第60講、直線與圓、圓與圓的位置關系（教師版）

②點在圓外，則設切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務必要把這條切線補上．（2）常見圓的切線方程過圓上一點的切線方程是；過圓上一點的切線方程是．題型四：切點弦問題例10．（2024·浙江·高三浙江省富陽中學校聯(lián)考階段練習）從拋物線上一點作圓：得兩條切線，切點為，則當四邊形面積最小時直線方程為.【答案】【解析】如圖，由題可知，，由對稱性可知，所以求四邊形的最小面積即求的最小值設，，則當，即時，，四邊形的最小面積為所以所以以為直徑的圓的方程為：則為以圓和以為直徑的圓的公共弦如圖所示兩圓方程作差得：所以直線方程為故答案為：例11．（2024·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學考試）已知圓，過直線上任意一點，作圓的兩條切線，切點分別為兩點，則的最小值為.【答案】【解析】由題意得，圓的圓心為，半徑為，如圖所示，根據(jù)圓的切線長公式，可得，則，當取最小值時，取最小值，此時，則，則.故答案為：.例12．（2024·北京·高三強基計劃）如圖，過橢圓上一點M作圓的兩條切線，過切點的直線與坐標軸于P，Q兩點，O為坐標原點，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．前三個答案都不對【答案】B【解析】設點，由于點M在橢圓上，所以，由切點弦方程，所以，由于，當時，上述不等式取等號，取得最大值3，此時面積取得最小值．故選：B.變式23．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設切點為，若線段長度的最小值為，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓，設，則，則，，則，所以圓心到直線的距離是，，得，．故選：A．變式24．（2024·全國·高三專題練習）已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由題意可得的圓心到直線的距離為，即與圓相離；設為直線上的一點，則，過點P作圓的切線，切點分別為，則有，則點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得：，又由，則有，變形可得，則有，可得，故直線恒過定點，設，由于，故點在內，則時，C到直線的距離最大，其最大值為,故選∶B變式25．（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預測）若圓關于直線對稱，動點在直線上，過點引圓的兩條切線、，切點分別為、，則直線恒過定點，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：圓的圓心在直線上，即有，設點，則，故以為直徑的圓的方程為：，將和相減，即可得直線的方程，即，則直線恒過定點，故選：C變式26．（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知圓：，點M在拋物線：上運動，過點引直線與圓相切，切點分別為，則下列選項中能取到的值有（

）A．2 B． C． D．【答案】BC【解析】解析：如圖，連接，題意，，而，而，則垂直平分線段，于是得四邊形面積為面積的2倍，從而得，即，設點，而，則，即，所以，即，得，所以的取值范圍為．故選BC．變式27．（2024·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學考試）過拋物線上一點作圓的切線，切點為、，則當四邊形的面積最小時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接、，圓的圓心為，半徑為，易知圓心為拋物線的焦點，設點，則，則，當且僅當時，等號成立，此時點與坐標原點重合，由圓的幾何性質可得，，由切線長定理可得，則，所以，，所以，，此時點與坐標原點重合，且圓關于軸對稱，此時點、也關于軸對稱，則軸，在中，，，，則，所以，，因此，直線的方程為.故選：C.【解題方法總結】過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結論．題型五：圓上的點到直線距離個數(shù)問題例13．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┤魣A上有四個不同的點到直線的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將圓的方程化為標準方程為，圓心為，半徑為，設與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，直線、均與圓相交，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.例14．（2024·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學?？茧A段練習）圓C：上恰好存在2個點，它到直線的距離為1，則R的一個取值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】圓C：的圓心，半徑R點C到直線的距離為圓C上恰好存在2個點到直線的距離為1，則故選：B例15．（2024·全國·高三專題練習）已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則a的取值范圍為()A． B．C． D．【答案】A【解析】由圓的方程可知圓心為，半徑為2，因為圓上的點到直線的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線的距離，即，解得，故選A.變式28．（2024·全國·高三專題練習）若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為圓心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.變式29．（1991·全國·高考真題）圓上到直線的距離為的點共有A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【解析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關系即可得解.圓可變?yōu)?，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點共有個.故選：C.變式30．（2024·全國·高三專題練習）若圓上僅有4個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】到已知直線的距離為1的點的軌跡，是與已知直線平行且到它的距離等于1的兩條直線，根據(jù)題意可得這兩條平行線與有4個公共點，由此利用點到直線的距離公式加以計算，可得的取值范圍．作出到直線的距離為1的點的軌跡，得到與直線平行，且到直線的距離等于1的兩條直線，圓的圓心為原點，原點到直線的距離為，兩條平行線中與圓心距離較遠的一條到原點的距離為，又圓上有4個點到直線的距離為1，兩條平行線與圓有4個公共點，即它們都與圓相交．由此可得圓的半徑，即，實數(shù)的取值范圍是．故選：．【解題方法總結】臨界法題型六：直線與圓位置關系中的最值（范圍）問題例16．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預測）已知點在圓運動，若對任意點，在直線上均存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，由題可知，圓心為點，半徑為1，若直線上存在兩點，使得恒成立，則始終在以為直徑的圓內或圓上，點到直線的距離為，所以長度的最小值為.故選：D例17．（2024·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學考試）已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為.【答案】/【解析】由圓知圓心，半徑，因為與圓相切于點，所以，所以，所以越小，越小，當時，最小，因為圓心到直線的距離為，所以的最小值為6，此時，，，故的周長的最小值為.故答案為：.例18．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，正方形的邊長為4，是邊上的一動點，交于點，且直線平分正方形的周長，當線段的長度最小時，點到直線的距離為.

