2023-2024學(xué)年福建省福州市六校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2福建省福州市六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所?故選：A.2.復(fù)數(shù)，則等于（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以.故選：C.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A.22 B.10 C.8 D.4〖答案〗D〖解析〗是等差數(shù)列，，解得：．故選：D．4.已知在R上可導(dǎo)的函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由圖知：、上，上，又、上，上，∴的解集為.故選：B5.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，，?dāng)時(shí)，，即解得所以“”是的充分不必要條件.故選：A.6.已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)曲線上的切點(diǎn)為，曲線上的切點(diǎn)為，，，解得.故選：A.7.中國(guó)飲食文化歷史悠久，博大精深，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中最具特色的部分之一，其內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)義務(wù)教育課程方案，勞動(dòng)課正式成為中小學(xué)一門(mén)獨(dú)立的課程，“食育”進(jìn)入校園.李老師計(jì)劃在實(shí)驗(yàn)小學(xué)開(kāi)展一個(gè)關(guān)于“飲食民俗”的講座，講座內(nèi)容包括日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個(gè)方面.根據(jù)安排，講座分為三次，每次介紹兩個(gè)食俗內(nèi)容（不分先后次序），則節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗講座分為三次，每次介紹兩個(gè)食俗內(nèi)容（不分先后次序）,一共有種不同的安排方法，其中節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗有一個(gè)和節(jié)日食俗安排在第二次講座的有種，節(jié)日食俗安排在第二次講座，日常食俗與祭祀食俗都不和節(jié)日食俗安排在第二次講座且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故所求概率為.故選：B8.已知，則不等式的解集為（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗定義域?yàn)镽，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又因?yàn)椋瑫r(shí)，，時(shí)，，故，所以在上單調(diào)遞增，則不等，即解得:.所以不等式的解集為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.D.展開(kāi)式中系數(shù)最大的為〖答案〗BD〖解析〗展開(kāi)式通項(xiàng)公式為：，對(duì)于A，令，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則；令，則；，B正確；對(duì)于C，令得：，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，又，，，，展開(kāi)式中系數(shù)最大的為，D正確.故選：BD.10.從含有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球，記下顏色后放回，并加進(jìn)一個(gè)同色球，如此共取i次.記事件：“第i次取出的球是紅球”，事件：“第i次取出的球是白球”，則（

）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A中，由題意得，第一次取到白球的概率，所以A正確；對(duì)于B中，由，，則有，所以B正確對(duì)于C中，在已知第二次取出1個(gè)紅球的條件下，第一次取得1個(gè)白球，，所以C不正確；對(duì)于D中，由事件是以下4個(gè)互斥事件的和：，，，，則，所以D正確.故選：ABD11.設(shè)函數(shù)，，給定下列命題，正確的是（）A.不等式的解集為；B.函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；C.若時(shí)，總有恒成立，則；D.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù).〖答案〗AC〖解析〗的導(dǎo)數(shù)為，則，,對(duì)于A，，即解得，故正確；對(duì)于B，，當(dāng)x時(shí)在單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，可化為：設(shè)，又∴在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，即，又在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，∴故正確；對(duì)于D，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，即，，又在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，時(shí)，即2a，a，故錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在題中的橫線上．12.已知展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題意得，解得，故展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，令得，故展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故〖答案〗為：13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，，由，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故〖答案〗為：.14.已知數(shù)列滿足①②.則______________；設(shè)為的前項(xiàng)和，則__________.（結(jié)果用指數(shù)冪表示）〖答案〗①23②〖解析〗由得得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，令，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，令，則，則，當(dāng)時(shí)，，所以是以9為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，即，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，則，所以，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，由，則，所以，所以，所以，.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處有極小值．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）由在處有極小值得，解得，此時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，滿足在處取極小值，∴；（2）由（1）得，∴函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)在只有一個(gè)交點(diǎn)由（1）得令得，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增∴在處有極小值，∴的取值范圍是.16.年是共青團(tuán)建團(tuán)一百周年，為了銘記歷史、緬懷先烈、增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某學(xué)校組織了共青團(tuán)團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問(wèn)題，每個(gè)人回答是否正確互不影響.已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是.（1）若規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個(gè)問(wèn)題，求甲、乙、丙三名同學(xué)中至少人回答正確的概率：（2）若規(guī)定三名同學(xué)需要搶答這道題，已知甲搶到答題機(jī)會(huì)的概率為，乙搶到答題機(jī)會(huì)的概率為，丙搶到的概率為，求這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率.解：（1）設(shè)乙答題正確的概率為，丙答題正確的概率為，則甲、丙兩人都回答正確的概率是，解得，乙、丙兩人都回答正確的概率是，解得，所以，若規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個(gè)問(wèn)題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少人回答正確的概率為.（2）記事件為“甲搶答這道題”，事件為“乙搶答這道題”，事件為“丙搶答這道題”，記事件為“這道題被答對(duì)”，則，，，，，，由全概率公式可得.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若，且的面積為，求邊上的中線長(zhǎng).解：（1），∴由正弦定理得：，，∴，∴，即，，∴，∴，（2），，中，由余弦定理得，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，兩邊同時(shí)平方得：=所以，所以.18.已知一個(gè)由正數(shù)組成的數(shù)陣，如下圖各行依次成等差數(shù)列，各列依次成等比數(shù)列，且公比都相等，.第一行第二行第三行……第行（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題意，設(shè)第一行的公差為，第三列的公比為，則由，，可得，∴，∴，又，∴，∴，∴；（2）∵.∴.19.已知函數(shù)（）（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)①求的取值范圍②證明：解：（1）當(dāng)時(shí)，，（），令，如圖表示關(guān)系如下，1300單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）①，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)即：在有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以，所以，②由①得要證即證：，只需證令令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)橛闪泓c(diǎn)存在性定理得：，使得，即，所以，單調(diào)遞增.時(shí)，，單調(diào)遞減.則因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增所以所以，即得證.

