寧夏長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE13-寧夏長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.滿意條件的全部集合A的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】由易知：集合A?，而集合的子集個(gè)數(shù)為22=4

故選D2.下列函數(shù)中，沒(méi)有零點(diǎn)的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】分別解函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程，逐項(xiàng)推斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，由可得，即函數(shù)有零點(diǎn)；B選項(xiàng)，由得，即函數(shù)有零點(diǎn)；C選項(xiàng)，由解得，不存在，即函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；D選項(xiàng)，由解得或，即函數(shù)有零點(diǎn).故選：C.3.如圖所示，是全集，、是的子集，則陰影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依據(jù)韋恩圖可看出陰影部分所表示的集合是.4.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】D【解析】【分析】依據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)，分別推斷兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一推斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，所以兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋瑑蓚€(gè)函數(shù)的定義域不相同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，，兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系，相同的函數(shù)必定具有相同的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系．要使數(shù)與的同一函數(shù)，必需滿意定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同即可，留意分析各個(gè)選項(xiàng)中的個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同，通常的先后依次為先比較定義域是否相同，其次看對(duì)應(yīng)關(guān)系或值域.5.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間應(yīng)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別計(jì)算，，，，，依據(jù)零點(diǎn)存性定理，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，，，，由零點(diǎn)存在性定理，可得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間應(yīng)是，即C正確，ABD錯(cuò)誤.故選：C.6.已知，，f(3)g(3)<0那么與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：因?yàn)?，，底?shù)相同，因此單調(diào)性一樣，所以解除A,D，在選項(xiàng)B中，若，因此對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，因此選擇C7.已知是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是（）A.－ B. C.－ D.【答案】B【解析】【分析】由偶函數(shù)的定義得且a－1＝－2a求出a、b，然后求a＋b【詳解】∵在[a-1，2a]上是偶函數(shù)∴有：b＝0，且a－1＝－2a∴a＝∴a＋b＝故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性；依據(jù)偶函數(shù)的定義且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求參數(shù)值8.已知的定義域是，則的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題中條件，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈亩x域是，由解得，所以的定義域?yàn)?故選：D.9.已知集合，，則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)集合之間的包含關(guān)系，即可列出不等式，求解即可.詳解】若滿意，由已知條件得，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查由集合之間的包含關(guān)系，求參數(shù)范圍的問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.10.設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則()．A.c>b>a B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c【答案】D【解析】試題分析：，，；且；.考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.11.已知函數(shù)滿意：，則；當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題中條件，由函數(shù)解析式，逐步計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以故選：B.12.設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由f(x)為奇函數(shù)可知，＝<0.而f(1)＝0，則f(－1)＝－f(1)＝0.當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0＝f(1)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．所以0<x<1，或－1<x<0.選D點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式：首先依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為詳細(xì)的不等式(組)，此時(shí)要留意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)解析式，由內(nèi)而外，逐步計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：.14.若函數(shù)，且，則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】令，判定其奇偶性，依據(jù)題中條件，求出，結(jié)合奇偶性求出，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，所以是奇函數(shù)；又，所以，因此，所以.故答案為：.15.給出下列結(jié)論：①；②，的值域是[2，5]；③冪函數(shù)圖象肯定不過(guò)第四象限；④函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)；⑤若成立，則的取值范圍是.其中正確的序號(hào)是___________【答案】③④【解析】試題分析：①正確應(yīng)為；②的值域是[1，5]；⑤忽視了真數(shù)的取值范圍，的取值范圍應(yīng)為.③考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，正確；由，即時(shí)恒等于1，此時(shí)，即過(guò)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)故④正確.