把做工精湛的紫

砂壺“景舟石瓢”，下面四幅圖是從左面看到的圖形的是（）

5.計算的結(jié)果正確的是（）

D./

6.據(jù)共青團(tuán)中央2023年5月3日發(fā)布的中國共青團(tuán)團(tuán)內(nèi)統(tǒng)計公報，截至2022年12月

底，全國共有共青團(tuán)員7358萬.數(shù)據(jù)7358萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.7.358xlO7B.7.358xlO3C.7358xlO4D.7.358xlO6

7.對于二次根式的乘法運算，?般地，有6.振=瘋.該運算法則成立的條件是（）

A.a>O,b>OB.u<Q,b<0C.aSO,)00D.a>0,b>0

8.如圖，在四邊形A8CO中，BC//AD,添加下列條件，不能判定四邊形A8C。是平

行四邊形的是（）

C.ZA=ZCD.BC=AD

9.《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足,

問雞兔各幾何設(shè)有1只雞，1只兔.依題意，可列方程組為（）

（x+y=35,（x+y=94,

A，l4x+2y=94B，14x+2y=35

x+y=35,X+y=94,

2x+4y=942x+4y=35

10.某射擊運動隊進(jìn)行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績?nèi)缦卤?甲、乙兩

名選手成績的方差分別記為S；和S3則S；與S；的大小關(guān)系是（）

測試次數(shù)12345

甲510938

乙86867

A.齒>S￡B.S市<S；C.5市=S￡D.無法確定

11.我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60?！?假

設(shè)三角形沒有一個內(nèi)角小于或等于60。，即三個內(nèi)角都大于60。.則三角形的三個內(nèi)角

的和大于180。，這與“三角形的內(nèi)角和等于180?！边@個定理矛盾.所以在一個三角形中，

至少有一個內(nèi)角小于或等于60。.上述推理使用的證明方法是（）

A.反證法B.比較法C.綜合法D.分析法

12.已知機(jī)>〃>0,若關(guān)于k的方程丁+2彳一3-〃?=0的解為方,蒼（苦<9）.關(guān)于x的

方程/十2工-3-〃=0的解為-5<七）.則下列結(jié)論正確的是（）

試卷第2頁，共6頁

A.x3<xI<x2<x4B.x}<x3<x4<x2C.%<42<工3<七D.x3<x4<X)<x2

二、填空題

13.在平面直角坐標(biāo)系中，點尸(-3,-2)所在象限是第象限.

14.一個布袋中放著3個紅球和9個黑球,這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別.布

袋中的球已經(jīng)攪勻.從布袋中仔取1個球，取出紅球的概率是.

15.己知x=5,則代數(shù)式一三--”的值為______.

x-4x-16

16.已知關(guān)于x的方程20=0的一個根是T,則它的另一個根是.

17.如圖，在RtZ\A8C中，Z4CB=90°MC=8,BC=6.以點C為圓心，，?為半徑作圓，

當(dāng)所作的圓與斜邊4B所在的直線相切時，一的值為.

A

18.如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位

置.要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是個.

三、解答題

計算：|-3|+a+(-2)xl

x-4<0?

20.解不等式組：

2(X+1)<3A?

21.2023年3月27日是第28個全國中小學(xué)生安全教育日，為提高學(xué)生安全防范意識

作直線BC,交工軸于點。.求線段。。的長.

23.隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們在高空測量距離和高

度.圓圓要測量教學(xué)樓的高度，借助無人機(jī)設(shè)計了如下測量方案：如圖，圓圓在離

教學(xué)樓底部246米的C處,遙控?zé)o人機(jī)旋停在點C的正上方的點。處，測得教學(xué)樓48

的頂部B處的俯角為30。，C。長為49.6米.已知目高CE為1.6米.

(1)求教學(xué)樓A8的高度.

(2)若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于C4的方向，以4逐米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行,

求經(jīng)過多少秒時，無人機(jī)剛好離開圓圓的視線

24.如圖，A8是。。的直徑，4c是一條弦，。是AC的中點，DE上AB于點、E,交AC

于點八交。。于點H,DB交AC于點G.