【答案】【解析】根據(jù)題意平分正方形周長，可得恒過正方形的中心，設的中心為點，由可知，點的軌跡是以為直徑的圓，以為坐標原點，為軸，為軸建立直角坐標系，則，，，，以為直徑的圓的方程為，設為圓心，可知坐標為，當最小時，，，三點共線，可知此時直線的方程為，則點到直線的距離為.故答案為：.變式31．（2024·廣東梅州·高三大埔縣虎山中學校考階段練習）直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是.【答案】【解析】對于，當時，，當時，，所以，所以，圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離為，所以點P到直線的距離的最大值，點P到直線的距離的最小值，所以面積的最大值為，面積的最小值為，所以面積的取值范圍是，故答案為：變式32．（2024·上海徐匯·高三上海民辦南模中學校考階段練習）若，則的最小值為.【答案】【解析】曲線表示的是以點為圓心，以為半徑的圓，表示點到點的距離，表示點到直線的距離，設點在直線上的射影點為，則，當且僅當、、三點共線且點為線段與圓的交點時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.變式33．（2024·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預測）已知圓與直線相切，函數(shù)過定點，過點作圓的兩條互相垂直的弦，則四邊形面積的最大值為.【答案】5【解析】由題意圓與直線相切，圓心為，半徑為，函數(shù)過定點如圖連接OA、OD作垂足分別為E、F，，四邊形OEMF為矩形，已知，，設圓心O到AC、BD的距離分別為、，則四邊形ABCD的面積為：，從而：，當且僅當時即取等號，故四邊形ABCD的面積最大值是5，故答案為：5.變式34．（2024·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預測）已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值是．【答案】【解析】均為單位向量且，不妨設，，且，，，，的幾何意義表示的是點到和兩點的距離之和的2倍，點在單位圓內，點在單位圓外，則點到和兩點的距離之和的最小值即為和兩點間距離，所求最小值為.故答案為：.變式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中學?？茧A段練習）已知，直線為上的動點，過點作的切線，切點為，當最小時，直線的方程為.【答案】【解析】圓的方程可化為，則圓心，半徑，可得點到直線的距離為，所以直線與圓相離，依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，原題意等價于取到最小值，當直線時，，此時最小.的直線方程為：，與聯(lián)立，解得：，即，則的中點為，所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即直線的方程為.故答案為：.變式36．（2024·全國·高三專題練習）已知，點A為直線上的動點，過點A作直線與相切于點P，若，則的最小值為.【答案】【解析】設，，連接，所以，且，所以，，所以求的最小值可轉化為求到兩點和距離和的最小值，如圖，連接即可，所以，故答案為：.變式37．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）若直線與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則|PM|的最大值為．【答案】【解析】直線過定點，直線過定點，顯然這兩條直線互相垂直，因此在以為直徑的圓上，設該圓的圓心為，顯然點的坐標為，所以該圓的方程為，由圓的切線性質可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，當點在如下圖位置時，的值最大，即，所以|PM|的最大值為，故答案為：變式38．（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)的圖象恒過定點A，圓上兩點，滿足，則的最小值為．【答案】【解析】因為時，，所以函數(shù)的圖象過定點，因為，所以點三點共線，，因為，為圓上兩點，所以點為過點的直線與圓的兩個交點，設線段的中點為，則，因為表示點，到直線的距離和，表示表示點到直線的距離，分別過點作與直線垂直，垂足為，則，所以，因為，直線過點，所以，所以，所以，化簡可得，即點在圓上，所以點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以點到直線的距離的最小值為，所以，所以，所以，故答案為：.變式39．（2024·四川成都·統(tǒng)考模擬預測）已知圓C：與直線l：交與A，B兩點，當|AB|最小值時，直線l的一般式方程是.【答案】【解析】由圓的方程可得圓心為，直線的方程可整理為，令，解得，所以直線過定點，當垂直直線時，最小，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.變式40．（2024·北京西城·高三北京市回民學校校考階段練習）已知圓與直線相交于兩點，則的最小值是.【答案】【解析】根據(jù)題意，圓即，圓心的坐標為，半徑，直線，即，恒過定點，又由圓的方程為，則點在圓內，分析可得：當直線與垂直時，弦最小，此時，則的最小值為；故答案為：.變式41．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學?？寄M預測）已知分別是圓，圓上動點，是直線上的動點，則的最小值為．【答案】3【解析】，，，，，設關于的對稱點為，則，解得，即.所以圓關于直線的對稱圓：因為，，所以.故答案為：3變式42．（2024·全國·高三專題練習）已知實數(shù)x，y滿足：，則的取值范圍是．【答案】【解析】解法一：因為，所以令，，則，，故，其中，，因為，所以，所以，故的取值范圍為．解法二：因為圓心到直線的距離，所以圓心上的點到直線的距離的取值范圍為，又因為，所以的取值范圍是．故答案為：．變式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中學?？计谥校┮阎菆A上兩點，若，則的最大值為.【答案】4【解析】由，得為等腰直角三角形，設為的中點，則，且，則點在以為圓心，為半徑的圓上，表示兩點到直線的距離之和，兩點到直線的距離之和等于中點到直線的距離的2倍，點到直線的距離為，所以點直線的距離的最大值為，所以的最大值為，所以的最大值為.故答案為：4.變式44．（2024·廣東廣州·高三廣州市白云中學?？计谥校┮阎狿是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為．【答案】【解析】，即，圓心為，半徑，，即最小時，面積最小.，故四邊形面積的最小值為.故答案為：變式45．（2024·全國·高三專題練習）設，，O為坐標原點，點P滿足，若直線上存在點Q使得，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設，，，即．點P的軌跡為以原點為圓心，2為半徑的圓面．若直線上存在點Q使得，則PQ為圓的切線時最大，，即．圓心到直線的距離，或．故選：C．變式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）德國數(shù)學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點，是的邊上的兩個定點，是邊上的一個動點，當在何處時，最大？問題的答案是：當且僅當?shù)耐饨訄A與邊相切于點時最大，人們稱這一命題為米勒定理.已知點，的坐標分別是，，是軸正半軸上的一動點.若的最大值為，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．3 C．或 D．2或4【答案】C【解析】根據(jù)米勒定理，當最大時，的外接圓與軸正半軸相切于點.設的外接圓的圓心為，則，圓的半徑為.因為為，所以，即為等邊三角形，所以，即或，解得或.故選：C.變式47．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知直線與軸和軸分別交于A，兩點，以點A為圓心，2為半徑的圓與軸的交點為（在點A右側），點在圓上，當最大時，的面積為（

