北京市東城區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析

東城區(qū)2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一檢測(cè)高三數(shù)學(xué)第一部分一?選擇題共10小題，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知全集，集合，則（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義求解即可.【詳解】全集，集合，.故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】算出，即可得.【詳解】由得，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，考查了學(xué)生基本運(yùn)算能力和對(duì)基本概念的理解.3.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A.1 B.5 C.10 D.20【答案】C【解析】【分析】由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，即，有，故的系數(shù)為10.故選：C.4.設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，若，則（）A.6 B.8 C.12 D.14【答案】D【解析】【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可計(jì)算出公比，由等比數(shù)列前項(xiàng)和的定義即可得.【詳解】設(shè)公比為，則，則，又的各項(xiàng)均為正數(shù)，故，則.故選：D.5.已知非零向量，，滿足，且，對(duì)任意實(shí)數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】非零向量，，滿足，且，對(duì)于A，不恒為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，不恒為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不恒為，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.如圖，在正方體中，，，分別是，的中點(diǎn).用過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面去截正方體，得到的截面圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，，證明平面平面，進(jìn)而求出截面面積.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，，正方體，平面，平面，，是的中點(diǎn)，，且，四邊形是矩形，且，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，即平面為過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面截正方體所得平面，，，，.故選：A.7.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合邏輯用語(yǔ)判斷即可.【詳解】，，函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由得，得，滿足充分性；由得，得，滿足必要性.“”是“”的充要條件.故選：C.8.一粒子在平面上運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線的一部分，在該平面上建立直角坐標(biāo)系后，該粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.在時(shí)刻，粒子從點(diǎn)出發(fā)，沿著軌跡曲線運(yùn)動(dòng)到，再沿著軌跡曲線途經(jīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，之后便沿著軌跡曲線在，兩點(diǎn)之間循環(huán)往復(fù)運(yùn)動(dòng).設(shè)該粒子在時(shí)刻的位置對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則坐標(biāo)，隨時(shí)間變化的圖象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡得到周期，進(jìn)而得到和的周期，觀察圖象即可.【詳解】由題知，粒子從為一個(gè)周期，對(duì)應(yīng)由為一個(gè)周期，對(duì)應(yīng)由為兩個(gè)周期，函數(shù)的周期是函數(shù)的周期的倍.對(duì)于A，的周期為，的周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的周期為，的周期為，故B正確；對(duì)于C，的周期為，的周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的周期為，的周期為，故D錯(cuò)誤.故選：B.9.已知線段的長(zhǎng)度為是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）.點(diǎn)在圓心為，半徑為的圓上，且不共線，則的面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形分析可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得最值.【詳解】如圖：設(shè)，圓M的半徑為r，則，所以的面積，當(dāng)為時(shí)取等號(hào)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)S有最大值，故選：A.10.設(shè)函數(shù)，對(duì)于下列四個(gè)判斷：①函數(shù)的一個(gè)周期為；②函數(shù)的值域是；③函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，使得其到點(diǎn)的距離為；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．正確的判斷是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的周期性定義結(jié)合余弦函數(shù)的周期性可判斷①；采用三角代換，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)值域，判斷②；利用，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可判斷③；結(jié)合解，根據(jù)解的情況判斷④，即得答案.