第12講、函數(shù)與方程（學生版）

更多資料請+wx：gk230616進資料群下載[在此處鍵入]第12講函數(shù)與方程知識梳理一、函數(shù)的零點對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.二、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點函數(shù)有零點.三、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.五、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點.（3）計算.若則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數(shù)零點的近似值為（或）；否則重復第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.【解題方法總結(jié)】函數(shù)的零點相關(guān)技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點.②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不一定變號.④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出.必考題型全歸納題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間【例1】（2024·廣西玉林·博白縣中學校考模擬預測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個零點，則（

）A． B．0 C．2 D．4【對點訓練1】（2024·吉林·通化市第一中學校校聯(lián)考模擬預測）已知是函數(shù)的一個零點，則的值為（

）A． B． C． D．【對點訓練2】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的零點依次為，則（

）A． B． C． D．【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）已知，若是方程的一個解，則可能存在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】求函數(shù)零點的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍【例2】（2024·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練5】（2024·河北·高三學業(yè)考試）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，若函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練6】（2024·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點，則的最大值為__________.【對點訓練7】（2024·上海浦東新·高三上海市進才中學?？茧A段練習）已知函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍___________.【解題總結(jié)】本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題【例3】（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預測）已知實數(shù)，滿足，，則________.【對點訓練8】（2024·新疆·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是________．【對點訓練9】（2024·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個不同的零點，則的取值范圍是________．【對點訓練10】（2024·江蘇·校聯(lián)考模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是______.【對點訓練11】（2024·天津北辰·統(tǒng)考三模）設，對任意實數(shù)x，記．若有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．【對點訓練12】（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預測）已知實數(shù)m，n滿足，則___________.【解題總結(jié)】方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負來確定，但是要確定函數(shù)零點的個數(shù)還需要進一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個零點；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.題型四：嵌套函數(shù)的零點問題【例4】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對點訓練13】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程有個不同實數(shù)解，則實數(shù)滿足（

）A．且 B．且C．且 D．且【對點訓練14】（2024·四川資陽·高三統(tǒng)考期末）定義在R上函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于點對稱，且則關(guān)于x的方程()有n個不同的實數(shù)解，則n的所有可能的值為A．2 B．4C．2或4 D．2或4或6【對點訓練15】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，設關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為A． B．或 C．或 D．或或【解題總結(jié)】2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實．題型五：函數(shù)的對稱問題【例5】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象上存在點P，函數(shù)g（x）=ax-3的圖象上存在點Q，且P，Q關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【對點訓練16】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，若無零點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練17】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【對點訓練18】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解題總結(jié)】題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型【例6】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對點訓練19】（2024·湖北·高三校聯(lián)考期中）設函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【對點訓練20】（2024·福建廈門·廈門外國語學校?？家荒＃┤糁辽俅嬖谝粋€，使得方程成立．則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【對點訓練21】（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）設函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】分類討論數(shù)學思想方法題型七：唯一零點求值問題【例7】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【對點訓練22】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B． C． D．【對點訓練23】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為A．或 B．1或 C．或2 D．或1【對點訓練24】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則負實數(shù)A． B． C． D．或【解題總結(jié)】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.題型八：分段函數(shù)的零點問題【例8】（2024·天津南開·高三南開中學?？计谀┮阎瘮?shù)，若函數(shù)有兩個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練25】（2024·全國·高三專題練習）已知，函數(shù)恰有3個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練26】（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．3 C．4 D．5【對點訓練27】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題總結(jié)】已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型九：零點嵌套問題【例9】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有三個不同的零點.其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．【對點訓練28】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，有三個不同的零點，（其中），則的值為A． B． C．-1 D．1【對點訓練29】（2024·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，且，則的值為（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9【對點訓練30】（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校?？茧A段練習）設定義在R上的函數(shù)滿足有三個不同的零點且則的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【解題總結(jié)】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.題型十：等高線問題【例10】（2024·全國·高三專題練習）設函數(shù)①若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是②若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是③若方程有四個不同的實根，則的取值范圍是④方程的不同實根的個數(shù)只能是1，2，3，6四個結(jié)論中，正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【對點訓練31】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若方程有四個不同的解且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練32】（2024·四川瀘州·高一四川省瀘縣第四中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若方程有四個不同的實根，，，，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練33】（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝，若互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（

）A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6）【解題總結(jié)】數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法題型十一：二分法【例11】（2024·遼寧大連·統(tǒng)考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導函數(shù)在附近一點的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程，選取初始值，在下面四個選項中最佳近似解為（

）A． B． C． D．【對點訓練34】（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：

那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【對點訓練35】（2024·全國·高三專題練習）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是（

）A． B． C． D．【對