(1)求證：AF=DF.

(2)若Ar=',sinN4BO=正，求3。的半徑.

25

25.(1)［問題探究］

如圖1,在正方形A8CO中，對胸線4C、相交于點。在線段AO上任取一點P(端

點除外)，連接PD、PB.

②將線段OP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，使點。落在班的延長線上的點。處.當(dāng)點尸在線段

AO上的位置發(fā)生變化時，NOPQ的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

③探究AQ與0P的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）［遷移探究］

如圖2,將正方形48co換成菱形48C。，且NABC=60。，其他條件不變.試探究AQ

與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

26.如圖，已知拋物線y=a/_2at+3與工軸交于點A（-1,O）和點B,與y軸交于點C,

⑵將直線8c向下平移機(jī)（根＞0）個單位長度，交拋物線于9、C兩點.在直線8C‘上

方的拋物線上是否存在定點。，無論加取何值時，都是點。到直線B'U的距離最大，

若存在，請求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

⑶拋物線上是否存在點P,使NPBC+NACO=45。，若存在，請求出直線8尸的解析式；

若不存在，請說明理由.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.B

【分析】根據(jù)相反意義的量的意義解答即可.

［詳解】???收入500元記作+500元，

???支出237元記作-237元，

故選B.

【點睛】本題考查了相反意義的量，正確理解定義是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊判斷即可.

【詳解】A.lcirH-2cm=3cm,不符合題意；

B.3cm+5cm=8cm,不符合題意；

C.4cm+5cm=9cm<10cm,不符合題意；

D.4cm+5cm=9cm>6cm,符合題意，

故選D.

【點睛】本題考查了是否構(gòu)成三角形，熟練掌握三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【詳解】解：A.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

B.不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.是軸對稱圖形，故本選項合題意；

D.不是軸對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊

后可重合.

4.B

【分析】根據(jù)左視圖定義從左向右看得到的圖形，從左面看看到壺嘴，畫的全身，看不見弧

把手，對各選項進(jìn)行分析判斷即可.

【詳解】A.占）是從上向下看得到的圖形為俯視圖，故選項A不合題意；

答案第1頁，共17頁

B.是從左向右看得到的圖形為左視圖，故選項B符合題意;

是從下往上看得到的圖形是仰視圖，故選項C不合題意;

是從前往后看得到的圖形是主視圖，故選項D不合題意.

【點睛】本題考查物體的三視圖，掌握三視圖的定義是解題關(guān)鍵.

5.B

【分析】運用積的乘方法則、鼎的乘方法則即可得出結(jié)果.

【詳解】解：（吳］=］「卜3）2=36,

故選:B.

【點睛】本題考查了積的乘方法貝J、事的乘方法則，熟練運用積的乘方法則、幕的乘方法則

是解題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為4X10"的形式，其中1工忖<I。，〃為整數(shù).確定〃的

值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)

原數(shù)絕對值N10時，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值V1時，〃是負(fù)數(shù).據(jù)此可得出結(jié)果.

【詳解】7358萬=73580000=7.358x107,

故選:A.

【點睛】此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.正確確定。的值以及"的值是本題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出不等式組，再解不等式組即可得出結(jié)果.

“20

【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，得卜N0，

ab>0

:.a^0,b>0,

答案第2頁，共17頁

故選：D.

【點睛】二次根式有意義的條件，及解不等式組，掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為

非負(fù)數(shù)是本題的關(guān)鍵.

8.A

【分析】依據(jù)平行四邊形的判定，依次分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】解：A、當(dāng)3C〃A。，AB=C。時，不能判定四邊形ABC。是平行四邊形，故此選

項符合題意；

B、當(dāng)A8〃C。，時，依據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能判定四邊

形A8C。是平行四邊形，故此選項不合題意；

C、當(dāng)BC〃AO,NA=NC時，可推出依據(jù)兩組對邊分別立行的四邊形是平行四

邊形，能判定四邊形A8CD是平行四邊形，故此選項不合題意；

D、當(dāng)8C〃A。，8C=A。時，依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能判定四

邊形A8CO是平行四邊形，故此選項不合題意；

故選：A.

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定，解決問題的關(guān)鍵要熟記平行四邊形的判定方法.

9.C

【分析】根據(jù)等量關(guān)系“雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=35”和“2x雞的只數(shù)Mx兔的只數(shù)=94”即可

列出方程組.

【詳解】解：設(shè)有4只雞，y只兔，

由題意可得：L:,

[2x+4y=9O4/1

故選：C.

【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系.

10.A

【分析】先分別求出甲、乙的平均數(shù)，再求出甲、乙的方差即可得出答案.

5+10+9+3+8

【詳解】解：甲的平均數(shù)為7,

5

甲的方差為跖=g[(5_7)2+(10_7)2+(9—7)2+(3_7y+(8_7)2]=6.8,

86+8+6+7

乙的平均數(shù)為+=7,

5

答案第3頁，共17頁

乙的方差為$；=：［（8_7）2+（6—7）2+（8-7）2+（6-7『+（7-7）［=0.8,

V0.8<6.8,

:.>S，

故選：A.

【點睛】此題主要考查了平均數(shù)及方差的知識.方差的定義：一般地設(shè)〃個數(shù)據(jù)，々，與，…

%的平均數(shù)為嚏=?菁+占+X”），則方差52=:［（內(nèi)-4-+（占-號-++（%-葉］,它反映了一

組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.

11.A

【分析】根據(jù)反證法的步驟分析判斷，即可解答.

【詳解】解：假設(shè)二角形沒有一個內(nèi)角小于或等于60。,即二個內(nèi)角都大于60。.

則三角形的三個內(nèi)角的和大于1803

這與“三角形的內(nèi)角和等于180?！边@個定理矛盾.

所以在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60。.

以上步驟符合反證法的步驟.

故推理使用的證明方法是反證法.

故選：A.

【點睛】本題考查了反證法，解答此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.反證法的步驟是:

（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立.

12.B

【分析】把與石看做是直線y=加與拋物線y=/+2x-3交點的橫坐標(biāo)，把芍%看做是

直線y=〃與拋物線y=/+2x-3交點的橫坐標(biāo)，畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線y=”與拋物線y=f+2x-3交于A、B兩點，直線與

拋物線y=f+2x-3交于C、D兩點，

Vm>w>0,關(guān)于工的方程%2+2%-3-m=0的解為<W），關(guān)于x的方程

x2+2x-3-n=0的解為均,七（七<x4）,

孫勾,。分別是A、B、C、。的橫坐標(biāo)，

答案第4頁，共17頁

/.X]<Xy<X4<X2,

【點睛】本題主要考查了拋物線與一元二次方程的關(guān)系.IF確把一元二次方程的解轉(zhuǎn)換成直

線與拋物線交點的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

13.三

【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征解答.

【詳解】解：夕(-3,-2)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，

???尸(-3,-2)在第三象限，

故答案為：三.

【點睛】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解題的

關(guān)鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限(+,+),第二象限(-,+),第三象限(一,一),第

四象限(十,一).

14.1

4

【分析】根據(jù)公式心3噸計3算即可.

【詳解】???一個布袋中放著3個紅球和9個黑球，

331

???取出紅球的概率是七與=；,

故答案為：7.

4

【點睛】本題考查了根據(jù)概率公式計算概率，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.

答案第5頁，共17頁

【分析】先通分，再根據(jù)同分母分式的減法運算法則計算，然后代入數(shù)值即可.

3(x+4)24

【詳解】解：原式=7，小一7A\f-i-AX

(x-4)(x+4)(x-4)(x+4)

3x-12

一(x-4)(x+4)

='3'

x+4

x=5

.3-3-3-1

,,%+4-5+4-9-3

故答案為：；

【點睛】本題主要考查了分式通分計算的能力,解決本題的關(guān)鍵突破口是通分整理.

16.5

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得％?.=￡=-20,根據(jù)該方程一個根為T,

'a

即可求出另一個根.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：a=th=m,c=-20,

X?X,=￡=—20,

"a

;該方程一個根為T,令斗=T,

???-4占=-20,解得：X2=5.