考點(diǎn)：（1）根式的運(yùn)算；（2）二次函數(shù)的值域；（3）冪函數(shù)的性質(zhì)；（4）指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).16.函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，在冪函數(shù)的圖象上，則=________.【答案】27【解析】【分析】令真數(shù)為1，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法設(shè)出冪函數(shù)解析式，代入的坐標(biāo)，可得冪函數(shù)解析式，從而可得.【詳解】解：令，得，此時(shí)，故，設(shè)冪函數(shù)解析式，依題意有，即，解得，所以，所以.故答案為：27.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，冪函數(shù)概念，待定系數(shù)法，屬于基礎(chǔ)題.三.解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟）17.化簡(jiǎn)：（1）（2）【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）依據(jù)根式與指數(shù)冪的互化公式，以及指數(shù)冪的運(yùn)算法則，干脆計(jì)算，即可得出結(jié)果；（2）依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，干脆計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）原式；原式.18.設(shè)A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，A∩B＝{2}．(1)求a的值及A、B；(2)設(shè)全集I＝A∪B，求(?IA)∪(?IB)；(3)寫出(?IA)∪(?IB)的全部子集．【答案】（1）（2）（3）【解析】試題分析：（1）將代入即可求出，再分別代入即可求得.（2）依據(jù)并集定義即求依據(jù)補(bǔ)集定義求出，再由并集定義求出.（3）依據(jù)子集定義寫出所求子集.試題解析：(1)因?yàn)?，所以，得，所以，?2)因?yàn)?，所以，所?(3)的全部子集為.19.已知，.（1）證明：是定義域上的減函數(shù)；（2）求的最大值和最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），.【解析】【分析】（1）設(shè)，作差比較與，依據(jù)單調(diào)性的定義，即可證明結(jié)論成立；（2）依據(jù)（1）的結(jié)論，可干脆得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，因?yàn)?，，，所以，?所以是定義域上的減函數(shù).（2）由（1）的結(jié)論可得，在上單調(diào)遞減；所以，.20.已知冪函數(shù).(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；(2)若該函數(shù)還經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿意條件f(2－a)＞f(a－1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】【詳解】試題分析:(1)先推斷冪函數(shù)的指數(shù)的奇偶,由m與m＋1中必定有一個(gè)為偶數(shù),可知m2＋m為偶數(shù),可得函數(shù)開(kāi)偶次方,即函數(shù)定義域?yàn)閇0，＋∞),且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增;(2)由過(guò)點(diǎn)(2，)和m∈N*求出m的值,進(jìn)而得出函數(shù)的定義域和單調(diào)性,列出不等式解出a的范圍即可.試題解析:（1）m為正整數(shù)，則：m2+m＝m（m+1）為偶數(shù)，令m2+m＝2k，則：，據(jù)此可得函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．（2）由題意可得：，求解關(guān)于正整數(shù)m的方程組可得：m＝1（m＝﹣2舍去），則：，不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）脫去f符號(hào)可得：2﹣a＞a﹣1≥0，求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是：．點(diǎn)睛:本題考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì),屬于中檔題.第一問(wèn)先推斷冪函數(shù)的指數(shù)的奇偶,由m與m＋1中必定有一個(gè)為偶數(shù),可知m2＋m為偶數(shù),可得函數(shù)開(kāi)偶次方,即函數(shù)定義域?yàn)閇0，＋∞),且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增;其次問(wèn)由過(guò)點(diǎn)(2，)和m∈N*求出m的值,進(jìn)而得出函數(shù)的定義域和單調(diào)性,寫出f(2－a)＞f(a－1)的等價(jià)條件求解即可.21.美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國(guó)“芯”的探討熱潮.某公司研發(fā)的，兩種芯片都已經(jīng)獲得勝利.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金千萬(wàn)元，現(xiàn)在打算投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)料，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬(wàn)元，公司獲得毛收入千萬(wàn)元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖像如圖所示.（1）試分別求誕生產(chǎn)，兩種芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）現(xiàn)在公司打算投入億元資金同時(shí)生產(chǎn)，兩種芯片，求可以獲得的最大利潤(rùn)是多少.【答案】（1）對(duì)于芯片，毛收入與投入的資金關(guān)系為：；對(duì)于芯片，毛收入與投入的資金關(guān)系為：.（2）9千萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）對(duì)于芯片，可設(shè)，利用題設(shè)條件可求，對(duì)于芯片，依據(jù)圖象可得關(guān)于的方程，解方程后可得函數(shù)的解析式.（2）設(shè)對(duì)芯片投入資金（千萬(wàn)元），則對(duì)芯片投入資金（千萬(wàn)元），則利潤(rùn)，利用換元法可求該函數(shù)的最大值.【詳解】（1）因?yàn)樯a(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，故設(shè)，因?yàn)槊客度肭f(wàn)元，公司獲得毛收入千萬(wàn)元，故，所以，因此對(duì)于芯片，毛收入與投入的資金關(guān)系為：.對(duì)于芯片，由圖像可知，，故.因此對(duì)于芯片，毛收入與投入的資金關(guān)系為：.（2）設(shè)對(duì)芯片投入資金（千萬(wàn)元），則對(duì)芯片投入資金（千萬(wàn)元），假設(shè)利潤(rùn)為，則利潤(rùn).令，則，當(dāng)即（千萬(wàn)元）時(shí)，有最大利潤(rùn)為（千萬(wàn)元）.答：當(dāng)對(duì)芯片投入億，對(duì)芯片投入千萬(wàn)元時(shí)，有最大利潤(rùn)千萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，留意依據(jù)解析式的形式換元求最大值，本題屬于基礎(chǔ)題.22.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．（1）求函數(shù)的解析式．（2）定義在上的函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）函數(shù)的對(duì)稱軸，探討對(duì)稱軸所在的區(qū)間即可求解．（2）依據(jù)已知定義在函數(shù)為偶函數(shù)，再對(duì)其單調(diào)性進(jìn)行探