3.2.2第2課時(shí)　直線與雙曲線的綜合應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)案正文

第2課時(shí)直線與雙曲線的綜合應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.由直線與雙曲線的方程,利用代數(shù)方法解決與直線和雙曲線位置關(guān)系有關(guān)的問題.2.能初步運(yùn)用雙曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)解決一些綜合問題.◆知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的第二定義平面內(nèi),到給定一點(diǎn)及一直線的距離之比為常數(shù)e(e>1)的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn),定直線叫雙曲線的準(zhǔn)線,e為雙曲線的離心率.雙曲線準(zhǔn)線的方程為x=±a2c(焦點(diǎn)在x軸上)或y=±a2c(焦點(diǎn)在◆知識(shí)點(diǎn)二直線與雙曲線的位置關(guān)系一般地,設(shè)直線l:y=kx+m(m≠0)①,雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.(1)當(dāng)b2-a2k2=0,即k=±ba時(shí),直線l與雙曲線C的漸近線,直線與雙曲線(2)當(dāng)b2-a2k2≠0,即k≠±ba時(shí),Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2)判別式位置關(guān)系交點(diǎn)情況Δ>0直線與雙曲線

Δ=0直線與雙曲線

Δ<0直線與雙曲線

【診斷分析】判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若直線與雙曲線交于一點(diǎn),則直線與雙曲線相切. ()(2)直線與雙曲線最多有兩個(gè)公共點(diǎn). ()(3)直線l:y=x與雙曲線C:x2-y22=1有兩個(gè)公共點(diǎn). (◆知識(shí)點(diǎn)三弦長(zhǎng)公式若斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則|AB|==.

◆探究點(diǎn)一雙曲線的第二定義的應(yīng)用例1雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,P為雙曲線上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P變式(1)雙曲線x216-y29=1上的點(diǎn)P到點(diǎn)(5,0)的距離為10,則點(diǎn)P到直線x=(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足(1+x)2+y2=|x+y-1◆探究點(diǎn)二直線與雙曲線的位置關(guān)系例2已知雙曲線的方程為x2-y22=1,直線l過點(diǎn)P(1,1),斜率為k.當(dāng)k為何值時(shí),直線l與雙曲線:有一個(gè)公共點(diǎn)?有兩個(gè)公共點(diǎn)?變式(1)已知雙曲線C:x2-y23=1,若直線l:y=kx+2與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn),求所有滿足條件的實(shí)數(shù)k(2)已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1,若直線l與雙曲線C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.[素養(yǎng)小結(jié)]直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法:1.代數(shù)法:把直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立,通過消元后化為ax2+bx+c=0的形式.(1)當(dāng)a≠0時(shí),考察方程的判別式.①Δ>0時(shí),直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn);②Δ=0時(shí),直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn);③Δ<0時(shí),直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).(2)當(dāng)a=0時(shí),直線(不過雙曲線的中心)與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).2.幾何法:求出漸近線的斜率,結(jié)合直線的斜率,作出圖形,利用圖形判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系.注意,直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)包含兩種情況:一是相切,二是直線平行于漸近線.◆探究點(diǎn)三弦長(zhǎng)公式及雙曲線的中點(diǎn)弦問題例3已知雙曲線x2-y23=1,過點(diǎn)P(2,1)作一條直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),且P為AB(1)求直線AB的方程;(2)求弦AB的長(zhǎng).變式1若直線l與雙曲線C:x24-y2=1相交于M,N兩點(diǎn),且線段MN的中點(diǎn)為P(4,3),求直線l變式2已知直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=4的兩支分別交于點(diǎn)P,Q.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若△POQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為5,求實(shí)數(shù)k的值.[素養(yǎng)小結(jié)]雙曲線的弦長(zhǎng)公式:(1)設(shè)直線y=kx+b(k≠0)與雙曲線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-(2)在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,設(shè)判別式為Δ,當(dāng)Δ>0時(shí),設(shè)方程的兩根分別為x1,x2,則|x1-x2|=Δ|◆探究點(diǎn)四與雙曲線有關(guān)的綜合問題例4已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),過動(dòng)點(diǎn)M作直線AB的垂線,垂足為N,且|MN|2=AN·BN.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程;(2)若直線l:y=kx+2與E交于A,B兩點(diǎn),且F(22,0),FA·FB=0,求實(shí)數(shù)k的值.變式[2024·遼寧重點(diǎn)協(xié)作體高二期中]已知雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過E(0,2)的直線l與雙曲線C的一支交于M,N兩點(diǎn),求EM·EN的取值范圍.[素養(yǎng)小結(jié)]雙曲線的綜合問題最終仍體現(xiàn)在