2023-2024學(xué)年福建省福州市六校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2福建省福州市六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以.故選：A.2.復(fù)數(shù)，則等于（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以.故選：C.3.已知等差數(shù)列的前項和為，，則（）A.22 B.10 C.8 D.4〖答案〗D〖解析〗是等差數(shù)列，，解得：．故選：D．4.已知在R上可導(dǎo)的函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由圖知：、上，上，又、上，上，∴的解集為.故選：B5.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，，當(dāng)時，，即解得所以“”是的充分不必要條件.故選：A.6.已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)曲線上的切點為，曲線上的切點為，，，解得.故選：A.7.中國飲食文化歷史悠久，博大精深，是中國傳統(tǒng)文化中最具特色的部分之一，其內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)義務(wù)教育課程方案，勞動課正式成為中小學(xué)一門獨立的課程，“食育”進入校園.李老師計劃在實驗小學(xué)開展一個關(guān)于“飲食民俗”的講座，講座內(nèi)容包括日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個方面.根據(jù)安排，講座分為三次，每次介紹兩個食俗內(nèi)容（不分先后次序），則節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗講座分為三次，每次介紹兩個食俗內(nèi)容（不分先后次序）,一共有種不同的安排方法，其中節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗有一個和節(jié)日食俗安排在第二次講座的有種，節(jié)日食俗安排在第二次講座，日常食俗與祭祀食俗都不和節(jié)日食俗安排在第二次講座且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故所求概率為.故選：B8.已知，則不等式的解集為（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗定義域為R，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又因為，時，，時，，故，所以在上單調(diào)遞增，則不等，即解得:.所以不等式的解集為.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則下列選項正確的是（）A.B.C.D.展開式中系數(shù)最大的為〖答案〗BD〖解析〗展開式通項公式為：，對于A，令，則，A錯誤；對于B，令，則；令，則；，B正確；對于C，令得：，，C錯誤；對于D，為正數(shù)，為負數(shù)，又，，，，展開式中系數(shù)最大的為，D正確.故選：BD.10.從含有3個紅球，2個白球的口袋中隨機取出一個球，記下顏色后放回，并加進一個同色球，如此共取i次.記事件：“第i次取出的球是紅球”，事件：“第i次取出的球是白球”，則（

）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，由題意得，第一次取到白球的概率，所以A正確；對于B中，由，，則有，所以B正確對于C中，在已知第二次取出1個紅球的條件下，第一次取得1個白球，，所以C不正確；對于D中，由事件是以下4個互斥事件的和：，，，，則，所以D正確.故選：ABD11.設(shè)函數(shù)，，給定下列命題，正確的是（）A.不等式的解集為；B.函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；C.若時，總有恒成立，則；D.若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù).〖答案〗AC〖解析〗的導(dǎo)數(shù)為，則，,對于A，，即解得，故正確；對于B，，當(dāng)x時在單調(diào)遞增，故錯誤；對于C，可化為：設(shè)，又∴在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，即，又在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，∴故正確；對于D，若函數(shù)有兩個極值點，則有兩個零點，即，，又在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，時，即2a，a，故錯誤；故選：AC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在題中的橫線上．12.已知展開式中第3項與第6項的二項式系數(shù)相等，則展開式中含項的系數(shù)為__________.〖答案〗〖解析〗由題意得，解得，故展開式通項公式為，令得，故展開式中含項的系數(shù)為.故〖答案〗為：13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域為，，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故〖答案〗為：.14.已知數(shù)列滿足①②.則______________；設(shè)為的前項和，則__________.（結(jié)果用指數(shù)冪表示）〖答案〗①23②〖解析〗由得得；當(dāng)為奇數(shù)時，，令，則，當(dāng)為偶數(shù)時，，令，則，則，當(dāng)時，，所以是以9為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，即，則當(dāng)為奇數(shù)時，由，則，所以，當(dāng)偶數(shù)時，由，則，所以，所以，所以，.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處有極小值．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若函數(shù)在只有一個零點，求的取值范圍．解：（1）由在處有極小值得，解得，此時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，滿足在處取極小值，∴；（2）由（1）得，∴函數(shù)在只有一個零點在只有一個交點由（1）得令得，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增∴在處有極小值，∴的取值范圍是.16.年是共青團建團一百周年，為了銘記歷史、緬懷先烈、增強愛國主義情懷，某學(xué)校組織了共青團團史知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團史的問題，每個人回答是否正確互不影響.已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是.（1）若規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個問題，求甲、乙、丙三名同學(xué)中至少人回答正確的概率：（2）若規(guī)定三名同學(xué)需要搶答這道題，已知甲搶到答題機會的概率為，乙搶到答題機會的概率為，丙搶到的概率為，求這個問題回答正確的概率.解：（1）設(shè)乙答題正確的概率為，丙答題正確的概率為，則甲、丙兩人都回答正確的概率是，解得，乙、丙兩人都回答正確的概率是，解得，所以，若規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少人回答正確的概率為.（2）記事件為“甲搶答這道題”，事件為“乙搶答這道題”，事件為“丙搶答這道題”，記事件為“這道題被答對”，則，，，，，，由全概率公式可得.17.在中，內(nèi)角的對邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若，且的面積為，求邊上的中線長.解：（1），∴由正弦定理得：，，∴，∴，即，，∴，∴，（2），，中，由余弦定理得，所以，設(shè)的中點為，則，兩邊同時平方得：=所以，所以.18.已知一個由正數(shù)組成的數(shù)陣，如下圖各行依次成等差數(shù)列，各列依次成等比數(shù)列，且公比都相等，.第一行第二行第三行……第行（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）由題意，設(shè)第一行的公差為，第三列的公比為，則由，，可得，∴，∴，又，∴，∴，∴；（2）∵.∴.19.已知函數(shù)（）（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）若有兩個極值點①求的取值范圍②證明：解：（1）當(dāng)時，，（），令，如圖表示關(guān)系如下，1300單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）①，因為有兩個極值點即：在有兩個不相等的實根，所以，所以，②由①得要證即證：，只需證令令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又因為由零點存在性定理得：，使得，即，所以，單調(diào)遞增.時，，單調(diào)遞減.則因為在上單調(diào)遞增所以所以，即得證.