【詳解】對(duì)于①，，，故不是函數(shù)的一個(gè)周期，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，需滿足，即，令，，則即為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，，（，故）此時(shí)在上單調(diào)遞減，則，綜上，的值域是，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由②知，，當(dāng)時(shí)，,滿足此條件下的圖象上的點(diǎn)到的距離；當(dāng)時(shí)，滿足此條件下的圖象上的點(diǎn)到的距離，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，而時(shí)，或，滿足此條件的x與矛盾，即等號(hào)取不到，故函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)，使得其到點(diǎn)的距離為，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由②的分析可知，則，即，又，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，④正確．故選：D【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了函數(shù)的知識(shí)的應(yīng)用問(wèn)題，涉及余弦函數(shù)的周期，值域以及最值和函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)要結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性，綜合求解.第二部分二?填空題共5小題.11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式的分母不為，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于求解即可.【詳解】，解得且，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12.已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是__________；直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由已知可判斷雙曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，可知，，表示漸近線方程即可；由可求的值，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到距離.【詳解】由雙曲線：知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且，，即，，所以雙曲線的漸近線方程為；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以.故答案為：；.13.已知函數(shù)，若，則的一個(gè)取值為_(kāi)_________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用和角的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，求出即可求解.【詳解】，即，解得，，，.的一個(gè)取值為.故答案為：（答案不唯一）.14.設(shè)函數(shù)①若，則的最小值為_(kāi)_________.②若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】對(duì)①，分別計(jì)算出每段的范圍或最小值即可得；對(duì)②，由指數(shù)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最小值，可得存在最小值則最小值一定在段，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為；②由，則當(dāng)時(shí)，，由有最小值，故當(dāng)時(shí)，的最小值小于等于，則當(dāng)且時(shí)，有，符合要求；當(dāng)時(shí)，，故不符合要求，故舍去.綜上所述，.故答案為：；.15.一般地，對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得當(dāng)取每一個(gè)正整數(shù)時(shí)，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個(gè)數(shù)列的一個(gè)周期.給出下列四個(gè)判斷：①對(duì)于數(shù)列，若，則為周期數(shù)列；②若滿足：，則為周期數(shù)列；③若為周期數(shù)列，則存在正整數(shù)，使得恒成立；④已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零整數(shù)，為其前項(xiàng)和，若存在正整數(shù)，使得恒成立，則為周期數(shù)列.其中所有正確判斷的序號(hào)是__________.【答案】②③【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，取?shù)列：，顯然滿足，但數(shù)列不是周期函數(shù)，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)閿?shù)列滿足：，不妨令，則數(shù)列為，故，所以②正確；對(duì)于③，為周期數(shù)列，不妨設(shè)周期為，所以數(shù)列中項(xiàng)的值有個(gè)，即數(shù)列中的項(xiàng)是個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，故存在正整數(shù)，使得恒成立，所以③正確；對(duì)于④，取數(shù)列為首項(xiàng)2，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，取，則恒成立，但不為周期數(shù)列.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新概念的理解，然后再結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)中的條件，通過(guò)取特殊數(shù)列可得出①和④的正誤；再利用周期數(shù)列的定義可得出②和③的正誤.三?解答題共6小題，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?演算步驟或證明過(guò)程.16.如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）1【解析】【分析】（1）通過(guò)取的中點(diǎn)構(gòu)建平面平面即得；（2）由題設(shè)易于建系，運(yùn)用空間向量的夾角公式表示出直線與平面所成角的正弦值，解方程即得.【小問(wèn)1詳解】如圖，取線段的中點(diǎn)，連接,因分別為的中點(diǎn),故有,又因?yàn)槠矫?，平?故平面，平面，又,則平面平面,因平面，則平面.【小問(wèn)2詳解】如圖，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,設(shè)點(diǎn),則，代入坐標(biāo)得：，即，于是,,設(shè)平面的法向量為，則有故可取，依題意得，，解得：，即線段的長(zhǎng)為1.17.