故答案為：5.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程

加+fev+C=0(4H0)有兩根為彳I,X,則+X2=--.

2a*a

【分析】根據(jù)勾股定理，得=壽=10,根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于AB邊

上的高，根據(jù)直角三角形的面積不變性計算即可.

【詳解】VZACB=9O°,AC=8,BC=6,

AB=782+62=10?

根據(jù)切線的性質(zhì)，得到圓的半徑等于A8邊上的高，

答案第6頁，共17頁

：.-AB^r=-AC^BC,

22

.ACxBC8x624

??r=1='=1,

AB105

24

故答案為：y.

【點睛】本題考查了勾股定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.10

【分析】先求出正五邊形的外角為72。，則4=N2=72。，進(jìn)而得出4M加=36。，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

???正五邊形的一個外角=芋=7乃，

AZ1=Z2=72°,

ANAOB=180°-72°x2=36°.

???共需要正五邊形的個數(shù)=黑=10(個)，

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，正多邊形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的外

角的求法.

19.3

【分析】根據(jù)求一個數(shù)的絕對值，二次根式的性質(zhì)，有理數(shù)的乘法進(jìn)行計算即可求解.

【詳解】解：|-3|+4+(-2)xl

=3+2-2

=3

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，熟練掌握求一個數(shù)的絕對值，二次根式的性質(zhì)，有理

數(shù)的乘法是解題的關(guān)鍵.

20.2VxM4

答案第7頁，共17頁

【分析?】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、

大大小小找不到確定不等式組的解集.

x-4<0?

【詳解】解:

2(x+l)<3@

解不等式①得：x<4

解不等式②得：x>2

，不等式組的解集為：2<x<4

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的

關(guān)鍵.

21.⑴84,100,80%；

（2）200人

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義得出。為第七名學(xué)生和第八名學(xué)生成績的平均數(shù)；找出抽取

的九年級學(xué)生的競賽成績中出現(xiàn)次數(shù)最多的分?jǐn)?shù)，即可求出力；用抽取的九年級學(xué)生的競賽

成績中80分以上的個數(shù)除以15,即可求出c；

（2）用500人乘以抽取的八、九年級學(xué)生競賽成績中90分以上的人數(shù)所占百分比，即可求

解.

【詳解】（1）解：由頻數(shù)分布直方圖可知：第七名學(xué)生和第八名學(xué)生在C組，

???一共抽取八年級學(xué)生15人，

工。為第七名學(xué)生和第八名學(xué)生成績的平均數(shù)，即〃=竺當(dāng)=84；

???抽取的九年級學(xué)生競賽成績中，100分出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，

，人=100,

???抽取的九年級學(xué)生競賽成績中，80分及以上的有12個，

.\c=—xl00%=80%；

15

故答案為：84,100,80%；

（2）解：根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可得，抽取的八年級學(xué)生競賽成績中，90分以上的有6個;

根據(jù)抽取的九年級學(xué)生的競賽成績可得，90分以上的有6個；

???該校八、九年級參加此次競賽活動成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生人數(shù)為：500義占三二200

15+15

（人）,

答案第8頁，共17頁

答：該校八、九年級參加此次競賽活動成績達(dá)到90分及以上的學(xué)生人數(shù)為200人.

【點睛】木題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，眾數(shù)，頻率，以及用樣木估計總休，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，正確從統(tǒng)計圖中獲取需要數(shù)據(jù).

22.⑴A(3,4)

25

(2)OD=—

【分析】（1）解兩個函數(shù)聯(lián)立組成的方程組即可；

（2）由題意可得：8垂直平分04,連接AO,如圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得

AD=OD,設(shè)。（九0）,根據(jù)兩點間的距離建立方程，解方程即可求出答案.

4

【詳解】⑴解：解方程組北，得「/一

y=］l舊=4［必=-4

X

Vx>0,

???A（3,4）；

（2）解：由題意可得：C。垂直平分04,

連接AO,如圖，則4）=。。，

設(shè)D（八0）,

則62=（［"-3）2+42,解得旭二蔣，

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)以及

兩點間的距離等知識，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵.