福建省福州市六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以.故選：A.2.復(fù)數(shù)，則等于（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以.故選：C.3.已知等差數(shù)列的前項和為，，則（）A.22 B.10 C.8 D.4〖答案〗D〖解析〗是等差數(shù)列，，解得：．故選：D．4.已知在R上可導(dǎo)的函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由圖知：、上，上，又、上，上，∴的解集為.故選：B5.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，，當(dāng)時，，即解得所以“”是的充分不必要條件.故選：A.6.已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)曲線上的切點為，曲線上的切點為，，，解得.故選：A.7.中國飲食文化歷史悠久，博大精深，是中國傳統(tǒng)文化中最具特色的部分之一，其內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)義務(wù)教育課程方案，勞動課正式成為中小學(xué)一門獨立的課程，“食育”進入校園.李老師計劃在實驗小學(xué)開展一個關(guān)于“飲食民俗”的講座，講座內(nèi)容包括日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個方面.根據(jù)安排，講座分為三次，每次介紹兩個食俗內(nèi)容（不分先后次序），則節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗講座分為三次，每次介紹兩個食俗內(nèi)容（不分先后次序）,一共有種不同的安排方法，其中節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗有一個和節(jié)日食俗安排在第二次講座的有種，節(jié)日食俗安排在第二次講座，日常食俗與祭祀食俗都不和節(jié)日食俗安排在第二次講座且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故所求概率為.故選：B8.已知，則不等式的解集為（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗定義域為R，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又因為，時，，時，，故，所以在上單調(diào)遞增，則不等，即解得:.所以不等式的解集為.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，則下列選項正確的是（）A.B.C.D.展開式中系數(shù)最大的為〖答案〗BD〖解析〗展開式通項公式為：，對于A，令，則，A錯誤；對于B，令，則；令，則；，B正確；對于C，令得：，，C錯誤；對于D，為正數(shù)，為負數(shù)，又，，，，展開式中系數(shù)最大的為，D正確.故選：BD.10.從含有3個紅球，2個白球的口袋中隨機取出一個球，記下顏色后放回，并加進一個同色球，如此共取i次.記事件：“第i次取出的球是紅球”，事件：“第i次取出的球是白球”，則（

）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A中，由題意得，第一次取到白球的概率，所以A正確；對于B中，由，，則有，所以B正確對于C中，在已知第二次取出1個紅球的條件下，第一次取得1個白球，，所以C不正確；對于D中，由事件是以下4個互斥事件的和：，，，，則，所以D正確.故選：ABD11.設(shè)函數(shù)，，給定下列命題，正確的是（）A.不等式的解集為；B.函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；C.若時，總有恒成立，則；D.若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù).〖答案〗AC〖解析〗的導(dǎo)數(shù)為，則，,對于A，，即解得，故正確；對于B，，當(dāng)x時在單調(diào)遞增，故錯誤；對于C，可化為：設(shè)，又∴在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，即，又在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，∴故正確；對于D，若函數(shù)有兩個極值點，則有兩個零點，即，，又在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，時，即2a，a，故錯誤；故選：AC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在題中的橫線上．12.已知展開式中第3項與第6項的二項式系數(shù)相等，則展開式中含項的系數(shù)為__________.〖答案〗〖解析〗由題意得，解得，故展開式通項公式為，令得，故展開式中含項的系數(shù)為.故〖答案〗為：13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域為，，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故〖答案〗為：.14.已知數(shù)列滿足①②.則______________；設(shè)為的前項和，則__________.（結(jié)果用指數(shù)冪表示）〖答案〗①23②〖解析〗由得得；當(dāng)為奇數(shù)時，，令，則，當(dāng)為偶數(shù)時，，令，則，則，當(dāng)時，，所以是以9為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，即，則當(dāng)為奇數(shù)時，由，則，所以，當(dāng)偶數(shù)時，由，則，所以，所以，所以，.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處有極小值．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若函數(shù)在只有一個零點，求的取值范圍．解：（1）由在處有極小值得，解得，此時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，滿足在處取極小值，∴；（2）由（1）得，∴函數(shù)在只有一個零點在只有一個交點由（1）得令得，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增∴在處有極小值，∴的取值范圍是.16.年是共青團建團一百周年，為了銘記歷史、緬懷先烈、增強愛國主義情懷，某學(xué)校組織了共青團團史知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團史的問題，每個人回答是否正確互不影響.已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是.（1）若規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個問題，求甲、乙、丙三名同學(xué)中至少人回答正確的概率：（2）若規(guī)定三名同學(xué)需要搶答這道題，已知甲搶到答題機會的概率為，乙搶到答題機會的概率為，丙搶到的概率為，求這個問