在中，（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)，再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：的周長(zhǎng)為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）若選條件①，則；若選條件③，則.【解析】【分析】（1）由余弦定理計(jì)算即可得；（2）若選條件①，由正弦定理可計(jì)算出，結(jié)合三角形內(nèi)角和與面積公式即可得面積；若選條件③，由余弦定理結(jié)合條件可計(jì)算出、，由面積公式計(jì)算即可得；不能選條件②，計(jì)算出到的距離，故該三角形不唯一，不符合題意.【小問(wèn)1詳解】，故；【小問(wèn)2詳解】若選條件①：，由，，，故，即，，此時(shí)三角形唯一確定，符合要求，.若選條件③：的周長(zhǎng)為,由，故，則，化簡(jiǎn)得，即有，解得，故，此時(shí)三角形唯一確定，符合要求，.不能選條件②，理由如下：若選條件②：，由，，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即，此時(shí)，，故該三角形不唯一，故②不符合要求.18.某科目進(jìn)行考試時(shí)，從計(jì)算機(jī)題庫(kù)中隨機(jī)生成一份難度相當(dāng)?shù)脑嚲?規(guī)定每位同學(xué)有三次考試機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，該科目成績(jī)合格，無(wú)需再次參加考試，否則就繼續(xù)參加考試，直到用完三次機(jī)會(huì).現(xiàn)從2022年和2023年這兩年的第一次、第二次、第三次參加考試的考生中，分別隨機(jī)抽取100位考生，獲得數(shù)據(jù)如下表：2022年2023年通過(guò)未通過(guò)通過(guò)未通過(guò)第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人人假設(shè)每次考試是否通過(guò)相互獨(dú)立.（1）從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機(jī)抽取一位考生，估計(jì)這兩位考生都通過(guò)考試的概率；（2）小明在2022年參加考試，估計(jì)他不超過(guò)兩次考試該科目成績(jī)合格的概率；（3）若2023年考生成績(jī)合格的概率不低于2022年考生成績(jī)合格的概率，則的最小值為下列數(shù)值中的哪一個(gè)？（直接寫(xiě)出結(jié)果）的值838893【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立的事件的概率求解即可；（2）根據(jù)相互獨(dú)立的事件的概率求解即可；（3）分別求出2022年和2023年考生成績(jī)的合格率，列出不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】記事件：“2022年第次參加考試的考生通過(guò)考試”，，記事件：“2023年第次參加考試的考生通過(guò)考試”，，則，，從2022年和2023年第一次參加考試的考生中各隨機(jī)抽取一位考生，估計(jì)這兩位考生都通過(guò)考試的概率為；【小問(wèn)2詳解】，，，小明在2022年參加考試，估計(jì)他不超過(guò)兩次考試該科目成績(jī)合格的概率為；【小問(wèn)3詳解】2022年考生成績(jī)合格的概率為,2023年考生成績(jī)合格的概率為，要使2023年考生成績(jī)合格的概率不低于2022年考生成績(jī)合格的概率，則，解得.故的最小值為.19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左?右頂點(diǎn)分別為，.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱，分別為線段的中點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn).證明：三點(diǎn)共線.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意得，結(jié)合平方關(guān)系即可得解.（2）由題意不妨設(shè)，則，將直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得點(diǎn)坐標(biāo)，要證三點(diǎn)共線，只需證明即可，在化簡(jiǎn)時(shí)注意利用，由此即可順利得證.【小問(wèn)1詳解】由題意，所以，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題意不妨設(shè)，其中，即，則，且直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，消去并化簡(jiǎn)整理得，由韋達(dá)定理有，所以，，即點(diǎn)，而，，所以三點(diǎn)共線20.已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）若，求證：函數(shù)在上有極大值，且.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而求出切線方程；（2）先對(duì)求導(dǎo)，然后構(gòu)造函數(shù)，再對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷的單調(diào)性，最后根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出極大值的取值范圍.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，即切點(diǎn)為，，，即在處切線的斜率為，故曲線在處的切線方程為；【小問(wèn)2詳解】，令，，，在單調(diào)遞增，且，在單調(diào)遞增，且，在單調(diào)遞減，，，即，，存在唯一的，使，即，當(dāng)時(shí)，，即，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，在單調(diào)遞減，在處取得極大值，設(shè)極大值，即，令，，，對(duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞增，，，，，即，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值.解題的關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，當(dāng)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)不容易確定時(shí)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性.確定極值點(diǎn)時(shí)，需要滿足極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，極值點(diǎn)左右兩側(cè)附近的