23.⑴教學(xué)樓AB的高度為25.6米

答案第9頁，共17頁

（2）無人機(jī)剛好離開視線房的時間為12秒

【分析】（1）過點B作AGJ_DC于點G,根據(jù)題意可得：OC_L4CA3J.4C,AC=246米，

&DB=鄧，通過證明四邊形GC4B為矩形，得出8G=AC=24G米，進(jìn)而得出

力G=AGtan300=24米，最后根據(jù)線段之間的和差關(guān)系可得CG=AB=8-7X7,即可求

解；

（2）連接￡?并延長，交DF于點、H,先求出EG=CG-CE=24米，進(jìn)而得出80=班:，

則NBEG=N8DG=60。，則。〃=OE.tan60。=48G米，即可求解.

【詳解】（1）解：過點B作8G_LDC于點G,

根據(jù)題意可得：DC1AC.AB1AC,AC=24G米，NfW=30\

VDCA.AC,ABJ.AC,BG±DC,

???四邊形GC4B為矩形，

工8G=4C=24百米，

VDF1DC,BGA.DC,

:?DF〃BG、

/.NDBG=NFDB=30°,

DG=BGtan30°=24米，

???CO長為49.6米，

ACG=AB=CD-DG=49.6-24=25.6（米），

答：教學(xué)樓AB的高度為25.6米.

（2）解：連接即并延長，交DF于點H,

???CE=1.6米，CG=25.6米，

:.EG=CG—CE=24米，

???力G=EG=24米，BGLDC,

：-BD=BE,

：.Z.BEG=ZBDG=90°-30°=60°,OE=DG+EG=48米，

<?！?￡>￡：?tan60。=48J5（米），

答案第10頁，共17頁

???無人機(jī)以46米/秒的速度飛行,

，離開視線E8的時間為：舞=12（秒）,

4V3

答：無人機(jī)剛好離開視線用的時間為12秒.

【點睛】本題主要考查了解直角二角形的實際應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線.構(gòu)造直

角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟.

24.⑴見解析

(2)5

【分析】（1）根據(jù)。是AC的中點，DEJ.AB于點E,得到CD=D4=A”,得到

NAZ）”=ND4C即可得證.

（2）根據(jù)sinZABO=@=42,設(shè)4。=氐=運用勾股定理，得到

5AB

BD="5x）2_（&?0,結(jié)合sin/ABZ）=^=囂，得至ij￡）E=2x,運用勾股定理,

得到BE=J（2&y—（2x）2=以，從而得到AE=x,EF=ED-DF=DE-AF=（2x-|）,在

中，實施勾股定理計算工即可.

【詳解】（1）?.?。是AC的中點，

CD=DA?

'：DELAB,A8是的直徑，

?*-DA=AH

?^CD=DA=AH>

JZADH=ZDAC,

答案第11頁，共17頁

:.AF=DF.

(2)VDE-LAB,A"是OO的直徑，

:.Z4O8=90°,

.../AD八小AD

?sinZ.ABD=——=---?

5AB

設(shè)AO=6,A8=5X,

,BD=J(5x『一(岳丫=2岳，

???小八亞DE

?sin/.ABD=——=---，

5BD

:.DE=2x,

:?BE=J(2炳；(2x)2=4x,

.?.AE=x,EF=ED-DF=DE-AF=\2x-^

在Rt二W中，AF2=AE2+EF2，

解得x=2,

:.AB=5x=\0,

JOO的半徑為5.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，正弦函數(shù)，熟練掌握垂徑定理，勾

股定理，圓周角定理，正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

25.(1)①見解析；②不變化，NOPQ=90°,理由見解析；③AQ=0OP，理由見解析；

(2)AQ=CP,理由見解析

【分析】(1)①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明DCP蘭aBCP,即可得到結(jié)論；

②作尸M_LA氏2N_LAO,垂足分別為點M、N,如圖，可得=證明四邊形4WW

是矩形，推出4WW=90。，證明RIAO/W=RI&Q?M(HL),得出4>PN=NQPM,進(jìn)而

可得結(jié)論；

③作尸E_LA。交AB于點E,作EF上OB于點、F,如圖，證明八。=跖，=即可得

出結(jié)論；

(2)先證明PQ=PB，作PE〃8c交A8于點E,EG〃AC交8c于點G,如圖，則四邊形

答案第12頁，共17頁

PEGC是平行四邊形，可得EG=PC,二A尸EQBEG都是等邊三角形，進(jìn)一步即可證得結(jié)論.