）A． B．8 C． D．【答案】A【解析】如圖所示，不難發(fā)現(xiàn)當BP為圓的一條位于AB下方的切線時滿足最大，由題意可得，不妨設，則A到BP的距離為，或（舍去）.則，此時到BP的距離為，所以的面積為故選：A變式48．（2024·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）已知圓C：，圓是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點，則當最大時，（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】依題意，在中，，如圖，顯然，是銳角，，又函數(shù)在上遞增，因此當且僅當公共弦最大時，最大，此時弦為圓的直徑，在中，，所以.故選：D變式49．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學?？计谥校┮阎cP在圓上，點，，則錯誤的是（

）A．點P到直線AB的距離小于10 B．點P到直線AB的距離大于2C．當最小時， D．當最大時，【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為4，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，則點到直線的距離的最小值為，最大值為，所以點到直線的距離小于10，但不一定大于2，故選項A正確，B錯誤；如圖所示，當最大或最小時，與圓相切，點位于時最小，位于時最大），連接，，可知，，，由勾股定理可得，故選項CD正確．故選：B．變式50．（2024·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W?？计谀┑聡鴶?shù)學家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點、和在直線上的動點，當與的外接圓相切時，最大．若，，是軸正半軸上一動點，當對線段的視角最大時，的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設，則，，，當且僅當時成立,解得，，設的外接圓的方程為，則，解得，，，的外接圓的方程為．故選：．【解題方法總結】直線上的點與圓上的點的最近或最遠距離問題，這樣的題目往往要轉化為直線上的點與圓心距離的最近和最遠距離再加減半徑長的問題．題型七：圓與圓的位置關系例19．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線l的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由已知直線，則原點到直線l的距離為，由直線l與圓相切，則滿足條件的直線l即為圓和圓的公切線，因為圓和圓外切，所以這兩個圓有兩條外公切線和一條內公切線，所以滿足條件的直線l有3條．故選:B．例20．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知直線是圓的切線，并且點到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】由已知可得，圓心，半徑.由點到直線的距離是2，所以直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，又直線是圓的切線，所以，直線是圓與圓的公切線.因為，所以，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D.例21．（2024·全國·高三專題練習）已知圓：，圓：，則與的位置關系是（

