考點(diǎn)05 全等三角形（原卷版）

考點(diǎn)五全等三角形知識(shí)點(diǎn)整合二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）；（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）；（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（4）對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2．全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；（3）全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．考向一全等三角形1．從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)元素是邊）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路：（1）已知兩邊（2）已知一邊、一角（3）已知兩角2．若題中沒有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運(yùn)用作高法、倍長(zhǎng)中線法、截長(zhǎng)補(bǔ)短法、分解圖形法等來解決運(yùn)動(dòng)、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目．典例引領(lǐng)1．在學(xué)習(xí)了全等三角形的判定后，聰明的小惠猜想了一個(gè)命題：如果兩個(gè)三角形有兩邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等．她根據(jù)命題的意義畫出了圖形（如圖），并寫出了部分已知條件，請(qǐng)你把已知條件補(bǔ)充完整，并寫出證明過程．已知：如圖，和分別是和的中線，，，______．求證：．2．（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖，已知：在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線，直線，垂足分別為點(diǎn)、．證明：．（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖，將中的條件改為：在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題：如圖，過的邊、向外作正方形和正方形，是邊上的高，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：是的中點(diǎn)．3．如圖，在中，，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的平分線上的一點(diǎn)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：(2)若，，求的長(zhǎng)．4．閱讀理解，自主探究：

(1)如圖，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證．(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，其余條件不變，你認(rèn)為上述結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)寫出此時(shí)、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．5．如圖，與相交于點(diǎn)C，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為______，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為______（用含t的式子表示）．(2)請(qǐng)判斷與的數(shù)量與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)連接，當(dāng)線段經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求t的值．6．如圖所示，直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，且a、b滿足．(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1所示，為的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2所示，在（2）的條件下，若交于點(diǎn)，連接，求證：．7．已知：如圖，，，，求證：．變式拓展8．如圖，，．求證：．9．學(xué)習(xí)與探究：如圖1，是的平分線，點(diǎn)A是上任意一點(diǎn)，用圓規(guī)分別在、上截取，連接、，則，判定方法是_________．請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖2，在中，是直角，，、分別是和的平分線，、相交于點(diǎn)F，求的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他條件不變，試問在（2）題中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，也請(qǐng)說明理由．10．在中，，分別過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)作過點(diǎn)C的直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．

(1)如圖1，當(dāng)，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)，點(diǎn)A、B在直線m的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)問（1）中有關(guān)于線段、和三條線段的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)給出正確結(jié)論，并說明理由；(3)如圖3，當(dāng)，，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)M以每秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)N以每秒的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，分別過點(diǎn)M和點(diǎn)N作于P，于Q．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，與全等？11．在正方形紙片中，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，連接．(1)問題探究：如圖1，作，交于點(diǎn)，求證：；(2)問題解決：如圖2，將正方形紙片沿過點(diǎn)、的直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng)．12．【問題解決】已知中，三點(diǎn)都在直線1上，且有．如圖①，當(dāng)時(shí)，線段的數(shù)量關(guān)系為：

【類比探究】（1）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，線段的數(shù)量關(guān)系是'否變化，若不變，請(qǐng)證明：若變化，寫出它們的關(guān)系式；【拓展應(yīng)用】（2）如圖③，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．13．【初步探索】（1）如圖1，在四邊形中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小芮同學(xué)探究此問題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明：，再證明，可得出結(jié)論，他