【詳解】（1）①證明：?.?四邊形488是正方形，

:.CD=CB,ZDCA=4BCA=45°,

?:CP=CP,

???二DCPwBCP,

,PD=PB；

②NOPQ的大小不發(fā)生變化，ZDPQ=90°；

證明：作PMJLA反尸NJ.A。，垂足分別為點M、N,如圖，

;四邊形A8CD是正方形，

ZZMC=ZBAC=45°,ZZMB=90°，

，四邊形是矩形，PM=PN,

：./MPN=90°,

*：PD=PQ,PM=PN,

：.RtDPN合RtQPM(HL),

/.4DPN=4QPM,

VNQPN+NQPM=90。,

：.4QPN+NDPN=90°,即NDPQ=90°；

@AQ=42OP；

證明：作PE_LAO交AB于點E,作砂_L08于點凡如圖,

???四邊形A8CD是正方形,

/.ZBAC=45°,408=90°,

答案第13頁，共17頁

AZA￡P(guān)=45°,四邊形OQE1尸是矩形,

，APAE=/PEA=45。,EF=OP,

:.PA=PE,

*：PD=PB,PD=PQ,

：.PQ=PB,

作PM_LAE于點M,

則QM=8M,AM=fM,

:.AQ=BE,

???/EFB=90。,NEB尸=45°,

:.BE=EF=y/2EF,

sin45°

:.AQ=y/2OP;

(2)AQ=CP；

證明：???四邊形A6CO是菱形，Z4BC=60°,

:.AB=BC,AC±BD,DO=BO,

???是等邊三角形，AC垂直平分BO,

/.NBAC=6Qo,PD=PB,

VPD=PQ,

：.PQ=PB,

作PE〃8C交A8于點EEG〃4。交BC于點G,如圖，

則四邊形PEGC是平行四邊形，NGE8=N84C=60°,ZAEP=ZABC=60°,

:,EG=PC,BAPE,Q8EG都是等邊三角形，

:?BE=EG=PC,

作PM居于點M,則QM=MB,AM=EM,

:.QA=BE,

：.AQ=CP.

【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形、菱形的性質(zhì)，矩形、平行四邊形、等邊

答案第14頁，共17頁

三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)圖

形的判定和性質(zhì)、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

26.(1)?=-1

315

⑵存在。號1)，理由見詳解

211

(3)存在P(-§，5)或P(2,3),理由見詳解

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可得出結(jié)果；

(2)設(shè)8C'與丁軸交于點G,設(shè)。6T2+〃+3),過點。作。石〃y軸交8C'于點E,作

。尸_L8'C于點尸，先證明是等腰直角三角形，再表示出小的長度，根據(jù)二次函數(shù)

的性質(zhì)即可得出結(jié)果；

(3)分兩種情況討論，當(dāng)點。在直線BC下方時，與當(dāng)點P在直線BC上方時.

【詳解】(1)解：拋物線y=ar2_2aE+3與x軸交于點4(-1,0),

得。+勿+3=0,

解得：a=-\；

⑵解:存在.(一；,.),理由如下：

設(shè)B'C與丁軸交于點G,由(1)中結(jié)論a=T,得拋物線的解析式為y=-P+2x+3,

當(dāng)y=0時，$=-1,/=3,即A(—l,0),5(3,0),C(0,3),

OB=OC,N8OC=90。，即,6OC是等腰直角三角形，

二.468=45。，

BC〃BC,

.?.ZBCO=ZBW=45°,

設(shè)。。,-/+2.+3),過點。作力七〃y軸交8C'于點E,作