）A．外切 B．內切 C．相交 D．外離【答案】C【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，所以所以圓與的位置關系是相交.故選:C.變式51．（2024·全國·高三專題練習）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數(shù)有3條．故選：C．變式52．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【解析】圓：的圓心為，半徑為a，所以圓心到直線的距離為，解得或．因為，所以.所以圓：的圓心為，半徑為．圓：的標準方程為，圓心坐標為，半徑，圓心距，所以兩圓相內切．所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．變式53．（2024·甘肅蘭州·蘭州五十九中?？寄M預測）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2＋y2－4x＝0及點A(－1,0)，B(1,2)，在圓C上存在點P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，則點P的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】設P(x,y)，則(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，圓心為，半徑為2，又圓圓心為，半徑為2，因為，所以圓(x－2)2＋y2＝4與圓x2＋(y－1)2＝4相交，所以點P的個數(shù)為2.故選：B.變式54．（2024·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，已知兩點，到直線的距離分別是1與4，則滿足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【解析】分別以為圓心，以為半徑作圓，因為，所以兩圓外切，有三條公切線，即滿足條件的直線共有3條，故選：C變式55．（2024·湖南常德·常德市一中?？级＃┮阎獔A和兩點，若圓C上存在點P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】由，得點P在圓上，故點P在圓上，又點P在圓C上，所以，兩圓有交點，因為圓的圓心為原點O，半徑為a，圓C的圓心為，半徑為1，所以，又，所以，解得，所以a的最小值為4.故選：C.變式56．（2024·全國·高三專題練習）已知圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為（

）A．3 B．8 C．4 D．9【答案】D【解析】因為圓C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圓C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一條公切線，所以兩圓相內切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由題設可知，當且僅當a2＝2b2時等號成立．故選：D.【解題方法總結】已知兩圓半徑分別為，兩圓的圓心距為，則：（1）兩圓外離；（2）兩圓外切；（3）兩圓相交；（4）兩圓內切；（5）兩圓內含；題型八：兩圓的公共弦問題例22．（2024·天津和平·耀華中學?？级＃﹫A與圓的公共弦所在的直線方程為．【答案】【解析】聯(lián)立，兩式相減得.故答案為：例23．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預測）若圓與圓交于P，Q兩點，則直線PQ的方程為.【答案】【解析】∵圓與圓相交，則兩圓方程之差即為直線PQ的方程，將與作差得，整理得，即直線PQ的方程為.故答案為：.例24．（2024·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知圓：與圓：，若兩圓相交于A，B兩點，則【答案】【解析】圓的方程為，即①，又圓：②，②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為圓的圓心到直線的距離，所以．故答案為:.變式57．（2024·天津和平·耀華中學?？家荒＃﹫A與圓的公共弦的長為．【答案】【解析】將圓與圓的方程作差可得，所以，兩圓相交弦所在直線的方程為，圓的圓心為原點，半徑為，原點到直線的距離為，所以，兩圓的公共弦長為.故答案為：.變式58．（2024·浙江麗水·高三浙江省麗水中學校聯(lián)考期末）已知圓與圓相交于兩點，則.【答案】【解析】將圓與圓的方程相減，即得的方程為，則的圓心為，半徑為，則到直線的距離為，故，故答案為：變式59．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中學校考期末）已知圓與圓相交于兩點，則.【答案】【解析】因為圓與圓相交于兩點，所以直線AB的方程為：，即，圓心到弦AB的距離，所以，故答案為：.【解題方法總結】兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得．題型九：兩圓的公切線問題例25．（2024·全國·高三專題練習）點，到直線l的距離分別為1和4，寫出一個滿足條件的直線l的方程：.【答案】或或（填其中一個即可）【解析】設，，連接MN，則.以M為圓心，1為半徑作圓M，以N為圓心4為半徑作圓N，則兩圓外切，所以兩圓有3條公切線，即符合條件的直線l有3條.當公切線的斜率不存在時，顯然公切線的方程為.當公切線的斜率存在時，設公切線的方程為，則有，由①②得，所以或.由①及得，由①及得，所以公切線方程為或.綜上，直線l的方程為或或.故答案為：或或例26．（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程．【答案】或中任何一個答案均可【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，所以兩圓外離，由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，設公切線方程為，即，則有，解得或或或所以公切線方程為或.故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）例27．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程