福建省福州市六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（

）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所?故選：A.2.復(fù)數(shù)，則等于（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以.故選：C.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A.22 B.10 C.8 D.4〖答案〗D〖解析〗是等差數(shù)列，，解得：．故選：D．4.已知在R上可導(dǎo)的函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由圖知：、上，上，又、上，上，∴的解集為.故選：B5.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，，?dāng)時(shí)，，即解得所以“”是的充分不必要條件.故選：A.6.已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)曲線上的切點(diǎn)為，曲線上的切點(diǎn)為，，，解得.故選：A.7.中國(guó)飲食文化歷史悠久，博大精深，是中國(guó)傳統(tǒng)文化中最具特色的部分之一，其內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)義務(wù)教育課程方案，勞動(dòng)課正式成為中小學(xué)一門(mén)獨(dú)立的課程，“食育”進(jìn)入校園.李老師計(jì)劃在實(shí)驗(yàn)小學(xué)開(kāi)展一個(gè)關(guān)于“飲食民俗”的講座，講座內(nèi)容包括日常食俗，節(jié)日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6個(gè)方面.根據(jù)安排，講座分為三次，每次介紹兩個(gè)食俗內(nèi)容（不分先后次序），則節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗講座分為三次，每次介紹兩個(gè)食俗內(nèi)容（不分先后次序）,一共有種不同的安排方法，其中節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗有一個(gè)和節(jié)日食俗安排在第二次講座的有種，節(jié)日食俗安排在第二次講座，日常食俗與祭祀食俗都不和節(jié)日食俗安排在第二次講座且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故節(jié)日食俗安排在第二次講座，且日常食俗與祭祀食俗不安排在同一次講座中的有種，故所求概率為.故選：B8.已知，則不等式的解集為（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗定義域?yàn)镽，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又因?yàn)?，時(shí)，，時(shí)，，故，所以在上單調(diào)遞增，則不等，即解得:.所以不等式的解集為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.D.展開(kāi)式中系數(shù)最大的為〖答案〗BD〖解析〗展開(kāi)式通項(xiàng)公式為：，對(duì)于A，令，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則；令，則；，B正確；對(duì)于C，令得：，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，又，，，，展開(kāi)式中系數(shù)最大的為，D正確.故選：BD.10.從含有3個(gè)紅球，2個(gè)白球的口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球，記下顏色后放回，并加進(jìn)一個(gè)同色球，如此共取i次.記事件：“第i次取出的球是紅球”，事件：“第i次取出的球是白球”，則（

）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A中，由題意得，第一次取到白球的概率，所以A正確；對(duì)于B中，由，，則有，所以B正確對(duì)于C中，在已知第二次取出1個(gè)紅球的條件下，第一次取得1個(gè)白球，，所以C不正確；對(duì)于D中，由事件是以下4個(gè)互斥事件的和：，，，，則，所以D正確.故選：ABD11.設(shè)函數(shù)，，給定下列命題，正確的是（）A.不等式的解集為；B.函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；C.若時(shí)，總有恒成立，則；D.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù).〖答案〗AC〖解析〗的導(dǎo)數(shù)為，則，,對(duì)于A，，即解得，故正確；對(duì)于B，，當(dāng)x時(shí)在單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，可化為：設(shè)，又∴在上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，即，又在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，∴故正確；對(duì)于D，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，即，，又在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，時(shí)，即2a，a，故錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把〖答案〗填在題中的橫線上．12.已知展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由題意得，解得，故展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，令得，故展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故〖答案〗為：13.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，，由，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故〖答案〗為：.14.已知數(shù)列滿足①②.則______________；設(shè)為的前項(xiàng)和，則__________.（結(jié)果用指數(shù)冪表示）〖答案〗①23②〖解析〗由得得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，令，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，令，則，則，當(dāng)時(shí)，，所以是以9為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，即，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，則，所以，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，由，則，所以，所以，所以，.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處有極小值．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）若函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）由在處有極小值得，解得，此時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，滿足在處取極小值，∴；（2）由（1）得，∴函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)在只有一個(gè)交點(diǎn)由（1）得令得，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增∴在處有極小值，∴的取值范圍是.16.年是共青團(tuán)建團(tuán)一百周年，為了銘記歷史、緬懷先烈、增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某學(xué)校組織了共青團(tuán)團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問(wèn)題，每個(gè)人回答是否正確互不影響.已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是.（1）若規(guī)定三名同學(xué)都需要回答這個(gè)問(wèn)題，求甲、乙、丙三名同學(xué)中至少人回答正確的概率：（2）若規(guī)定三名同學(xué)需要搶答這道題，已知甲搶到答題機(jī)會(huì)的概率為，乙搶到答題機(jī)會(huì)的概率為，丙搶到的概率為，求這個(gè)問(wèn)