高中數(shù)學圓的標準方程 教學教案

授課人：李江

三維目標：

知識與技能：1、理解圓的標準方程的推導過程。

2、掌握圓的標準方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標準方程，會判斷點與圓的位

置關(guān)系。

3、會用待定系數(shù)法求圓的標準方程。

過程與方法：進一步培養(yǎng)學生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過圓的標

準方程解決實際問題的學習，注意培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能

力。

情感態(tài)度與價值觀：通過運用圓的知識解決實際問題的學習，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和興

趣。

教學重點：圓的標準方程

教學難點：會根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求圓的標準方程。

教學過程：

—?引入：我們在前面學習了直線和方程，我們知道直線方程的一般式：

Ax+珍+C=0（43不同時為0）。我們怎樣說明此方程

Ax+珍+C=0（43不同時為0）是直線方程?我們知道在平面直角坐標系

中，兩點確定一條直線；一點和傾斜角也能確定一條直線。那么在平面直角坐標

系中，如何確定一個圓呢？

二.新課

1.當圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了.所以一個圓最根本要素是圓心〔定

位〕和半徑〔定形〕.

6-

如圖可知此圓圓心A的坐標為（a,b）,半徑為r（r>0）

2.問：圓上點的特點〔圓上的點與圓心的關(guān)系〕

結(jié)論：圓上任意點與圓心A(a,b)的距離等于半徑r的大小，故可以說圓為到圓心距離

等于半徑長的點的集合〔圖形〕。

3.問：圓上任意點用(匹丁)與圓心人(&,b)之間的距離能用什么公式表示？

根據(jù)兩點間距離公式：由段=7了+(%-X>.

則點必/間的距離為：

+(y-、)2=r<^>(x-<7)-+(y—Z?)2=r2

問：是否在圓上的點都適合這個方程？是否適合這個方程的坐標的點都在圓上？

結(jié)論：(1〕點例(x,y)是圓上任意一點，由前面討論可知，點M的坐標適合方程。

〔2〕點M(x,y)的坐標適合方程，這就說明點M與圓心的距離是r,即點M在

圓心為A(a,加,半徑為廣的圓上.

所以把方程(x—of+(y—=r2稱為圓心為A(a,b)

半徑長為廣的圓的方程，把它叫做圓的標準方程。

4.問：圓心在坐標原點(。，0),半徑長為/?的圓的方程是什么？

d+、2=/

5.問：根據(jù)圓的標準方程說明確定圓的方程的條件是什么？

結(jié)論：只要求出廠且r>O,這是圓的方程就被確定了

三.舉例

例|1：寫出圓心為A(2,—3),半徑長等于5的圓的方程，并判斷點M

(5,V),N(-?T)是否在這個圓上.

解：〔略)

6.問：點與圓有哪些位置情況？如何判斷？

結(jié)論：點在圓上和點不在圓上〔點在圓內(nèi)和點在圓外〕用點到圓心的距離和半徑r的大小

來說明。

(1)點M(X。，y0)到圓心的距離大于半徑、點M在圓外

o(x°—a)2+(%—b)2>/2

(2)點M(x°,y°)到圓心的距離等于半徑、點M在圓上

o(x。一0)2+(No-bl=r-

(3)點M(x°,y°)到圓心的距離小于半徑、點M在圓內(nèi)

o(%。-a]+(、o—byr<汗2

例2：△ABC的三個頂點的坐標分另U是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8).求它的

外接圓的方程。

分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓.

7.解題準備：求圓的方程的方法和步驟

方法：待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a,b,r(r>O)的方程組，求出a,b,r或直接

求出圓心(“，小)和半徑廠。

步驟:⑴根據(jù)題意，設所求圓的標準方程為：(x-+(y—4=r2。

⑵根據(jù)條件建立關(guān)于a,b,r的方程組。

⑶解方程組，求出a,b,r的值。并把它們代入所設的方程去，求圓的方

程。

解：〔略〕

例3：圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,1)和B(2,-2)，且圓心C在

直線/—y+1=。上，求圓心為C的圓的標準方程.

8.△鈿(?外接圓的標準方程的兩種求法：

解法一：代數(shù)角度，即建立關(guān)于a,b,r方程組，解方程組得到。、b、r的值，寫出

圓的標準方程.

解法二：幾何角度，即根據(jù)確定圓的要素，以及題設條件，分別求出圓心坐標和半徑大

小，然后再寫出圓的標準方程.

分析：道確定一個圓只需要確定圓心的位置與半徑大小.圓心為c的圓經(jīng)過點41,1)

和沖，-2),由于圓心C與48兩點的距離相等,所以圓心C在線段Z8的垂直平分

線〃上.又圓心C在直線I上,因此圓心C是直線I與直線1的交點,半徑長等

于|。|或|幽.

解：(略)

四.練習：課本p⑵第1、2、3題

五.