1.1.2　空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 導(dǎo)學(xué)案正文

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合立體幾何與空間向量的特征,知道投影向量的概念.2.類比平面向量,能進(jìn)行空間向量的數(shù)量積運(yùn)算.3.類比平面向量并借助空間圖形,知道空間向量的有關(guān)運(yùn)算律,能運(yùn)用數(shù)量積解決空間中的垂直、夾角及距離問題.◆知識(shí)點(diǎn)一空間向量的夾角1.概念:如圖,已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,則∠AOB叫作向量a,b的,記作.

2.夾角的取值范圍:a與b的夾角的取值范圍是,其中當(dāng)<a,b>=0時(shí),a與b方向;當(dāng)<a,b>=π時(shí),a與b方向;當(dāng)<a,b>=π2時(shí),a與b.反之,若a∥b,則<a,b>=0或π;若a⊥b,則<a,b>=π【診斷分析】判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)向量AB與CD的夾角等于向量AB與DC的夾角. ()(2)若向量AB與CD的夾角為α,則直線AB與CD所成的角也為α. ()◆知識(shí)點(diǎn)二數(shù)量積的相關(guān)概念及性質(zhì)1.概念:已知兩個(gè)非零向量a,b,則叫作a,b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=.

特別地,零向量與任意向量的數(shù)量積為0.2.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)a⊥b?a·b=.

(2)a2=a·a=|a||a|cos<a,a>=.

(3)cos<a,b>=.

3.投影向量的概念作法圖形表示符號(hào)表示向量a在向量b上的投影向量將向量a,b(直線l)平移到同一個(gè)平面α內(nèi),利用平面上向量的投影,得到與向量b(直線l的方向向量)共線的向量cc=

向量a在直線l上的投影向量向量a在平面β上的投影向量分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線,垂足分別為A',B',得到向量AA注:向量a,A'B'的夾角就是向量a所在直線與平面4.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)(λa)·b=,λ∈R.

(2)a·b=(交換律).

(3)(a+b)·c=(分配律).

【診斷分析】判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)對(duì)于向量a,b,若a·b=0,則一定有a=0或b=0. ()(2)對(duì)于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c. ()(3)若a·b<0,則<a,b>是鈍角. ()(4)已知e1,e2是夾角為120°的兩個(gè)單位向量,則向量e1在向量e2上的投影向量為-12e2. (◆探究點(diǎn)一空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例1如圖所示,在棱長(zhǎng)為1的正四面體A-BCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),求:(1)EF·BA;(2)EF·BD;(3)EF·DC;(4)AB·CD.變式(1)(多選題)設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,則有 ()A.AB·C1A=-a2 B.AB·A1CC.BC·A1D=a2 D.AB·C(2)正四面體P-ABC的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)D是△PAB的重心,則PD·BC=.

[素養(yǎng)小結(jié)](1)空間向量數(shù)量積運(yùn)算的兩種方法:①已知a,b的模及a與b的夾角,直接代入數(shù)量積公式計(jì)算.②如果要求的是關(guān)于a與b的多項(xiàng)式形式的數(shù)量積,可以先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將多項(xiàng)式展開,再利用a·a=|a|2及數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算.(2)在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟:①首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.②利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.◆探究點(diǎn)二利用向量的數(shù)量積解決夾角問題例2如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中.(1)求BC1與CA(2)求異面直線BC1與CA所成角的大小.變式(1)已知a,b是異面直線,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,則a與b所成的角是 ()A.30° B.45° C.60° D.90°(2)已知BB1⊥平面ABC,且△ABC是以AC為底邊的等腰直角三角形,?ABB1A1和?BB1C1C的對(duì)角線都分別相互垂直,求異面直線BA1與AC所成角的大小.[素養(yǎng)小結(jié)](1)求兩個(gè)空間向量的夾角的兩種方法:①結(jié)合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角定義來求,但要注意向量夾角的范圍.②先求a·b,再利用公式cos<a,b>=a·b|a||b|求cos<a(2)用向量法求兩直線的夾角:①取向量:在兩直線上分別取方向向量a,b;②運(yùn)算:求cos<a,b>=a·③結(jié)論:設(shè)兩直線的夾角為θ,則cosθ=|cos<a,b>|,進(jìn)而得到θ.◆探究點(diǎn)三利用向量的數(shù)量積解決長(zhǎng)度問題例3已知線段AB在平面α內(nèi),線段AC⊥α,線段BD⊥AB,且與α所成的角是30°,如果AB=a,AC=BD=b,求C,D間的距離.變式(1)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱PA的長(zhǎng)為2,且PA與AB,AD的夾角都是60°,若M是PC的中點(diǎn),則|BM|= ()A.62 B.C.34 D.(2)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿著它的對(duì)角線AC將△ACD折起,使AB與CD所成的角為60°,求此時(shí)B,D間的距離.[素養(yǎng)小結(jié)]求兩點(diǎn)間的距離或線段的長(zhǎng)度的步驟:(1)將兩點(diǎn)間的連線(或此線段)用向量表示;(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量;(3)利用|a|=a2,計(jì)算出|a|,即得所求距離或長(zhǎng)度◆探究點(diǎn)四利用空間向量的數(shù)量積判斷或證明垂直問題例4如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,CD'與DC'相交于點(diǎn)O,求證:(1)AO⊥CD';(2)AC'⊥平面B'CD'.變式如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABC