專題15 四邊形綜合（一）（云南專用）（原卷版）

專題15四邊形綜合（一）目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01多邊形內(nèi)角和與外角和 1題型02平行四邊形的性質(zhì)與判定求解技巧 3題型03如何構(gòu)建三角形中位線解決四邊形問題 6題型04平行四邊形的多結(jié)論問題 8題型05梯形的相關(guān)計(jì)算問題 9中考練場(chǎng) 11 題型01多邊形內(nèi)角和與外角和【解題策略】知識(shí)點(diǎn)撥多邊形的有關(guān)計(jì)算公式有很多，一定要牢記，代錯(cuò)公式容易導(dǎo)致錯(cuò)誤：①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出（n-3）條對(duì)角線，n個(gè)頂點(diǎn)可以引出n（n-3）條對(duì)角線，但是每條對(duì)角線計(jì)算了兩次，因此n邊形共有n(n?3)2

條對(duì)角線③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.④n邊形的外角和是360°.⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.⑥在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O，連接O與各個(gè)頂點(diǎn)，把n邊形分成n個(gè)三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)O，連接O點(diǎn)與其不相鄰的其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成（n－1）個(gè)三角形；連接n邊形的任一頂點(diǎn)A與其不相鄰的各個(gè)頂點(diǎn)的線段，把n邊形分成（n－2）個(gè)三角形．方法總結(jié)1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．4）任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無(wú)關(guān).5）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為為（n?2）6）正n邊形有n條對(duì)稱軸．7）對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．【典例分析】例1．（2023·湖南）（求內(nèi)角和）七邊形的內(nèi)角和為(

)A.540° B.720° C.900° D.1?080°例2．（2023·福建）（求外角和）四邊形的外角和度數(shù)是

．例3．（2023·湖南）（判定多邊形的形狀）如果一個(gè)多邊形每一個(gè)外角都是60°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為______．【變式演練】1.（2023·北京）（求內(nèi)角和）若正多邊形的一個(gè)外角是60°，則該正多邊形的內(nèi)角和為(

)A.360° B.540° C.720°2.（2023·甘肅）如圖1是我國(guó)古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個(gè)正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個(gè)畫框之中，如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個(gè)外角∠1=(

)A.45° B.60° C.110° D.135°3.（2023·湖北）五邊形的外角和為(

)A.180° B.360

°

C.540° D.720°題型02平行四邊形的性質(zhì)與判定求解技巧【解題策略】平行四邊形的性質(zhì)：1)對(duì)邊平行且相等；2)對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；3)對(duì)角線互相平分；4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)稱中心.【解題技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長(zhǎng)的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來(lái)解題．3）過平行四邊形對(duì)稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長(zhǎng)．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【解題技巧】一般地，要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的角時(shí)，可用“兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明；2）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時(shí)，可選擇“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明；3）當(dāng)已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對(duì)角線時(shí)，可選擇“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來(lái)證明．【典例分析】例1.（2023·天津）（平行四邊形的性質(zhì)）如圖，□ABCD的頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別是(0,1)，(?2,?2)，(2,?2)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(

)

A.(?4,1) B.(4,?2) C.(4,1) D.(2,1)例2.（2024·陜西模擬）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，EF⊥BD，垂足為點(diǎn)H，EF分別交AD、DC及BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、M、F，且ED：CF=1：2，則A．14 B．15 C．25【變式演練】1.（2023·河北）（平行四邊形的判定）綜合實(shí)踐課上，嘉嘉畫出△ABD，利用尺規(guī)作圖找一點(diǎn)C，使得四邊形ABCD為平行四邊形.(1)～(3)是其作圖過程．

(1)作BD的垂直平分線交BD于點(diǎn)O；

(2)連接AO，在AO的延長(zhǎng)線上截取OC=AO；

(3)連接DC，BC，則四邊形ABCD即為所求．

在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是(

)A.兩組對(duì)邊分別平行 B.兩組對(duì)邊分別相等

C.對(duì)角線互相平分 D.一組對(duì)邊平行且相等2．（2023·江蘇）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b，則上述結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)加以判斷，并說(shuō)明理由．【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c．求證：BO【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+P題型03如何構(gòu)建三角形中位線解決四邊形問題【解題策略】構(gòu)造三角形中位線的常用方法：1）連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線;2)已知中點(diǎn)，取另一條線段的中點(diǎn)構(gòu)造中位線.3)利用角平分線+垂直構(gòu)造三角形的中位線.【典例分析】例1.（2023·四川）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點(diǎn)P，E是PD中點(diǎn)，若AD=4，CD=6，則EO的長(zhǎng)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4例2．（2023·廣西）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是EF，AF的中點(diǎn)，則

【變式演練】1．（2023·山東）如圖，四邊形EFGH頂點(diǎn)是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，若把EFGH涂滿紅油漆需要10桶，那么要把其余部分涂滿黑顏色，需要桶2．（2023·安徽）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC=6，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，CD=4，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)F，則△AEF的面積為．

題型04平行四邊形的多結(jié)論問題【典例分析】例1．（2023·山東）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四邊形AECF是菱形；④S△BOE=1A．4 B．3 C．2 D．1例2．（2023·江蘇模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AF⊥BD于點(diǎn)F，CE⊥BD于點(diǎn)E，連接AE，CF.若DE=BF，則下列結(jié)論：?①CF=AE;?②OE=OF;?③四邊形ABCD是平行四邊形;?④圖中共有四對(duì)全等三角形．其中正確的是(

)

A.?①?③?④ B.?①?②?④ C.?①?②?③ D.?②?③?④【變式演練】1.（2023·山東模擬）如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且BD=1，以AD為邊作等邊△ADE，過點(diǎn)E作EF/?/BC，交AC于點(diǎn)F，連接BF，CE，則下列結(jié)論：

①△ABD≌△ACE；②四邊形BDEF是平行四邊形；③S四邊形BDEF=32；A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.（2023·福建模擬）如圖，矩形ABCD中，BC=2AB，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，G為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DF、FG、DF的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)H，F(xiàn)G交CD于點(diǎn)M，且∠ACB=∠CDH=∠AGF，以下結(jié)論：①DH⊥AC；②ΔAOB是等邊三角形；③FD+FG=AC；④GF//BD；⑤MG=12AG其中正確結(jié)論的序號(hào)是

(

)

A.①③④ B.①③⑤ C.②④⑤ D.①③④⑤題型05梯形的相關(guān)計(jì)算問題【解題策略】等腰梯形性質(zhì)：1）等腰梯形的兩底平行，兩腰相等；2）等腰梯形的同一底邊上的兩個(gè)角相等；3）等腰梯形的兩條對(duì)角線相等；4）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形（底邊的中垂線就是它的對(duì)稱軸）.等腰梯形判定：1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；2）同一底邊上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.【解題思路】判定一個(gè)四邊形是等腰梯形,必須先判定四邊形是梯形,再證明同一底邊上的兩個(gè)角相等或兩腰相等或兩條對(duì)角線相等.梯形的面積公式：S=12解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：1）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中；2）“平移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中.3）“延長(zhǎng)兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形.4）“等積變形”：連接梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)交下底的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形．并且這個(gè)三角形面積與原來(lái)的梯形面積相等.5）平移腰.過上底端點(diǎn)作一腰的平行線，構(gòu)造一個(gè)平行四邊形和三角形.6）過上底中點(diǎn)平移兩腰.構(gòu)造兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形.【典例分析】例1.（2023·黑龍江模擬）如圖，四邊形ABDC中，∠ABC=∠BCD=90°，∠ACD=2∠D，AC+1=BC+CD，AB=3，則線段BD的長(zhǎng)．【變式演練】1.（2023·上海模擬）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點(diǎn)E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ADB=∠CDE，點(diǎn)F在BD上，聯(lián)結(jié)

(1)求證：AD?DE=AC?DC；(2)如果AD?CE=DF?DB，求證：四邊形DFCE為梯形．、1．（2023·山東）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=44°，則∠2的度數(shù)為（）

A．14° B．16° C．24° D．26°2．（2023·西藏）如圖，兩張寬為3的長(zhǎng)方形紙條疊放在一起，已知∠ABC=60°，則陰影部分的面積是（

）

A．92 B．33 C．933.（2023·吉林）（平行四邊形的判定）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是(

)

A.AB?//?DC，AD?//?BC B.AB=DC，AD=BC

C.AO=CO，BO=DO D.AB=DC，AD?//?BC4．（2023·山東）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC,BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在